廣東惠州市2023屆高三數(shù)學7月第一次摸底調(diào)研考試卷附答案解析

廣東惠州市2023屆高三數(shù)學7月第一次摸底調(diào)研考試卷

全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

I、答題的，考生務必將自己的姓名、準考證號、座位號、學校、班級等考生信息填寫在答

卡上.

2、作答單項及多項選擇題時,選出每個小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案

息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.

3、非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，作圖題可先用鉛宅作答，答案必須寫在答題R各

指定的位.置匕寫在本試卷上無效.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.

在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.

I.設集合/={x|x>0}.8={x卜2<xS“，則(q4)c8=(

A.卜卜>-2}B.|x|x>0*C.1.v|-2<.r<0]D.{x|OSxSl}

2.設0=1。823力=108121=2,則q、氏c的大小關(guān)系為(

3

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

3.x-4=展開式中的常數(shù)項為(

k&

A.480B.-240C.240D.260

_r-(1\

4.已知向量a=(2jj,2),向量e=1/.則向盤￡在向量之上的投影向量:為()

/

A.(G,3)B.(-73,1)C.(1.6)D.j.y

5.在等比數(shù)列｛q,｝中，己知的。2。>0,則“。2021>'是“02022>02023"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12

6.已知圓（X+1）2+（），+2）2=4關(guān)于直線ox+如+1=0（z。＞0,b〉0）對稱，則一+一的最小

ab

值為（）

A.-B.9C.4D.8

2

7.已知函數(shù)p=/（x）的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能為（）

「/\sinx-々、er-e-x

A-/（X）=----B.f（x）=------

XX%

C./（x）=|sinx|cosx-55

—-ioi-'x

D./（x）=ln（Vx:+1-x）+sinx

8.甲球中有5個紅球，3個白球，乙排中有4個紅球，2個白球.整個取球過程分兩步，先從

甲罐中儲機取出一球放入乙罐，分別用4、4表示由甲罐取出的球是紅球、白球的小件：

再從乙罐中隨機取出兩球，分別用8、C表示第二步由乙排取出的球是“兩球都為紅球”、

“兩球為一紅一白”的事件，則F列結(jié)論中不正確的是（）

A.尸（8⑷吟B.P（C|4）=；C.尸（8）*D.P（C）=g

二、多項選擇題「本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.云每小題給出的四個選項中,

有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.某校舉行“永遠跟黨走、唱響青春夢”歌唱比賽，在歌唱比賽中,由9名專業(yè)人士和9名

觀眾代表各組成?個評委小組給參賽選手

打分.根據(jù)兩個評委小組（記為小組4、

小組6）對同一名選手打分的分值繪制成

折線圖如圖所示，則（）

A.小組4打分的分值的眾數(shù)為47

B.小組8打分的分值第80百分位數(shù)為69

C.小組才是由專業(yè)人士組成的可能性較大

D.小組B打分的分值的方差小于小組A打分的分值的方差

2

io.數(shù)列｛%｝的首項為i,且a““=2a“+i,s”是數(shù)列｛《,｝的前〃項和,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=7B.數(shù)列｛《,+1｝是等比數(shù)列

C.a?=2n-lD.=2"d-n-1

11.已知函數(shù)/（x）=2sin（2x-W），則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的圖象的一個對稱中心是

B.函數(shù)/（X）在區(qū)間0,—上單調(diào)遞讖：

C.直線*=分是函數(shù)/卜）圖象的?條對稱軸：

D.將/（X）的圖象沿X軸向左平移三個單位長度可得到g（x）=2sin伍r-4］的圖象.

12.如圖，在極長為2的正方體/8CO-4AGA中，"、N、P分別是G。、qc、A,A

的中點，則（）

A.M,N,B,。四點共面

B.異面直線尸。與所成角的余弦值為吟

C.平面BMN截正方體所得截面為等腰梯形

D.三棱椎P-MNB的體枳為:

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.其中第16題第一空2分，第二空3分.

13.已知i是虛數(shù)難位，復數(shù)二滿足二（l-i）=l-6i,則匕卜.

3

14.在平面直角坐標系x@，中，將向量:而=按順時針方向繞原點。旋轉(zhuǎn)q后得

到向量而=（a,b），則ab的值為

15.如右圖所示，在四棱錐「一/8CC中，氏_L底面/8C￡）,且底面

各邊都相等，ACHBD=O,M是PC上的-動點，當點M滿足

時，平面平面PCD（只要填寫一個你

認為正確的條件即可）

16.已知拋物線方程爐=8x,F為焦點,。為拋物線準線上一點，。為線段尸尸與拋物線

的交點，定義：d（P）=慟.若點尸（-2,8JI）,則d（P）=,

設點尸（一2』）〃>0）,若4"（產(chǎn)）一尸同一A>0恒成立，則k的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已如數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，〃€、?，現(xiàn)有如下三個條件分別為：

條件①為=5：條件②a“+「a”=2；條件③52=-4；

請從上述三個條件中選擇能夠確定一個數(shù)列的兩個條件，并完成解答.

您選擇的條件是和.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式：

（2）設數(shù)列也｝滿足“=―1—，求數(shù)列出｝的前〃項和小

?4??上?

4

8.（本小題滿分12分）

如圖，在&48C中，N84C=120，48=1，4C=3,點。在線段8C上，且

BD=-DC.

2

(1)求力。的長：

(2)求cosND4c.

19.（本小題滿分12分）

2021年秋季，國家教育部在全國中小學全面開展“雙減”,實施“5+2”服務模式.為響應

這一政策，某校開設廣'籃球二“用棋”、“文學社”、“舞蹈”四門課后延時服務課程，供500名

學生選擇學習.經(jīng)過一個學期的學習后，學校對課后延時服務課程的效果進行調(diào)研，隨機抽選

性別有關(guān):

（2）若用頻率估計概率，從該校抽選調(diào)研的女生中按分層抽樣的方式任選5人，再從中選出

3人進行深入調(diào)研，用J表示選取的女生興趣一般的人數(shù)，求J的分布列與數(shù)學期望.

n(ad-be)'

附：Z,其中〃=?+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0100.001

X。2.7066.63510.828

5

20.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P-48CO中，已知/8〃CO,ADLCD,BC=BP,

CD=2AB=4,A4￡>P是等邊三角形，E為OP的中點.

（1）證明：/E_L平面PC。.

（2）若"=4后，求平面P8C與平面尸,4。夾角的余弦值.

P

21.（本小題滿分12分）

己知橢圓C:]+，=l（a>b>0）的離心率為；,且點（1,3

在橢圓上.

（1）求橢圓C的標準方程:

（2）如圖，橢園C的左、右頂點分別為力、B,點、M、N是橢網(wǎng)上異于力、6的不同兩

點，直線切V的斜率為&（AHO）,直線4W的斜率為3A,求證：直線A/N過定點.

22.（本小題滿分12分）

設函數(shù)/(xX2+a--2ox,g(x)=—+2ox+—,aeR.

e

（1）討論/（x）的單調(diào)性：

（2）若aw[-l,0）,求證:g（x）<4a+3.

6

惠州市2023屆高三第一次調(diào)研考試

數(shù)學試題參考答案與評分細則

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.

題號12345678

答案CDCAABAC

I.【解析】q/={x|x40},(q/)c8={H-2<x40}：

?【解析】A,0所以。

2a=fog23>log22=l,h=log,2<0,c=Z<2=V>l>c>0>6：

3

3.【解析】[x-子=)

I展開式的通項為，=(-2)rC；x2,令6卞=0,

解得/*=4.所以展開式的常數(shù)項為(-2)℃=240：

4.【解析】￡在"上投影向量￡'=芾"=

5.【解析】:9/0,由ami>。2024，則a*應>，，夕(1-g)>0,；?

儀一夕)(夕+得又由皿>。皿，則。寸，

11+92)>0,q(l_q)>0.???0<]<1.0a2020g2>2020

，相>/,.?相。一夕)>。???q<l且g=0,???0vqvlngvl且qwO.即“生⑼>火心”

是“〃2022>a20B”的充分條件.

6.【解析】圓(X+1)2+(J，+2>=4的圓心為(-1,-2),依題意，點(-1,-2)在直線OV+如+1=0上,

因此即

-a-?+l=0,4+26=1(a>0,b>0).l+-=(l+-)(a+2/>)=5+—+—

ababab

25+2I絲.絲=9,當且僅當色=二，即a=6=1時取』"，所以1+2的最小值為9.

Vabab3ab

7.【解析】定義域{x|xx0}.排除CD,由〃5)=:=二>0排除B,所以選A.

8.【解析】在事件4發(fā)生的條件下，乙罐中有5紅2白7個球,則P(8|4)=*=q，A正確：

在事件外發(fā)生的條件下，乙罐中有4紅3白7個球，則尸(。|4)=詈=學=；,B正確：

因84)=輔4)=J尸儂14)=。啊4)=獸=梟

ooZ1J

7

則尸(B)=p(4)P(用4)+C4)尸(04)=。1+?4=去C不正確：

oXio2142

因p(CI4)=呆尸(口4)二警吟,

則p(C)=P(4*(C|4)+氣4*(。14)=4[+)第=春D正確.

oZloZ1cW

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得。分.

題號9101112

全部正確選項ACABACBCD

9.【解析】由折紋圖知.小組A打分的9個分值排序為：42,45,46,47,47,47,50,50,55.小組B打分

的9個分值排序為：36,55,5&62,66,6K68.70,75：對TA：小組A打分的分值的眾數(shù)為47.故

選項A正確：時于B：小組B打分的分值第80百分位數(shù)為9x80%=7.2,所以應排序第8,所以

小組B打分的分值第80百分位數(shù)為70.故選項B不正確：對于C：小組A打分的分值比較均勻，

即對同一個選手水平對評估相對波動較小，故小組A更像是由專業(yè)人士組成，故選項C正確：對

于D：小組A打分的分值的均值約47.7,小組B打分的分值均值為62.根據(jù)數(shù)據(jù)而離散程度可知

小組B的方差較大.選項D不正確：

10?【解析】???凡+1=勿“+1，可得4“+1=2(4+1),.?.數(shù)列｛4+1｝是等比數(shù)列.B正確：

又q=l,則q,+l=(q+l)2i..?.q,=2"-LC錯誤；則%=7,A正確：

22

：.S=0--n=2"'-n-2>故D錯誤.

"1-2

11.【解析】：/(x)的對稱中心即為/(x)的零點，則/[-：)=2sin(r)=0,A正確：

.?.1/7(It7t

xe?則2x---€—,一y=sinx在單調(diào)遞增,B不正確；/(x)在對稱軸

332

處取到最值,=-2.C正確：將函數(shù)/(x)的圖像沿x軸向左平移;個胞位

長度，將得到函數(shù)y=2sin2(x+；)-g=2sin(2x+1)

D不正確.

12.對FA,易知MV與6。為異面H線，所以A/,N,B,。不可能四點共面，故A錯誤:

8

對于B.連接CR,CP,易得MV〃CR，所以NPRC為異面直線PR與MN所成角,

設48=2,則Cn=2&,D、P=6PC=3-所以

(2>/2):+(V5):-3:_>/i0

cosZPD,C=

2x25/2x75-10

所以異面直線PCjj所成角的余弦值為回，故B正確:

10

對FC,連接4B，AM,易得ABUMN,所以平面8A"截

正方體所得板面為梯形MN84,故C正確：對JD.易將QP//BN,因為DFa'Y?而MNB,

MNu平面MNB,所以DF〃平面MNB,所%俏,=公“=噎沖=｝；xlxlx2=；，

故D正確.故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.&：14.215.DM1PC1或BMLPC,OM1PC)16.4.(—4)；

13.【解析】目=故答案為虛.

14.【解析】設經(jīng)過點P的終邊角度為a(0<a<2i),由根據(jù)題意，利用任意向的三角函數(shù)的定義,

.,n.n\.In\.n

..ao=cos—sin—=-sin—=-sin—=—.

3323234

15.【儺析】由ABCD為菱形.則ZC_L8￡>.

?.尸4_1_平面/BCD,所以A4_L8O,..8O_L平面P4C,.?.8Q_LPC,

面PCD為固定平面，面。“8為運動平面,且運動平面中的固定宜線8。J_PC.

所以只需在運動平面中增加一條與DB相交且垂H于PC的H線即可滿足面DV/8JL面PCO.

所以JAZW_LPC,BMLPC,OM1PC,等，都滿足要求.

16.【解析1］如圖所示,過點。作拋物線準線的垂線。E,乘足為點E,設NP田=。，則。為銳角,

設拋物線爐=8x的準線與x軸的交點為M.則|的|=4,由拋物線的定義可知|。h=|。￡|,

9

…翳焉c0s"嚼=

\PF\l+cos0

所以品=

|。F|cosO

節(jié)點P的坐標為(-2,8應)時.|p「|="+(8廚=12.

八\MF\1PFl+cosj4

則cos?=^——p=-,此時d(P)=—=-------=4

\PF\3COS0

節(jié)點P(-2,/)(/>0)時.n4d(P)-\PF\-k>Q恒成、Z,

則A<4</(P)-|PF|,4d(P)-|W|=竺+c°sO)__4_=4,.^<4.

COS。cos。

【解析2】由4-28&)E(20).得|可=12,/“:y=-2a(x-2).聯(lián)立k=8x

整理得f-5x+4=0,解得x=l或x=4，舍)

PF

所以|園=1+2=3,所以4（p）==7=4

FQ

由網(wǎng)―2，。尸（20卜>0，得冏=4+16

/rF：y=—（x-2）.聯(lián)立/=8x,整理得以2-（4/2+128卜+4r=0

-4

=~）,2-9%X=―1,2"（舍）

解得X

所以同=2（r+32）；165//2包+2=$+16）-4〃+16]

PF\.2.._,產(chǎn)-------

所以d（p）=：=大=^-----\.所以4d（p）-\PF\=.,——4+16=4

圖4（4+16-4）114+16-4

所以k<4.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小JB滿分10分.其中第一小問4分，第二小問6分。）

【解析】（I）選①②時：

【解法I】由-q,=2可知數(shù)列｛凡｝是以公差d=2的等差數(shù)列.............1分

又見=5得。$=q+（5-l）xd..................................2分

10

得4=一3..............................................3分

故a”=-3+2（n-l）?即a”=2n-5（〃c..................4分

【解法2】由4M-q=2可知數(shù)列｛a“｝是以公差d=2的等菜數(shù)列..............?分

又％=5得-5）xd.............................2分

則q=5+（〃-5）x2......................................3分

即?！?2"-5（"€N*）....................................4分

選②③時：

由4+|一4=2可知數(shù)列口｝是以公差4=2的等差數(shù)列..............1分

由52=-4可知外+生=-4，即勿|+2=-4...................2分

得q=-3..............................................3分

故a”=-3+2(〃-1)，即可=2〃-5(〃wM)..................4分

【備注】選①⑧這兩個條件無法確定數(shù)列.不給分.

(2)b“=—!—=-----!------=-{-......-]..............2分

(2^-5)(2n-3)212〃-52n-3J

T_1「J1x1k./1k../11J4A

1=7(工[)+Z(-7_])+(1力++(：5_z-T~~r).........4分

2|_-3-1-1113???In-52n-3

=--1-----1--

64〃一6

所以r=_｛L_..........................

"-6〃+9

18.，本小超滿分12分，其中第一小問7分，第二小何5分）

（1）【解法1】而=刀+而=屈+；配=麗+；（衣-刀）=：刀+；而.....2分

訪=但福4配丫=9滴+2x，存而+1而2........4分

133J999

42

=-x]2+2x-xlx3xcosl20+-x32....................5分

999

11

7

.....................................................................................................6分

9

故AD也.............................................................................................7分

3

【解法2】在A48c中，BC2=Aff2+AC2-2-AB-ACcosZBAC

=12+32-2X1X3XCOS120°.......................................1分

所以5C=疝..........................................................................................2分

AB2+BC2-AC2_l2+Vi3~-32

cosZABC=...........................................3分

2ABBC_2xlxVl3

5_5V13

...............................................................................4分

-27B~~26~

在WZ）中，心=AB2+—2-ABBDEZABD

.2.13,,V135713

9326

=-...............................................................................6分

故立..............................................................................................7分

3

【解法3】在A48C中，BC2=AB1+AC2-2-AB-AC-a^ZBAC

=I2+32-2xlx3xcosl200........................................1分

所以8。=而...........................................................................................2分

M+BC-B'3、疽-F

cosZJ4CB=...........................................3分

2ZC8C2x3xVl3

5_7>/13

...............................................................................4分

~2y/13~26

在A/1CD中，AUr=AC2+CD1-2-ACCDcosZACD

=3,"2x3x過瓦跡

5分

9326

12

7

6分

9

故力。=也.

7分

3

【解法4】在A48c中.8G=AB:+JC2-2ABAC-cosZBAC

=F+32-2xlx3xcosl20P1分

所以8C=Jil2分

因為cosZADB+cosZADC=03分

皿+㈣二附+初+叱-公

所以5分

2ADBD2ADIX'

ADr+

即AD2+6分

解得,4。=且

7分

3

AD-AC

（2）【解法1】因為cosND/C=一廠、1分

-AB+-AC^ABAC+IAC2

33_33分

內(nèi)3

4分

2幣5分

【解法2】由（I）解法3可得

8sme="?+3-”

1分

2-ACAD

3y4分

2x3x^y-

13

2

4用.......................................5分

F=~T

19.（本小鹿?jié)M分12分，其中第?小問5分，第二小問7分）

【解析】（I）零假設為“0：學生時課后延時服務的興趣與性別無關(guān)，…I分【注：無零假設不得分】

則2100x(35x20-15x30)2

,2~-50x50x65x35.....................................

=r=1.099...........................................3分

91

1.099<2.706=^|00..........................................4分

根據(jù)小概率值a=0.100的獨立性檢驗.沒仃充分的證據(jù)推斷〃“不成t.

因此認為學生對課后延時服務的興趣V性別無關(guān)........................5分

（2）【解法1】按分以抽樣的方式選出5人.

則興趣較大、興趣?般的女生入選人數(shù)分別為3人和2人........................I分

則4的可能取值為0、I、2..............................................2分

且小=。）系4,小川=等4,

。值=2）=8■=』＞........4分【注：任意一個正確得1分，全部正確得2分】

C'Cl10

分布列為：

012

133......................5分

P

105To

所以數(shù)學期望上…小小嗎?.6分【注；無Ox」?不得這1分】

10

【解法2】按分層抽樣的方式選出5人，

則興趣較大、興趣?般的女生入選人數(shù)分別為3人和2人....................1分

由趣J服從超幾何分布11M=2,N=5（也可表示為J~，（3,25））........2分

所以S的分布列為?e=6=冬實,A=0.1,2......................5分

14

所以數(shù)學期望￡?）=牛=等...................................6分

6

5

即數(shù)學期望為9.................................................7分

5

20.（本小題滿分12分，其中第?小問5分,第：小問7分）

[解析】（I）證明：取PC的中點尸，連接印,BF.

因為/￡是等邊的中線，所以4E1PD........1分

因為￡是極的中點，戶為PC的中點，

所以EF〃CD,且跖=；CO.....................2分

因為AB〃CD,AB=1cD,所以EF〃4B,HEF=.4B,

2

所以四邊形也是平行四邊形，所以.AE〃BF.3分

因為SC=BP,F為PC的中點,所以BF1PC,從而4ELPC................4分

又PCCPD=P,且/Vu平面/W,F￡>u平面PCD.1注：無本行三個條件扣I分】

所以ZE_L平面PCD...................................................5分

（2）【解法1】由（1）知4￡_LCD,又4>_La>,AD[}AE=A,且40、/￡u平面4DP,

所以CDJ?平面40P,從而￡/_￡平面40P.

以E為坐標原點，￡/$,而，麗的方向分別為工丁，二軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz.................I分

則川2&*0,0）.40,262）0-2&.0,4）,

所以麗=卜2a,2#,2）1=（卬1,0.4）............2分

設平面PBC的法向量為后=（x,八二）,

而府=0,行卜2缶+2?y+2二=0,

定用=0,’1T岳+4二=0,..................3分【注：有方程組可得分】

令x=l,則y=0,l=&.所以正=(l,0,a)............................4分

又平面PAD的個法向敢為〃=（0.0.1）,5分

15

/—\mny/2瓜

所以0M加麗飛=下

0s6分

即平面P8C與平面P/。夾角的余弦值為四.

7分【注：無結(jié)論不得分】

3

【解法2】由（1）知花J_CD,^ADICD.ADC\AE=A,且/。、/Eu平面/DP.

所以CD1平面40戶,從而BA1平面ADP

所以AP8C在平面0/O上的投影為AP/。...1分

=ylAB2+PA2=,2?+(4&丫=6

在RlZ,BC中,PH

=,4、(4何=4萬...........

PC=>JCD2+PD22分

取PC中點尸，連結(jié)8尸，

則BF=>JPB2+PF2=Q6y2何=2#...

3分

所以Sv，*=：PC?M=1x4Gx2#=12及

,4分

S/PZ5分

記平血08C5平面/X。所成夾角為8,cos0=2^=6=^

6分

Sw8c12V23

即平面P8C。平面PAD夾角的余弦值為好.

7分【注：無結(jié)論不得分】

3

【解法3】延長C8交D4延長線『點。,連結(jié)PQ.........I分【注：作出圖形可得分】

因為/8〃C0且48=：C￡>.所以"=40

則AE4D為直角三角形,DPLPQ.................2分

III(I)知/E_LCO,又4O1CZ).

ADf]AE=A,且40、/七€：平面/。戶,

所以QJ1平面/0P,從而CD_LP03分

由：面角定義知：面/>8C與面產(chǎn),4。所成夾角為NOPC.........4分【注：指出平面角可得分】

在RtfiPDC中，PC=y/CD2+PD2=,+(4廚=44

5分

PD4&#

cosZ7DnPpCr=——=-==——.............................................6分

PC463

即平面PBC'j平面PAD夾角的余弦值為半.

7分【注，無結(jié)論不得分】

16

21.（本小題滿分12分，其中第一小問4分，第二小問8分）

【解析】（I）由已知得￡=:，所以：=1-二=1-（，]=二.......................1分

。2//⑴4

又點.（1,-21在該橢圓上，所以1+之=1................................2分

\2）u46*

所以a2=4,b2=3.....................................................3分

22

所以橢圓C的標準方程為三+上=......................................4分

43

（2）由于8N的斜率為A.設汽線切V的方程為y=*（x-2）.I分

y=k（x-2）

2

聯(lián)V方程組■x/.整理得（4^+3）/-1&1+1&、12=0,2分

T+T=1

所以辦心=黑譽，所以打