高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-待定系數(shù)求方程幾何轉(zhuǎn)至代數(shù)中（含答案）

專題1待定系數(shù)求方程，幾何轉(zhuǎn)至代數(shù)中【題型綜述】求圓錐曲線方程的策略一般有以下幾種：①幾何分析法＋方程思想；②設(shè)而不求＋韋達(dá)定理；③第二定義＋數(shù)形結(jié)合；④參數(shù)法＋方程思想。幾何分析法，利用圖形結(jié)合圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出關(guān)于方程中參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可得到圓錐曲線方程，要求平面幾何中相似等數(shù)學(xué)知識(shí)必須十分熟練。設(shè)而不求、韋達(dá)定理是解圓錐曲線問(wèn)題的通性通法，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，容易出錯(cuò)，通常根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，將直線方程代入曲線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用參數(shù)表示出來(lái)，根據(jù)題中條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得出圓錐曲線的方程。不管是哪種方法，最終都要列出關(guān)于圓錐曲線方程中的參數(shù)的方程問(wèn)題，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得到圓錐曲線方程，故將利用平面幾何知識(shí)和圓錐曲線的定義與性質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化解析幾何計(jì)算的重要途徑.【典例指引】類型一待定系數(shù)法求橢圓方程例1【2014年全國(guó)課標(biāo)Ⅱ，理20】設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.類型2參數(shù)法求橢圓方程例2.【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（I）求E的離心率e；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程.類型3設(shè)而不求思想與韋達(dá)定理求拋物線方程例3【2013年高考數(shù)學(xué)湖南卷】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)A，B，相交于點(diǎn)C，D.以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為.（=1\*ROMANI）若，證明；；（=2\*ROMANII）若點(diǎn)M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程.類型4待定系數(shù)法求拋物線方程例4（2012全國(guó)課標(biāo)理20）.設(shè)拋物線：（＞0）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)若,的面積為，求的值及圓的方程；(Ⅱ)若，，三點(diǎn)在同一條直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值.【擴(kuò)展鏈接】焦點(diǎn)三角形面積公式：圓錐曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為曲線上任意一點(diǎn)，（1）若P在橢圓上，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.（2）若P在雙曲線上，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.2.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,).【新題展示】1．【2019四川綿陽(yáng)二診（節(jié)選）】己知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y＝kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線l過(guò)點(diǎn)F1，且｜AF2｜十｜BF2｜＝，求直線l的方程；【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根據(jù)弦長(zhǎng)公式|AB|=，代入整理得，解得．得到直線l的方程．2．【2019廣東省模（節(jié)選）】已知點(diǎn)，都在橢圓：上．（1）求橢圓的方程；【思路引導(dǎo)】（1）把點(diǎn)，代入橢圓方程，得即可；3．【2019閩粵贛三省十校聯(lián)考（節(jié)選）】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，．（1）求橢圓的方程；【思路引導(dǎo)】（1）利用橢圓的離心率和橢圓上的點(diǎn)，構(gòu)造關(guān)于的方程，求解得到橢圓方程；4．【2019四川涼山二診（節(jié)選）】橢圓長(zhǎng)軸右端點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【思路引導(dǎo)】（1）由條件布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；5．【2019陜西榆林一模（節(jié)選）】已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)到直線的距離，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合離心率，計(jì)算出a，b，c之間的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線距離，計(jì)算a，b值即可?！就接?xùn)練】1．設(shè)橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線的方程為.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，到直線的距離為，且三角形的面積為，求橢圓的方程；2．已知拋物線（）和定點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線在處的切線交點(diǎn)為.（Ⅰ）若在以為直徑的圓上，求的值；（Ⅱ）若三角形的面積最小值為4，求拋物線的方程.3．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，直線交拋物線于、兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn).（1）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若直線過(guò)焦點(diǎn)，求的最小值；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.4．設(shè)直線l：y=k（x+1）與橢圓x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程．5．已知點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，A，B是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且△ABF是正三角形.（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）直線l與以AB為直徑的圓O相切，并且被橢圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為2，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．6．如圖，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若點(diǎn)M（﹣，）在橢圓C內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．7．已知A、B分別為曲線C：+y2=1（a＞0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)B且與x軸垂直，P為l上異于點(diǎn)B的點(diǎn)，連結(jié)AP與曲線C交于點(diǎn)M．（Ⅰ）若曲線C為圓，且|BP|=，求弦AM的長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點(diǎn)，若O、N、P三點(diǎn)共線，求曲線C的方程．8．若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2，又M為AB的中點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM的斜率為，求該橢圓的方程．9．已知直線x+y﹣1=0與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M在直線上．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓x2+y2=1上，求橢圓的方程．10.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x＋y－20＝0.（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn)．11.已知拋物線y2＝的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線與該拋物線交于，且存在實(shí)數(shù)λ，使，＝eq\f(25,4).（Ⅰ）求該拋物線的方程；（Ⅱ）求△AOB的外接圓的方程．求圓錐曲線方程的策略一般有以下幾種：①幾何分析法＋方程思想；②設(shè)而不求＋韋達(dá)定理；③第二定義＋數(shù)形結(jié)合；④參數(shù)法＋方程思想。幾何分析法，利用圖形結(jié)合圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)，分析圖中已知量與未知量之間的關(guān)系，列出關(guān)于方程中參數(shù)的方程，解出參數(shù)值即可得到圓錐曲線方程，要求平面幾何中相似等數(shù)學(xué)知識(shí)必須十分熟練。設(shè)而不求、韋達(dá)定理是解圓錐曲線問(wèn)題的通性通法，缺點(diǎn)是計(jì)算量較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，容易出錯(cuò)，通常根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，將直線方程代入曲線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理用參數(shù)表示出來(lái)，根據(jù)題中條件列出關(guān)于參數(shù)的方程，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得出圓錐曲線的方程。不管是哪種方法，最終都要列出關(guān)于圓錐曲線方程中的參數(shù)的方程問(wèn)題，通過(guò)解方程解出參數(shù)值，即可得到圓錐曲線方程，故將利用平面幾何知識(shí)和圓錐曲線的定義與性質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化解析幾何計(jì)算的重要途徑.【典例指引】類型一待定系數(shù)法求橢圓方程例1【2014年全國(guó)課標(biāo)Ⅱ，理20】設(shè),分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.【解析】（Ⅰ）由題意得：，，∵的斜率為∴，又，解之：或（舍）故直線的斜率為時(shí)，的離心率為.（Ⅱ）（幾何分析法）依據(jù)題意，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，軸，∴與軸的交點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴=，即，①∵，∴，過(guò)作軸于，則∽，∴，∴，設(shè)，則，∴=，∴，②①②聯(lián)立解得，.類型2參數(shù)法求橢圓方程例2.【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（I）求E的離心率e；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程.【解析】（I）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，從而，進(jìn)而得，故.（=2\*ROMANII）（參數(shù)法）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.又點(diǎn)在直線上，且,從而有解得，所以，故橢圓的方程為.（幾何分析法）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，，∴，由題設(shè)條件和（I）知，，∴＜，∴，，∴==，，∴=，∴=，∵N為線段AC的中點(diǎn)，∴，∴，解得，∴，故橢圓的方程為.類型3設(shè)而不求思想與韋達(dá)定理求拋物線方程例3【2013年高考數(shù)學(xué)湖南卷】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)A，B，相交于點(diǎn)C，D.以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為.（=1\*ROMANI）若，證明；；（=2\*ROMANII）若點(diǎn)M到直線的距離的最小值為，求拋物線E的方程.【解析】（1）依題意，拋物線E的交點(diǎn)為，直線的方程為，由得，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，同理可得N的坐標(biāo)為，，于是，由題設(shè)，，所以，故；（2）由拋物線的定義得所以從而圓M的半徑，圓M的方程為化簡(jiǎn)得，同理可得圓N的方程為，于是圓M與圓N的公共弦所在直線l的方程為，又，則直線l的方程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)M到直線l的距離，故當(dāng)時(shí)，取最小值.由題設(shè)，，所以，故所求拋物線E的方程為類型4待定系數(shù)法求拋物線方程例4（2012全國(guó)課標(biāo)理20）.設(shè)拋物線：（＞0）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)若,的面積為，求的值及圓的方程；(Ⅱ)若，，三點(diǎn)在同一條直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值.【解析】設(shè)準(zhǔn)線于軸的焦點(diǎn)為E，圓F的半徑為，則|FE|=，=，E是BD的中點(diǎn)，(Ⅰ)∵，∴=，|BD|=，設(shè)A(，)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=，∵的面積為，∴===，解得=2，∴F(0,1),FA|=，∴圓F的方程為：；(Ⅱ)【解析1】∵，，三點(diǎn)在同一條直線上,∴是圓的直徑，,由拋物線定義知，∴，∴的斜率為或－，∴直線的方程為：，∴原點(diǎn)到直線的距離=，設(shè)直線的方程為：，代入得，，∵與只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴=，∴，∴直線的方程為：，∴原點(diǎn)到直線的距離=，∴坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值為3.【解析2】由對(duì)稱性設(shè)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得：得：，直線切點(diǎn)直線坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為?！緮U(kuò)展鏈接】焦點(diǎn)三角形面積公式：圓錐曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為曲線上任意一點(diǎn)，（1）若P在橢圓上，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.（2）若P在雙曲線上，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.2.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,).【新題展示】1．【2019四川綿陽(yáng)二診（節(jié)選）】己知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y＝kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線l過(guò)點(diǎn)F1，且｜AF2｜十｜BF2｜＝，求直線l的方程；【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根據(jù)弦長(zhǎng)公式|AB|=，代入整理得，解得．得到直線l的方程．【解析】（1）由橢圓定義得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8，則|AB|=．因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)F1(-2，0)，所以m=2k即直線l的方程為y=k(x+2)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．∴x1+x2=，x1x2=．由弦長(zhǎng)公式|AB|=，代入整理得，解得．所以直線l的方程為，即或．2．【2019廣東省模（節(jié)選）】已知點(diǎn)，都在橢圓：上．（1）求橢圓的方程；【思路引導(dǎo)】（1）把點(diǎn)，代入橢圓方程，得即可；【解析】（1）由題意得，得，故橢圓的方程為．3．【2019閩粵贛三省十校聯(lián)考（節(jié)選）】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，．（1）求橢圓的方程；【思路引導(dǎo)】（1）利用橢圓的離心率和橢圓上的點(diǎn)，構(gòu)造關(guān)于的方程，求解得到橢圓方程；【解析】（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以又，解得，所以橢圓的方程為4．【2019四川涼山二診（節(jié)選）】橢圓長(zhǎng)軸右端點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【思路引導(dǎo)】（1）由條件布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為．則、、、、由，即，又，解得，橢圓的方程為5．【2019陜西榆林一模（節(jié)選）】已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)到直線的距離，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合離心率，計(jì)算出a，b，c之間的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線距離，計(jì)算a，b值即可?！窘馕觥浚?）∵橢圓的離心率，∴，∴，∵，∴，即，∵橢圓的左頂點(diǎn)到直線，即到的距離，∴，把代入得，解得，∴，，∴橢圓的方程為．【同步訓(xùn)練】1．設(shè)橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線的方程為.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，到直線的距離為，且三角形的面積為，求橢圓的方程；【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由直線斜率為可得，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）先求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積可得的值，從而可得橢圓方程.【詳細(xì)解析】由得.又因?yàn)槿切蚊娣e，所以，于是，橢圓的方程為.學(xué)科*網(wǎng)2．已知拋物線（）和定點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線在處的切線交點(diǎn)為.（Ⅰ）若在以為直徑的圓上，求的值；（Ⅱ）若三角形的面積最小值為4，求拋物線的方程.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合處的切線斜率乘積為可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式以及三角形面積公式可以得到，從而可得結(jié)果.【詳細(xì)解析】3．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，直線交拋物線于、兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn).（1）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若直線過(guò)焦點(diǎn)，求的最小值；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)由直線過(guò)焦點(diǎn),求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)設(shè)過(guò)作于，由拋物線定義知，結(jié)合圖形即可求出取最小值；（Ⅱ）由知，設(shè)出的坐標(biāo)，由消去化為關(guān)于的一元二次方程，用韋達(dá)定理和向量數(shù)量積列出關(guān)于的方程，即可解出.【詳細(xì)解析】（Ⅱ）假設(shè)存在，拋物線與直線聯(lián)立方程組得：，設(shè)，，則，，.，.則得：，，，代入得，學(xué)科*網(wǎng)解得或（舍去）.4．設(shè)直線l：y=k（x+1）與橢圓x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程．【思路引導(dǎo)】（I）將直線l的方程為y=k（x+1）代入橢圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得到根的判別式大于0，從而解決問(wèn)題．（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由（I），得，由，得y2=從而求得△OAB的面積，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值時(shí)的k值，從而△OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程即可．【詳細(xì)解析】上式取等號(hào)的條件是3k2=1，即（9分）當(dāng)時(shí)，由④解得；當(dāng)時(shí)，由④解得．將及這兩組值分別代入①，均可解出a2=5（11分）經(jīng)驗(yàn)證，a2=5，滿足（☆）式．所以，△OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程是x2+3y2=5（12分）學(xué)科*網(wǎng)5．已知點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，A，B是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且△ABF是正三角形.（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）直線l與以AB為直徑的圓O相切，并且被橢圓C截得的弦長(zhǎng)的最大值為2，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為2c，由△ABF是正三角形，得a=2b，b=，由此能求出橢圓的離心率．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，所以橢圓方程為x2+4y2=4b2，設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)為M（x1，y1），N（x2，y2），若直線l與x軸垂直，則弦長(zhǎng)|MN|=，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，與x2+4y2=4b2聯(lián)立，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣b2）=0，由此利用韋達(dá)定理、直線與圓相切性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出橢圓C的方程．【詳細(xì)解析】∴|MN|2=（）2=（1+k2）[（﹣）2﹣4?]=，①∵直線l與圓O相切，∴，解得m2=b2（1+k2），代入①得|MN|2=?b2=4b2，當(dāng)且僅當(dāng)3k2=1+k2，k=時(shí)，等號(hào)成立．∴此時(shí)|MN|max=2b，于是弦長(zhǎng)|MN|的最大值為2b=2，∴b=，a=2，學(xué)科*網(wǎng)∴橢圓C的方程為．6．如圖，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，且|AB|=|BF|．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若點(diǎn)M（﹣，）在橢圓C內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)M的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，且OP⊥OQ．求直線l的方程及橢圓C的方程．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由已知得，由此能求出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，設(shè)橢圓C：．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由，，得，直線l的方程為2x﹣y+2=0．由，由此能求出橢圓C的方程．【詳細(xì)解析】即2x﹣y+2=0．…（9分）由，即17x2+32x+16﹣4b2=0．.，．∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．從而，解得b=1，∴橢圓C的方程為．…（12分）學(xué)科*網(wǎng)7．已知A、B分別為曲線C：+y2=1（a＞0）與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)B且與x軸垂直，P為l上異于點(diǎn)B的點(diǎn)，連結(jié)AP與曲線C交于點(diǎn)M．（Ⅰ）若曲線C為圓，且|BP|=，求弦AM的長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)N是以BP為直徑的圓與線段BM的交點(diǎn)，若O、N、P三點(diǎn)共線，求曲線C的方程．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）先求出A、B、P的坐標(biāo)，從而求出直線AP的方程，進(jìn)而求出弦AM的長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)出直線AP的方程，聯(lián)立方程組，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合BM⊥OP，求出a的值，從而求出曲線C的方程．【詳細(xì)解析】（Ⅱ）由已知得A（﹣a，0），B（a，0），由于點(diǎn)N在以BP為直徑的圓上，且O、N、P三點(diǎn)中線，故BM⊥OP，顯然，直線AP的斜率k存在且k≠0，可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+a），由得：（1+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2=0，設(shè)點(diǎn)M（xM，yM），∴xM?（﹣a）=，故xM=，從而yM=k（xM+a）=，∴M（，），∵B（a，0），∴=（，），學(xué)科*網(wǎng)由BM⊥OP，可得?==0，即﹣2a4k2+4a2k2=0，∵k≠0，a＞0，∴a=，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=時(shí)，O、N、P三點(diǎn)共線，∴曲線C的方程是：+y2=1．學(xué)科*網(wǎng)8．若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2，又M為AB的中點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM的斜率為，求該橢圓的方程．【思路引導(dǎo)】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)M（x0，y0）．聯(lián)立，化為（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得OM的斜率==，再利用弦長(zhǎng)公式可得=，聯(lián)立解得即可．【詳細(xì)解析】聯(lián)立，解得，滿足（*）∴該橢圓的方程為：．學(xué)科*網(wǎng)9．已知直線x+y﹣1=0與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M在直線上．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓x2+y2=1上，求橢圓的方程．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得關(guān)于x的一元二次方程；由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2，y1+y2；從而得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線l的方程，得出a、c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．（Ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（b，0），F(xiàn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（x0，y0），則由互為對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，可得方程組，解得x0、y0；代入圓的方程x02+y02=1，得出b的值，從而得橢圓的方程．【詳細(xì)解析】∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2，∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F（b，0）關(guān)于直線l：的對(duì)稱點(diǎn)為（x0，y0），由，解得…（10分）∵x02+y02=1，∴，∴b2=1，顯然有a2+b2=3＞1∴所求的橢圓的方程為．…（12分）10.已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC