高中考試數(shù)學(xué)解答題-含對(duì)數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題（含答案）

專題05：極值點(diǎn)偏移第三招——含對(duì)數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題前面我們已經(jīng)指明并提煉出利用判定定理解決極值點(diǎn)偏移問題的策略：若的極值點(diǎn)為，則根據(jù)對(duì)稱性構(gòu)造一元差函數(shù)，巧借的單調(diào)性以及，借助于與，比較與的大小，即比較與的大小．有了這種解題策略，我們師生就克服了解題的盲目性，細(xì)細(xì)咀嚼不得不為其絕妙的想法喝彩。本文將提煉出極值點(diǎn)偏移問題的又一解題策略：根據(jù)建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)平均不等式鏈求解．★例.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【問題的進(jìn)一步探究】對(duì)數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)時(shí)，.不失一般性，可設(shè).證明如下：（I）先證：……不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式成立；（II）再證：……不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.例題第（3）問另解：由故要證.根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式，此不等式顯然成立，故原不等式得證.★已知函數(shù)與直線交于兩點(diǎn).求證：【招式演練】★已知函數(shù)（），曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.★已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，且取得最大值時(shí)，設(shè)，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：★已知函數(shù)f(x)=alnxx，g(x)=b(x+1)（1）若a=b，討論F(x)=f(x)?g(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)f(x)的曲線與函數(shù)g(x)的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x★已知函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，證明：.【新題試煉】【2019四川自貢一診】已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有極值，對(duì)任意的，當(dāng)，存在使，證明：.【2018廣東江門調(diào)研】已知函數(shù)，是常數(shù)且.（1）若曲線在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；（2）若（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），試證明：①函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，②函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)滿足.前面我們已經(jīng)指明并提煉出利用判定定理解決極值點(diǎn)偏移問題的策略：若的極值點(diǎn)為，則根據(jù)對(duì)稱性構(gòu)造一元差函數(shù)，巧借的單調(diào)性以及，借助于與，比較與的大小，即比較與的大?。辛诉@種解題策略，我們師生就克服了解題的盲目性，細(xì)細(xì)咀嚼不得不為其絕妙的想法喝彩。學(xué)科#網(wǎng)本文將提煉出極值點(diǎn)偏移問題的又一解題策略：根據(jù)建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)平均不等式鏈求解．★例.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.法二：構(gòu)造以為主元的函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則，，由，解得，學(xué)科&網(wǎng)當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，而，所以，故當(dāng)時(shí)，.【問題的進(jìn)一步探究】對(duì)數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.只證：當(dāng)時(shí)，.不失一般性，可設(shè).證明如下：（I）先證：……不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式成立；（II）再證：……不等式構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；學(xué)科*網(wǎng)綜合（I）（II）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.例題第（3）問另解：由故要證.根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式，此不等式顯然成立，故原不等式得證.★已知函數(shù)與直線交于兩點(diǎn).求證：由題于與交于不同兩點(diǎn)，易得出則∴上式簡(jiǎn)化為:∴【招式演練】★已知函數(shù)（），曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）試比較與的大小，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）（2）見解析學(xué)科&網(wǎng)試題解析：（1）依題意得，所以，又由切線方程可得，即，解得此時(shí)，，令，即，解得；令，即，解得所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為所以，即，，.（2）證明：不妨設(shè)因?yàn)樗曰?jiǎn)得，可得，.要證明，即證明，也就是因?yàn)?，所以即證學(xué)科&網(wǎng)即，令，則，即證.令（），由故函數(shù)在是增函數(shù)，所以，即得證.所以.學(xué)科&網(wǎng)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式，考查利用分析法和導(dǎo)數(shù)來證明不等式的方法.有關(guān)導(dǎo)數(shù)與切線的問題，關(guān)鍵的突破口在與切點(diǎn)和斜率，本題中已知切線和某條直線垂直，也即是給出斜率，利用斜率可求得函數(shù)的參數(shù)值.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式通常先利用分析法分析，通過轉(zhuǎn)化后再利用導(dǎo)數(shù)來證明.★已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，且取得最大值時(shí)，設(shè)，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，最大為1；（Ⅲ）證明過程見解析（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)取最大值1時(shí)，，記，，不妨設(shè)，由題意，則，，欲證明，只需證明，只需證明，即證明，即證，設(shè)，則只需證明，也就是證明，記，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以原不等式成立.★已知函數(shù)f(x)=alnxx（1）若a=b，討論F(x)=f(x)?g(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)f(x)的曲線與函數(shù)g(x)的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，證明：【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由已知得F(∴F'當(dāng)0<x<1時(shí)，∵1-當(dāng)x>1時(shí)，∵1-故若a>0，F(xiàn)(x)在故若a<0，F(xiàn)(x)在取∴t=x1x∵p'(t)=1t∴p故原命題得證．★已知函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，證明：.【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）見解析（Ⅱ）由，只要證只需證，不妨設(shè)即證，學(xué)科*網(wǎng)只需證，則在上單調(diào)遞增，，即證【新題試煉】【2019四川自貢一診】已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有極值，對(duì)任意的，當(dāng)，存在使，證明：.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.(2)由（1）當(dāng)時(shí)，存在極值.由題設(shè)得又，設(shè).則.令，則所以在上是增函數(shù)，所以又，所以，因此即又由知在上是減函數(shù)，所以，即.學(xué)科@網(wǎng)【2018廣東江門調(diào)研】