高考數(shù)學（文科）總復習考點解析及習題第六章立體幾何

高考數(shù)學（文科）總復習考點解析及習題（解析版）

第六章立體幾何

考點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

考點2空間幾何體的表面積和體積

考點3空間點、直線、平面間的位置關(guān)系

考點4直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

考點5直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

考點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

高考概覽

本考點是高考?？贾R點，題型為選擇題、填空題；分值為5分，中等難度

考綱研讀

1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活

中簡單物體的結(jié)構(gòu)

2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能

識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖

一、基礎(chǔ)小題

1.三視圖如圖所示的幾何體是（）

正視圖側(cè)視圖

A.三棱錐B.四棱錐

C.四棱臺D.三棱臺

答案B

解析由三視圖可作幾何體如圖，可知選B.

2.以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是（）

A.球的三視圖總是三個全等的圓

B.正方體的三視圖總是三個全等的正方形

C.水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形

D.水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓

答案A

解析畫兒何體的三視圖要考慮視角，但對于球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三

個全等的圓.

3.用一個平行于水平面的平面去截球，得到如右圖所示的兒何體，則它的俯視圖是

()

答案B

解析俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B.

4.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊平行于y軸，8G/〃平行于x

軸.己知四邊形力靦的面積為2艱cm?,則原平面圖形的面積為（）

A.4cmJB.4啦cm'

C.8cm2D.8y/2cm'

答案C

解析依題意可知N物〃4=5°,則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC,AD

相等，高為梯形力時的高的24倍，所以原平面圖形的面積為8cn?.

5.給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

④棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析①錯誤，只有這兩點的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線；②錯誤，因為“其余各面

都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，如圖1所示:③錯誤,

當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖2

所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；④錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行

的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.

S'

圖2

6.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個

幾何體是（）

A.三棱錐B.三棱柱

C.四棱錐D.四棱柱

答案B

解析由三視圖可知該幾何體應(yīng)為橫向放置的三樓柱（如圖所示）.故選B.

7.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）

答案D

解析A圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個四棱柱與一個圓柱的組合體的俯

視圖；C圖是一個底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體的俯視圖，采用排

除法，故選D.

8.將正方體（如圖a所示）截去兩個三棱錐，得到圖b所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)

視圖為（）

解析還原正方體后，將4,D,4三點分別向正方體右側(cè)面作垂線，的射影為G6,

且為實線，6C被遮擋應(yīng)為虛線.

9.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐

的四個面中，直角三角形的個數(shù)為（）

正視圖側(cè)視圖

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析由題意知，三棱錐放置在長方體中如圖所示，利用長方體模型可知，此三棱錐的

四個面全部是直角三角形.故選D.

10.在如圖所示的空間直角坐標系〃X/中，一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2),

(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號為①②③④的四個圖，則該四面體的正視圖

和俯視圖分別為()

A.①和③B.③和①C.④和③D.④和②

答案D

解析由題意得，該幾何體的正視圖是一個直角三角形，三個頂點的坐標分別是(0,0,

2),(0,2,0),(0,2,2),且內(nèi)有一條虛線(一頂點與另一直角邊中點的連線)，故正視圖

是④；俯視圖即在底面的射影，是一個斜三角形，三個頂點的坐標分別是(0,0,0),(2,2,

0),(1,2,0),故俯視圖是②.

11.一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形

的面積等于()

A號B.2叫C*/D.平/

答案B

解析根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積S

與它的直觀圖的面積S'之間的關(guān)系是S'=坐$本題中直觀圖的面積為一,所以原平面

四邊形的面積等于方=24式故選B.

4

12.已知一個正三棱柱的所有棱長均相等，其側(cè)（左）視圖如圖所示，那么此三棱柱正（主）

視圖的面積為.

側(cè)（左）視圖

答案24

解析由正三棱柱三視圖還原直觀圖可得正（主）視圖是一個矩形，其中一邊的長是側(cè)

（左）視圖中三角形的高，另一邊是棱長.因為側(cè)（左）視圖中三角形的邊長為2,所以高為十，

所以正視圖的面積為2鎘.

13.中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹進部分叫卯眼，

圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方

體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）

解析觀察圖形易知卯眼處應(yīng)以虛線畫出，俯視圖為故選A.

14.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點步在正視圖上

的對應(yīng)點為4圓柱表面上的點川在左視圖上的對應(yīng)點為6,則在此圓柱側(cè)面上，從材到N

的路徑中，最短路徑的長度為（）

4口□

B

A.2717B.2mC.3D.2

答案B

解析根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為

長方形的寬、圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短

路徑的長度為后厲=24，故選B.

15.某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為（）

側(cè)（左）視圖

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析由三視圖得四棱錐的直觀圖如圖所示.其中眼，底面/時，ABLAD,AB//CD,

SHgCIA2,A41.

由S〃J_底面49W,AD,DC,

/氏底面4順，得

SDLAD,SDLDC,SDLAB,故△劈△物為直角三角形，又：四，/。，ABLSD,AD,

$七平面以〃."8_L平面21〃又以u平面以〃，即△弘6也是直

角三角形，從而SQ〉S4+4^+/0=3,又80=72?十#.SC=2?：.BC+S（^^Slf,

as笫不是直角三角形，故選C.

16.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組

成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形,

這些梯形的面積之和為（）

A.10B.12C.14D.16

答案B

解析由多面體的三視圖還原直觀圖如圖.該幾何體由上方的三棱錐4一及方和下方的

三棱柱BCE-844構(gòu)成，其中面緇4/和面能44是梯形，則梯形的面積之和為2X叫產(chǎn)

=12.故選B.

17.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）

正（主）視圖側(cè)佐）視圖

俯視圖

A.3/B.2yf3C.2事D.2

答案B

解析根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖（四棱錐。一/仍9）如圖所示，將該四棱錐放入

棱長為2的正方體中.由圖可知該四棱錐的最長棱為PD,加=后踵7轉(zhuǎn)=2，5.故選B.

18.一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）

答案B

解析由幾何體的直觀圖知，該幾何體最上面的棱橫放且在中間的位置上，因此它的俯

視圖應(yīng)排除4,C,D,經(jīng)驗證6符合題意，故選8.

19如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為;，則該幾何體

的俯視圖可以是（）

答案C

解析???該幾何體的體積為去且由題意知高為1,故底面積為也結(jié)合選項知選C

20.已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，給出下列5個圖形:

其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個數(shù)為（）

A.5B.4C.3D.2

答案B

解析由題知可以作為該幾何體俯視圖的圖形為①②③⑤，故選以

21.已知某幾何體的正視圖和俯視圖是如圖所示的兩個全等的矩形，給出下列4個圖形:

zd△口。

II①②③④

俯視圖

其中可以作為該幾何體的側(cè)視圖的圖形序號是（）

A.@@③8.②③④C①②④〃①③④

答案D

解析符合題意的幾何體可以是如下幾何體：

三棱柱長方體圓柱

由此可知選〃

22.如圖，在正方體ABCD—ABCD中，己知E是棱AB的中點，用過點A,C,E的平

面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)（左）視圖為（）

LC

工

兒E

二

ABCD

答案A

解析依題意，截后的多面體如圖所示,其中F為棱BC的中點，故選4

）C

3

4E夕

23.一只螞蟻從正方體ABCD-ABCD的頂點A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬

行到頂點G的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是（）

/>!C,

A.①③C③④〃②④

答案D

解析由點A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點3的位置，共有6種路線（對

應(yīng)6種不同的展開方式），若把平面ABBA和平面BCC3展開到同一個平面內(nèi)，連接AG,則

AG是最短路線，旦AG會經(jīng)過BBi的中點，此時對應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面

CDDC展開到同一個平面內(nèi)，連接AC,則AC是最短路線，且AC會經(jīng)過CD的中點，此時對

應(yīng)的正視圖為④.而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn).故選以

B'

/正視圖方向

24.如圖，在三棱柱ABC-A，B'C'中，已知側(cè)棱AA'，底面A'B'C',且AA'B'C

是正三角形，若點P是上底面ABC內(nèi)的任意一點，則三棱錐P-A'B'C'的正視圖與側(cè)視

圖的面積之比為（注：以垂直于平面ACC'A'的方向為正視圖方向）（）

解析過點P作AC的垂線交AC于P',則P'為P在平面ACC'A,上的投影.取A'C'

的中點B",貝IJB"為B'在平面ACC'A'上的投影.由此得正視圖與側(cè)視圖如圖所示.設(shè)

底面邊長為a,AA'=b.則SiE=5ab,

二、大題

1.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為6的兩個全等的等腰

直角三角形.

正視圖側(cè)視圖

(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；

(2)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—ABCD?如何組拼？

試證明你的結(jié)論.

解(1)該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，其中底

面ABCD是邊長為6的正方形，高為CG=6,故所求體積是丫=；*62義6=72.

(2)依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個這樣的四棱錐可以拼成一

個棱長為6的正方體，其拼法如圖2所示.

圖2

證明：；面ABCD、面ABBA、面AADD為全等的正方形,于是VC1-ABQ)=VC1—ABB1A1

-VC1-AA1D1D,故所拼圖形成立.

2.一個多面體的三視圖和直觀圖如圖1、圖2所示，其中M,N分別是AB,AC的中點,

G是DF上的一個動點，且DG=ADF(O<AW1).

圖2

⑴求證:對任意的Xe(O,l),都有GNJ_AC；

⑵當入=$寸，求證：AG〃平面FMC.

證明(1)由三視圖與直觀圖，知該幾何體是一個直三棱柱，CD1DF,AD±DF,AD1CD,

且DF=AD=DC.

如圖，連接BD,則ACLBD,且N為AC與BD的交點.

由題意知FD_L平面ABCD,

又G是FD上的一點，

.*.GD_L平面ABCD,

又ACc平面ABCD,

.\GD±AC.

由ACJ_BD,GD_LAC及BDCGD=D,

知AC_L平面GDN,

又GNu平面GDN,AACXGN.

⑵當入時，G是DF的中點，取DC的中點S,連接AS,GS,如圖所示.

??,M是AB的中點,

.,.AS/7MC,GS〃FC,且ASC1GS=S,

MCPFC=C,

二平面AGS〃平面FMC,又AGc平面AGS,

，AG〃平面FMC.

考點2空間幾何體的表面積和體積

高考概覽

高考中本考點常見題型為選擇題、填空題，分值為5分，中等難度

考綱研讀

球體、柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式

一、基礎(chǔ)小題

1.若球的半徑擴大為原來的2倍，則它的體積擴大為原來的（）

A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍

答案C

44

解析設(shè)原來球的半徑為r,則現(xiàn)在球的半徑為2r,貝1“=可『現(xiàn)=1t.自二廠,

故，現(xiàn)=8/鼠故選C.

2.一個正方體的體積是8,則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是（）

A.8nB.6JtC.4nD.n

答案C

解析設(shè)正方體的棱長為a,則a?=8,...a=2.而此正方體的內(nèi)切球直徑為2,.?.5&

=4Jtr=4K.

3.如圖，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為叩，一個內(nèi)角為60°的菱形,

俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為（）

A.273B.4小C.8D.4

答案D

解析由三視圖知，原幾何體為兩個四棱錐的組合體，其中四棱錐的底面邊長為1,斜

高為1.所以這個幾何體的表面積為5-1x1X1X8=4.

4.一個直三棱柱的三視圖如圖所示，其中俯視圖是正三角形，則此三棱柱的體積為

（）

更

B.小C.2D.4

答案B

解析由側(cè)視圖可知直三棱柱底面正三角形的高為《，容易求得正三角形的邊長為2,

所以底面正三角形面積為gx2x/=/.再由側(cè)視圖可知直三棱柱的高為1,所以此三棱

柱的體積為/Xl=/.故選B.

5.已知圓錐的表面積為a,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑是

（）

答案C

解析設(shè)圓錐的底面半徑為八母線長為/,由題意知，2“三五1，：.l=2r,則圓錐

的表面積5衣=n滅（2r）：'=a,

乙JJIOJ*

6.若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于（）

A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm1

答案B

解析由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱4?。-45G截去一個三棱錐8一/84

則該幾何體的體積為K-=1x3X4X5-|x|x3X4X5=20（cm：i）.故選B.

7.某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）

A.4B—C.—D.6

OO

答案B

解析依題意，所求幾何體是一個四棱臺，其中上底面是邊長為1的正方形、下底面是

邊長為2的正方形，高是2,因此其體積等于1X（『+22+，而）X2=^.故選B.

JO

8.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中三個正方形的邊長均為2,則該幾何體的表面積

為（）

A.24+（隹-1）“B.244-（2^2-2）Jt

C.24+（4一l）nD.24+（2鎘-2）滅

答案B

解析如圖，由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體挖出兩個圓錐體所得.由圖

中知圓錐的半徑為1,母線為十,該幾何體的表面積為S=6X2?—2mxi「+2x（

X2nX1X^2=24+（272-2）n,故選B.

9.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）

JTJIJI

A.10+nB.2+—C.2+—D.2+-

答案D

解析根據(jù)幾何體的三視圖還原其宜觀圖如圖所示，顯然可以看到該幾何體是一個底面

長為2,寬為1,高為1的正棱柱與一個底面半徑為1,高為1的［圓柱組合而成，其體積為

K=2X1X1+^XJtX12X1=2+Y，故選D.

10.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形

的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆

中積水深九寸，則平地降雨量是寸.

（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）

答案3

解析由題意知，圓臺中截面圓的半徑為十寸，圓臺內(nèi)水的體積為夙片■+$+「

?J

中r卜）=-X9X（102+62+10X6）=588n（立方寸），降雨量為系■=普：=3（寸）.

11.如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1

的正三角形組成，則該多面體的體積是.

答案嚕

解析易知該幾何體是正四棱錐.連接劭，設(shè)正四棱錐〃一4?切，由沂*1,劭=

磊則PDVPB.設(shè)底面中心0,則四棱錐高依=半，則其體積是昌劭=*1々半=號.

12.如圖，在平面四邊形4%力中，已知川土L/〃，AB=AD=\,BC=CD=5,以直線4?

為軸，將四邊形力靦旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

答案12K

解析由題意，該旋轉(zhuǎn)體是?圓臺內(nèi)部挖去一個圓錐，如圖1所示：

如圖2,過點。作血46,連接劭.在等腰直角三角形加加中，加=川+您=近

在中，切=加+/一2做?旌osNM7,

所以25=2+25—1McosN〃仇7,所以cosNDBC=^,所以sinNDBC=?\-cos，NDBC

7/

—10,

因為/上'=180°—/力助一/龐C=135°-ADBC,所以sin/碗'=sin（135°-Z

、歷、粒4

DBC）=VcosZZ?C,+VsinZZ?C=7.在RtAaF中，CE=BCsin4CBE=4,所以BE=

、初"=3,AE=4.所以圓臺上、卜底面圓的面積分別為S「=*S下=16",圓臺體

積匕=；（S上+S下+7S上5卜）?力￡=28幾，圓錐體積16兀X3=16幾，所以旋轉(zhuǎn)體體積

/=匕一%=12冗.

13.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何

體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）

A.90nB.63nC.42nD.36n

答案B

解析由三視圖可知兩個同樣的幾何體可以拼成一個底面直徑為6,高為14的圓柱，

所以該幾何體的體積勺;X3“XnX14=63”.故選B.

14.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm"）是（）

俯覘圖

A.2B.4C.6D.8

答案C

解析由三視圖可知該幾何體是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底邊

1+2

的長分別為lcm,2cm,高為2cm,直四棱柱的高為2cm.故直四棱柱的體積，=丁義2*2

=6cm.

15.已知圓柱的上、下底面的中心分別為a,a,過直線a“的平面截該圓柱所得的截

面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12y[2nB.12nC.8y[2nD.10n

答案B

解析根據(jù)題意，可得截面是邊長為2位的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底

面為半徑是鏡的圓，且高為2色,所以其表面積為S=2n（y[2）,+2nX小X2平=12n.故

選B.

16.在長方體力吸》一464〃中，AB=BC=2,/G與平面陽GC所成的角為30°,則該

長方體的體積為（）

A.8B.C.872D.873

答案C

W.

4Bi

解析在長方體4比。一45G〃中，連接8G,根據(jù)線面角的定義可知/4GQ30°,因

為AB=2,/=tan30°,所以6G=2鎘，從而求得8=）雨一矮=2班,所以該長方體

的體積為「=2X2X2啦=8啦.故選C.

17.設(shè)4B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，△46C為等邊三角形且其面

積為則三棱錐〃一力比1體積的最大值為（）

A.12小B.18小C.24mD.54小

答案B

解析如圖所示，點〃為三角形4勿的重心，/為然的中點，當〃匕平面46C時，三

棱錐48。體積最大，此時，OD=OB=R=\.

2

?.?點"為三角形的重心，."1/=手度=2小，

.,.在RtZ\。班中，有4座一加=2.

:.DQODA-044+2=6,

（V.棱錐/>-;??）O0X=,X9A^X6=18，1故選B.

18.已知圓錐的頂點為S,母線相，陽互相垂直，相與圓錐底面所成角為30°,若4

必6的面積為8,則該圓錐的體積為.

答案8n

解析如圖所示，Z5>16?=30o,/力S4=90°,又見?S4=1S#=8,

解得SA=4,所以S〃=；S4=2,S#—S==2小,所以該圓錐的體積為V=

—?6M2?SO=8n.

J

19.已知正方體力四一4笈G〃的棱長為1,除面力式》外，該正方體其余各面的中心分

別為點反F,G,"例（如圖），則四棱錐材一班組的體積為.

1

答案12

、歷1

解析由題意知四棱錐的底面以〃為正方形，其邊長為手，即底面面積為］,由正方

體的性質(zhì)知，四棱錐的高為故四棱錐的體積〃=4義<X

乙J乙乙XLi

20.如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為

4

答案3

解析多面體由兩個完全相同的正四棱錐組合而成，其中正四棱錐的底面邊長為十,

1l24

高為1,...其體積為5X（/）2義1=不，.?.多面體的體積為『

21.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，己知該幾

A./7=4,r=10B.T?=5,K=12

C.77=4,-12D.〃=5,「=10

答案D

解析由三視圖可知，該幾何體為直五棱柱，其直觀圖如圖所示，故〃=5,體積K=2X22

+；X2X1=1O.故選D.

22.已知圓柱的高為2,底面半徑為#，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，

則這個球的表面積等于（）

16H八32n

A.4nB.工一C.工一D.16n

oJ

答案D

解析如圖，可知球的半徑I麗+研=6+炳=2,進而這個球的表面積為

4n/?=16Ji.故選D.

23.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何

體的表面積為（）

A.5n+18B.6冗+18

C.8冗+6D.10n+6

答案C

解析該幾何體的表面積是由球的表面積、球的大圓面積、半個圓柱的側(cè)面積以及圓柱

的縱切面面積組成.從而該幾何體的表面積為4nXl2+itX12+1X2JIX3+3X2=8n+

6.故選C.

24.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，

則該多面體的體積為（）

8八八5

A-B.3C.8D-

?j<5

答案A

解析根據(jù)三視圖還原該幾何體的直觀圖，如圖中四棱錐尸一4?5所示，則心皿=%

（%-畋一%-的）［（-］+藍2）—X2X1+-］x1X2X2--1X-1X1X2X1-8-.故選A.

25.我國古代的《九章算術(shù)》中將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為“芻童”.如圖

所示為一個“芻童”的三視圖,其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長分別為2和4,

高為2,則該“芻童”的表面積為（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.12^5B.40

C.16+12^/3D.16+12/

答案D

解析易得側(cè)面梯形的高為后彳=/，所以一個側(cè)面梯形的面積為:x（2+4）

=34.故所求為4*3m+2*（2乂4）=124+16.故選D.

26.已知底面邊長為4木,側(cè)棱長為的正四棱錐s—四口內(nèi)接于球a.若球功在

球a內(nèi)且與平面A?如相切，則球a的直徑的最大值為.

答案8

解析如圖，正四棱錐S一/質(zhì)內(nèi)接于球a,sa與平面4腿交于點”

在正方形/四中，/5三4小"0=4.在Rt△在0中—次=4（2my-4.2.設(shè)

球。的半價為"，則在Rt△小a中，（/Lzy+dn/,解得4=5,所以球。的直徑為10.當

球a與平面40相切于點。且與球。相切時，球a的直徑最大.又因為*2,所以球a

的直徑的最大值為10—2=8.

二、大題

1.現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P—A\B￡\隊,

下部的形狀是正四棱柱48G4（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的

高陽的4倍.

p

(1)若4Q6m,PQ=2m,則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,則當尸。為多少時，倉庫的容積最大？

解(D由陽=2知，0X4做=8.

因為43=49=6,

所以正四棱錐P—A'&GM的體積

-ra=1x62X2=24(m').

oo

正四棱柱ABCD-A,BCB的體積

/柱=朗?ft(?=62X8=288(m3).

所以倉庫的容積勺%+%=24+288=312(m)

(2)設(shè)45l=am,P(K=hm,

貝ij0</?<6,(Xg4h.

連接aBx.

因為在RtZXP。區(qū)中，。片+川=陽，

所以惇a)+「=36,

即a?=2(36-斤).

于是倉庫的容積

1.13

V=匕柱+/錐=.?4A+~C7**h=-ah

26,3、

=—(z36A-A3),0<A<6,

o

26

從而『=—(36-3A2)=26(12-A2).

J

令/=0,得/)=2/或仁―24(舍).

當0?！?4時，V>0,『是單調(diào)增函數(shù)；

當人「〈從6時，V<0,『是單調(diào)減函數(shù).

故5=2鎘時，/取得極大值，也是最大值.

因此，當做=2/m時，倉庫的容積最大.

2.如圖，在平行四邊形"CV中，48=然=3,/〃￥=90°,以熊為折痕將折

起，使點"到達點〃的位置，且48,處.

(1)證明：平面〃》_L平面力6a

2

(2)0為線段力〃上一點，尸為線段比'上一點，且BP=DQ=RDA,求三棱錐0一/鰭的體

<5

積.

解⑴證明：由已知可得/掰￡90°,即

又四_!_%，且〃n%=4所以481.平面/1G9.

又平面/6C,所以平面/切_1_平面/6C.

(2)由已知可得，DC—C,^AB—AC—3,DA—3y/2.

又B-DQ=qDA,所以研=2$.

作QEVAC,垂足為E,則QE^DC.

由已知及(1)可得平面ABC,

所以QEL平面ABC,QE=1.

因此，三棱錐0—4解的體積為

K??QEX1X1X|X3X2728in45°=1.

3.如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm).

俯視圖

(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法);

(2)求這個幾何體的表面積及體積.

解(D這個幾何體的直觀圖如圖所示.

(2)這個幾何體可看成是正方體4G及直三棱柱64(2-44。的組合體.

由必產(chǎn)陽=*,4〃=47=2,可得力一陽.

故所求幾何體的表面積

5=5X22+2X2X^/2+2X1X(^2)::

=22+4*(cm'),

所求幾何體的體積r=23+|x(^2)-X2=10(cm3).

4.已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為20cm和30cm的正三角形，各側(cè)面是

全等的等腰梯形，且各側(cè)面的面積之和等于兩底面面積之和，求棱臺的體積.

解如圖所示，在三棱臺/aB'C中，0',。分別為上、下底面的中心，D,D'

分別是6C,B'C的中點，則協(xié)'是等腰梯形63'B'的高,

又CB'=20cm,龍=30cm,

所以S極=3xgx(20+30)X。?'=75".

S上+S-竽X(202+302)=32573(cm2).

由5例=5上+3卜，得75"'=325/，

所以勿'=7p/3(cm),

?5

又因為0'D'=--X20=10y^(cm),

63

浙晉X30=5#(cm),

所以棱臺的高方:O'O=yjD'ir-{OD-O'D')'

由棱臺的體積公式，可得棱臺的體積為

T（SI：+SF+MM）

=1900(cm3).

故棱臺的體積為1900cm3.

考點3空間點、直線、平面間的位置關(guān)系

高考概覽：高考在本考點的?？碱}型為選擇題、解答題，分值為5分或12分，中等難度

考綱研讀

1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義

2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理

3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題

一、基礎(chǔ)小題

1.若空間中有兩條直線，則”這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”

的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

答案A

解析“兩條直線為異面直線”="兩條直線無公共點”.“兩直線無公共點”="兩

直線異面或平行”.故選A.

2.下列命題正確的個數(shù)為（)

①經(jīng)過三點確定一個平面；②梯形可以確定一個平面；③兩兩相交的三條直線最多可以

確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，，①不正確；兩條平行線可以確定一個平

面，.?.②正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，，③正確；命題④中沒有說

清三個點是否共線，④不正確.

3.若直線上有兩個點在平面外，貝M）

A.直線上至少有一個點在平面內(nèi)

B.直線上有無窮多個點在平面內(nèi)

C.直線上所有點都在平面外

D.直線上至多有一個點在平面內(nèi)

答案D

解析根據(jù)題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平

面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面

4.如圖，aCB=l,A,BGa,gB,且慮/,直線過4B,C三點的

平面記作Y，則y與8的交線必通過（）

A.點4B.點8

C.點。但不過點"D.點。和點

答案D

解析'：A,BQy,MRAB,y.又aC8=1,Me1,：.MQ8.根據(jù)公理3可

知，"在/與￡的交線上.同理可知，點C也在7與￡的交線上.

5.若a和6是異面直線，6和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（）

A.異面或平行B.異面或相交

C.異面D.相交、平行或異面

答案D

解析異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a,6異面，直線。的

位置如圖（可有三種情況）所示，故a,c可能相交、平行或異面.

6.以下四個命題中：

①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A,B,C,〃共面，點A,B,C,E

共面，則點4B,C,D,￡共面；③若直線a,6共面，直線a,c共面，則直線6,c共面；

④依次首尾相接的四條線段必共面.

正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

①正確，否則三點共線和第四點必共面；②錯誤，如圖三棱錐，能符合題意但46,G

D,￡不共面；③錯誤，從②的幾何體知；空間四邊形為反例可知，④錯誤.

7.已知異面直線a,方分別在平面a,￡內(nèi)，且aC8=c,那么直線c一定（）

A.與播6都相交

B.只能與a,。中的一條相交

C.至少與a,方中的一條相交

D.與a,6都平行

答案C

解析如果c與a,6都平行，那么由平行線的傳遞性知a,6平行，與異面矛盾.故選

C.

8.如圖，平行六面體46必一45G4中既與共面又與CG共面的棱有條.

答案5

解析依題意，與和CG都相交的棱有BC；與46相交且與CG平行的棱有加”BB”

與46平行且與S相交的棱有必，皿故符合條件的棱有5條.

9.在正方體18繆一48G〃中，￡為棱CG的中點，則異面直線/￡與5所成角的正切

值為（）

A虛R也,亞0亞

2222

答案C

解析

在正方體被力一人AGO中，CD//AB,所以異面直線45?與切所成的角為NE48,設(shè)正方

體的棱長為2a,則由E為棱⑶的中點，可得"=a,所以防=#a,

則tan/劭8=籌聿=乎.故選C.

AB2a2

10.若空間中"個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)〃的取值（）

A.至多等于3B.至多等于4

C.等于5D.大于5

答案B

解析首先我們知道正三角形的三個頂點滿足兩兩距離相等，于