高等應(yīng)用數(shù)學(xué)

高等職業(yè)教育十三五規(guī)劃教材

“”

高等應(yīng)用數(shù)學(xué)

崔俊明高茜主編

王文武張恩英副主編

韓蕾蕾主審

內(nèi)容簡介

本教材是根據(jù)高職教育的目標(biāo)和特點針對當(dāng)前高職學(xué)生實際狀況編寫的具有如下特

,,

點所有概念引入都從生活生產(chǎn)中的實例入手內(nèi)容闡述注重簡明直觀易懂避免過

:①、;②、、,

深的理論知識和數(shù)學(xué)推導(dǎo)選編了一些有趣的數(shù)學(xué)知識起源和數(shù)學(xué)家小傳等小資料以培

;③,

養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)擴(kuò)大學(xué)生的知識面

,。

教材內(nèi)容包括函數(shù)極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用不定積分定積分

:、,,,,

及其應(yīng)用無窮級數(shù)微分方程本教材適合作為高等職業(yè)院校各專業(yè)的教材

,,。。

圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)

高等應(yīng)用數(shù)學(xué)崔俊明高茜主編北京中國

/,.—:

鐵道出版社有限公司

,2019.6

高等職業(yè)教育十三五規(guī)劃教材

“”

ISBN978--7--113--25777--4

高崔高應(yīng)用數(shù)學(xué)高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①--

職業(yè)教育教材

--Ⅳ.①O29

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2019)087785

書名:高等應(yīng)用數(shù)學(xué)

作者:崔俊明高茜

策劃:李小軍讀者熱線:

(010)63550836

責(zé)任編輯:許璐徐盼欣

封面設(shè)計:劉穎

責(zé)任校對:張玉華

責(zé)任印制:郭向偉

出版發(fā)行:中國鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號

(100054,8)

網(wǎng)址:

/51eds/

印刷:三河市興博印務(wù)有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201961201961

開本:印張:字?jǐn)?shù):千

720mm×960mm1/1615.25286

書號:

ISBN978--7--113--25777--4

定價:元

39.00

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請與本社教材圖書營銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

打擊盜版舉報電話

:(010)51873659

前言

本教材是根據(jù)教育部制定的《高職高專教育高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)基本

要求》,結(jié)合目前高等職業(yè)教育發(fā)展要求而編寫的。當(dāng)前,我國高等教育發(fā)

展迅速,高等教育實現(xiàn)了大眾化,高等職業(yè)教育進(jìn)入了普及化時代,高職高

專教育的目標(biāo)是培養(yǎng)數(shù)以千萬計的技能型應(yīng)用人才。為適應(yīng)社會對高職

高專發(fā)展的要求,根據(jù)理工類應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)的實際情況,編寫了本教材。

本教材堅持“以應(yīng)用為目的,以夠用為度”的原則;堅持理論聯(lián)系實際

的原則;堅持知識性與直觀性相結(jié)合的原則。突出實際應(yīng)用,注重培養(yǎng)學(xué)

生自行學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題與解決問題的能

力,力求做到文字簡練、深入淺出、通俗易懂,使讀者在沒有他人指導(dǎo)的情

況下也能讀懂教材,輕松獲得相關(guān)數(shù)學(xué)知識。

本教材注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng),注重學(xué)生文化歷史的教育,以嚴(yán)謹(jǐn)

的教材結(jié)構(gòu)和嚴(yán)密的內(nèi)容邏輯,培養(yǎng)學(xué)生良好的人格品質(zhì),積極踐行“立德

樹人”教學(xué)目標(biāo)。

本教材適合作為高等職業(yè)院校各專業(yè)的教材,教學(xué)時數(shù)為學(xué)時左

80

右。教材中帶“”的內(nèi)容可根據(jù)學(xué)生實際情況進(jìn)行選擇。

*

本教材由河北地質(zhì)職工大學(xué)崔俊明、高茜任主編,河北地質(zhì)職工大學(xué)

王文武、張恩英任副主編,河北地質(zhì)職工大學(xué)韓蕾蕾任主審。各章編寫分

工如下:第、、章和第章、、節(jié)由崔俊明編寫,第、章和第

167523

章、、節(jié)由高茜編寫,第章、、節(jié)由張恩英編寫,第

44

章、、節(jié)由王文武編寫,全書由崔俊明統(tǒng)稿。河北地質(zhì)職工大

5

ⅱ高等應(yīng)用數(shù)學(xué)

學(xué)李艷麗為本教材資料收集、文字錄入做了許多工作。張家口學(xué)院李素芳

教授、張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院趙燕冰教授對本教材的編寫提出寶貴建議。在

此對各位同仁的幫助表示衷心的感謝!

由于編者水平有限,編寫時間倉促,教材中難免有不當(dāng)之處,敬請廣大

師生不吝賜教,以使本教材進(jìn)一步完善。

編者

年月

20194

目錄

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)………………

1

函數(shù)………………

1.11

習(xí)題………………

1.115

極限……………

1.216

習(xí)題………………

1.224

極限的運算法則………………

1.325

習(xí)題………………

1.327

極限存在定理及兩個重要極限………………

1.428

習(xí)題………………

1.433

無窮小量與無窮大量…………

1.534

習(xí)題………………

1.538

函數(shù)的連續(xù)性…………………

1.639

習(xí)題………………

1.645

小結(jié)……………………

46

檢測題…………………

48

第2章導(dǎo)數(shù)與微分……………………

50

導(dǎo)數(shù)的概念……………………

2.150

習(xí)題………………

2.156

導(dǎo)數(shù)的四則運算與反函數(shù)的求導(dǎo)法則………

2.256

習(xí)題………………

2.259

復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)…………………

2.359

習(xí)題………………

2.362

隱函數(shù)和參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)……………………

2.463

習(xí)題………………

2.466

高階導(dǎo)數(shù)………………………

2.567

習(xí)題………………

2.569

微分……………

2.669

ⅳ高等應(yīng)用數(shù)學(xué)

習(xí)題………………

2.674

小結(jié)……………………

75

檢測題…………………

76

第3章導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用……………

77

函數(shù)單調(diào)性的判定……………

3.177

習(xí)題………………

3.180

函數(shù)的極值及其求法…………

3.280

習(xí)題………………

3.284

函數(shù)的最大值與最小值………

3.384

習(xí)題………………

3.390

曲線的凹凸性與拐點…………

3.491

習(xí)題………………

3.494

洛必達(dá)法則……………………

3.595

習(xí)題………………

3.598

函數(shù)圖像………………………

3.699

習(xí)題……………

3.6103

*導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用…………………

3.7103

習(xí)題……………

3.7107

微分的應(yīng)用……………………

3.8107

習(xí)題……………

3.8111

小結(jié)…………………

111

檢測題………………

111

第4章不定積分……………………

113

不定積分的概念………………

4.1113

習(xí)題……………

4.1116

不定積分的性質(zhì)和基本積分公式……………

4.2117

直接積分法……………………

4.3119

習(xí)題……………

4.3120

換元積分法……………………

4.4121

習(xí)題……………

4.4128

分部積分法……………………

4.5129

目錄ⅴ

習(xí)題……………

4.5133

簡易積分表的使用……………

4.6133

習(xí)題……………

4.6136

小結(jié)…………………

136

檢測題………………

136

第5章定積分及其應(yīng)用……………

138

定積分的概念…………………

5.1138

習(xí)題……………

5.1142

定積分的性質(zhì)…………………

5.2143

習(xí)題……………

5.2146

微積分基本公式………………

5.3146

習(xí)題……………

5.3151

定積分的換元積分法與分部積分法…………

5.4152

習(xí)題……………

5.4157

定積分的應(yīng)用…………………

5.5158

習(xí)題……………

5.5165

*廣義積分……………………

5.6166

習(xí)題……………

5.6170

小結(jié)…………………

171

檢測題………………

171

第6章無窮級數(shù)……………………

173

常數(shù)項級數(shù)……………………

6.1173

習(xí)題……………

6.1182

冪級數(shù)…………

6.2183

習(xí)題……………

6.2187

小結(jié)…………………

187

檢測題………………

187

第7章微分方程……………………

189

微分方程基本概念……………

7.1189

習(xí)題……………

7.1191

一階微分方程…………………

7.2192

ⅵ高等應(yīng)用數(shù)學(xué)

習(xí)題……………

7.2198

二階常系數(shù)齊次線性微分方程………………

7.3199

習(xí)題……………

7.3202

小結(jié)…………………

203

檢測題………………

203

總復(fù)習(xí)題………………

205

期末檢測題1…………

208

期末檢測題2…………

210

附錄……………………

231

附錄積分表……………………

A213

附錄部分習(xí)題和檢測題參考答案……………

B224

參考文獻(xiàn)………………

234

第1章

函數(shù)、極限與連續(xù)

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象極限概念是微積

,.

分學(xué)的理論基礎(chǔ)極限方法是微積分學(xué)的基本分析方法因此掌握運用好極限方法

,,,、

是學(xué)好微積分的關(guān)鍵連續(xù)是函數(shù)的一個重要性質(zhì)本章將介紹函數(shù)極限與連續(xù)的基

..、

礎(chǔ)知識和有關(guān)的基本方法

.

1.1函數(shù)

大家在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)二次函數(shù)等概念為學(xué)好高等數(shù)學(xué)下面復(fù)

、,,

習(xí)函數(shù)的相關(guān)概念

.

1函數(shù)的定義

.

定義1設(shè)D為一個非空實數(shù)集合若存在確定的對應(yīng)法則f使得對于數(shù)集D

,,

中的任意一個數(shù)x按照某種定義法則都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)則稱是

,fy,y

x定義在集合D上的函數(shù)記作

,

yfxxD.

=(),∈

其中x稱為自變量y稱為因變量數(shù)集D稱為該函數(shù)的定義域也可記為Df

,,,,.

如果對于自變量x的某個確定的值xD因變量y能夠得到一個確定的值

0∈,

y那么就稱函數(shù)yfx在x處有定義并把y稱為函數(shù)在xx處的函數(shù)

0,=()0,0=0

值記為

,

yfxxxfx

0=()=0=(0).

當(dāng)自變量取遍D的所有數(shù)值時對應(yīng)函數(shù)值的全體構(gòu)成的集合稱為函數(shù)yf

,=

x的值域記為M或D即

(),f(),

MfDyyfxxD.

=()={=(),∈}

注:函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則稱為函數(shù)的兩個要素兩個函數(shù)相同的充要條件是

.

它們的定義域和對應(yīng)法則均相同

.

表示函數(shù)的記號是可以任意選取的除了常用的外還可用其他的英文字母或

,f,

希臘字母如gFΦ等相應(yīng)地函數(shù)可記作ygxyFxyΦx等有

,“”“”“”,,=(),=(),=().

2高等應(yīng)用數(shù)學(xué)

時還可直接用因變量的記號來表示函數(shù)即把函數(shù)記作yyx當(dāng)在同一個問題中

,=().

討論到幾個不同的函數(shù)時為了表示區(qū)別需用不同的記號來表示它們

,,.

2函數(shù)的定義域

.

函數(shù)的定義域通?？梢园匆韵聝煞N情形來確定一種是對有實際背景的函數(shù)其

:,

定義域根據(jù)變量的實際意義確定另一種是對抽象地用表達(dá)式表達(dá)的函數(shù)通常約定

;,

這種函數(shù)的定義域是使得函數(shù)表達(dá)式有意義的一切實數(shù)組成的集合這種定義域也稱

,

函數(shù)的自然定義域

.

注:在這種約定之下一般地用表達(dá)式表達(dá)的函數(shù)可用yfx表示而不必再

,,=(),

寫出函數(shù)定義域Df

.

例1確定函數(shù)

fxxx2x

()=3+2-+ln(-2)

的定義域

.

解該函數(shù)的定義域應(yīng)為滿足不等式組

xx2

3+2-≥0

{x

-2>0

的x值的全體解此不等式組得其定義域為xx即

,,{2<≤3},(2,3].

函數(shù)定義域可以用集合區(qū)間形式來表示下面我們介紹一種常用的集合鄰域的定義

、..

定義2設(shè)a與δ是兩個實數(shù)且δ數(shù)集xaδxaδ稱為點a的δ鄰

,>0,{-<<+}

域記為

,

Uaδxaδxaδ.

(,)={-<<+}

其中點a稱為該鄰域的中心δ稱為該鄰域的半徑

,,.

由于aδxaδ相當(dāng)于xaδ因此

-<<+-<,

Uaδxxaδaδaδ.

(,)={-<}=(-,+)

若把鄰域Uaδ的中心去掉所得到的鄰域稱為點a的去心δ鄰域記為Uaδ即

(,),,^(,),

Uaδxxaδaδaaaδ.

^(,)={0<-<}=(-,)∪(,+)

為了使用方便有時把開區(qū)間aδa稱為點a的左δ鄰域把開區(qū)間aaδ

,(-,),(,+)

稱為點a的右δ鄰域

.

Uaδ的幾何意義是以a為中心δ為半徑的開區(qū)間aδaδ如圖所

(,):、(-,+),111

示

.

圖

111

第章函數(shù)、極限與連續(xù)3

1

Uaδ的幾何意義是以a為中心δ為半徑的開區(qū)間去掉中心點a的開區(qū)間

^(,):、

aδaaaδ如圖所示

(-,)∪(,+),112.

圖

112

3函數(shù)的表示法

.

列表法

1)

列表法是將自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表格的方法

.

圖像法

2)

圖像法是在坐標(biāo)系中用圖形來表示函數(shù)關(guān)系的方法

.

公式法解析法

3)()

公式法是將自變量和因變量之間的函數(shù)關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式又稱解析式來表示

()

的方法

.

4分段函數(shù)

.

定義3函數(shù)在定義域的不同范圍內(nèi)具有不同的解析表達(dá)式我們把這樣的函

,,

數(shù)稱為分段函數(shù)

.

下面來看幾個分段函數(shù)的例子

.

絕對值函數(shù)

1)

x當(dāng)x

yx≥0

=={x當(dāng)x

-<0

的定義域為D值域Rf如圖所示

=(-∞,+∞),=[0,+∞),113.

符號函數(shù)

2)

ì當(dāng)x

?1>0

yxí當(dāng)x

=sgn=?0=0

?當(dāng)x

-1<0

的定義域為D值域Rf如圖所示

=(-∞,+∞),={-1,0,1},114.

圖圖

113114

4高等應(yīng)用數(shù)學(xué)

狄利克雷函數(shù)

3)

當(dāng)x是有理數(shù)時

yDx1

=()={當(dāng)x是無理數(shù)時

0

的定義域為D值域Rf狄利克雷函數(shù)的圖像很難畫出

=(-∞,+∞),={0,1}..

例2設(shè)旅客乘坐火車可免費攜帶不超過的物品超過而不超過

20kg,20kg

的部分交費a元超過的部分交費b元求運費與攜帶物品質(zhì)量的

50kg/kg,50kg/kg,

函數(shù)關(guān)系

.

解設(shè)物品質(zhì)量為x應(yīng)交運費為y元由題意可知這時應(yīng)考慮三種情況

kg,.,:

情況一質(zhì)量不超過這時

:20kg,

yx

=0,∈[0,20];

情況二質(zhì)量大于但不超過這時

:20kg50kg,

yxax

=(-20)×,∈(20,50];

情況三質(zhì)量超過這時

:50kg,

yaxbx.

=(50-20)×+(-50)×,∈(50,+∞)

因此所求的函數(shù)是一個分段函數(shù)

,

ì當(dāng)x

?0∈[0,20]

yíax當(dāng)x.

=?(-20)∈(20,50]

?abx當(dāng)x

(50-20)+(-50)∈(50,+∞)

5反函數(shù)

.

函數(shù)關(guān)系的實質(zhì)就是從定量分析的角度來描述運動過程變量之間的相互依賴關(guān)

系但在研究過程中哪個作為自變量哪個作為因變量函數(shù)是由具體問題來決定

.,,(),

的例如設(shè)某做勻速直線運動的物體的運動速度為v運動時間為t則其位移s是

.,,,

時間t的函數(shù)svt這里t是自變量s是因變量若已知位移s反過來求時間t則有

:=,,;,,

s

t此時s是自變量t是因變量以上兩式是同一個關(guān)系的兩種寫法但從函數(shù)的

=v,,.,

觀點看由于對應(yīng)法則不同它們是兩個不同的函數(shù)常稱它們是互為反函數(shù)

,,,.

一般地有如下定義

,:

定義4yfx是定義在D上的函數(shù)其值域為M若對于數(shù)集M中的每個數(shù)

=(),,

y數(shù)集D中都有唯一的一個數(shù)x使yfx這就是說變量x