高數(shù)競賽試題集

高等數(shù)學(xué)競賽

一、填空題

什［.sinx/,

1.若hm---(cosx-/7)x=5,則〃=，b=.

x->oex-a

(Yl—1比

2.設(shè)f(x)=lim--一-，則f(x)的間斷點(diǎn)為冗=.

②nx+1

3.曲線y=lnx上與直線尤+y=1垂直的切線方程為一

xx

4.已知f\e}=xe~f且/(1)=0,則#X)=.

x=+3f+1

5.設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程〈，確定,則曲線y=y(x)向上凸的x取值

y=t3-3t+l

范圍為.

X,/e2xdy

6.設(shè)y=arctane-In--，則一=.

Ve2x+1dx.v=i一

7.若X-0時(shí)，(1一?！?)4—1與xsinx是等價(jià)無窮小，貝lja=.

xe,---<x<一2

8.設(shè)/(x)=<2]2,貝1IJ]/(X一l)dx=.

-1,x>-2

I2

〃n

9.由定積分的定義知，和式極限lim￡“2=-----------

“TOOA=]"+k

r+8dx

io./=.

1xyJx2-1

二、單項(xiàng)選擇題

II.把時(shí)的無窮小量a=1；cosf2dr,/?=]：tanJFdf,y=『sinF力，使排在后面的

是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是【】

(A)a,/3,y.(3)a,y,/3.(c),(D)p,y,a.

12.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且/'(0)>0,則存在3>0,使得【】

(A)f(x)在(0,5)內(nèi)單調(diào)增加.(B)f(x)在(-5,0)內(nèi)單調(diào)減少.

(C)對任意的xe(O,b)有f(x)>f(o).(D)對任意的xe(一反0)有f(x)>f(O).

13.設(shè)/(x)=|x(l—幻|，則【】

(A)x=0是/(X)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線丁=/(X)的拐點(diǎn).

(B)x=0不是/(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(C)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(D)x=0不是/(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

14.limInJ(l+-)2(1+-)2???(1+-)2等于【】

〃T8\nnn

(A)xdx.(B)21lnx公.(C)2jjn(l+xM.(D)二"(l+x)公

IyI—2)

15.函數(shù)JQ)="-----1在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.【】

x(x-l)(x-2)2

(A)(?1,O).(B)(O,I).(C)(l,2).(D)⑵3).

精心整理

沖，…，則

16.設(shè)/(x)在(??,+?)內(nèi)有定義，且lim/(x)=a,g(x)=<

X->00

0,x=0

(A)x=O必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B)x=O必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).

(C)x=O必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D)g(x)在點(diǎn)產(chǎn)0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).

17.設(shè)/'(X)在［a,b］上連續(xù)，且/'(。)>0,/'(份<0,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是【】

(A)至少存在一點(diǎn)X。€(。,勿，使得/(x())>/(a).

(B)至少存在一點(diǎn)x0G(a,b),使得f(.x0)>f(b).

(C)至少存在一點(diǎn)x()使得/'(與)=0.

(D)至少存在一點(diǎn)x()G(a,b),使得/(4)=0.

l,x>0

18.設(shè)/(%)=<0,x=0,F(x)=f'f(t)dt,則【】

J0

—1,x<0

(A)F(x)在x=0點(diǎn)不連續(xù).

(B)F(x)在(??,+?)內(nèi)連續(xù)，但在產(chǎn)0點(diǎn)不可導(dǎo).

(C)F(x)在(??,+?)內(nèi)可導(dǎo)，且滿足F(x)=/(X).

(D)F(x)在(??,+?)內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足尸'(X)=/(%).

三、解答題

1(2+COSXY

19.求極限hm=

ioxI-3~~'

20.設(shè)函數(shù)f(x)在(-8,+8)上有定義，在區(qū)間［0,2］上，/(%)=X(X2-4)，若對任意的x都滿足

/(x)=M(x+2),其中左為常數(shù).(1)寫出/(x)在［-2,0］上的表達(dá)式；(II)問％為何值時(shí)，/(x)在x=0處可導(dǎo).

21.設(shè)/(x),g(x)均在上連續(xù)，證明柯西不等式

22.設(shè)e<a</?</,證明In2Z7-In2a>—(/?—a).

e~

X+/X

23曲線y—與直線x=0,x=f(f>0)及y=0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，其

SQ)S(t)

體積為V(f),側(cè)面積為S(f),在x=f處的底面積為FQ).(1)求----的值；(11)lim-----.

V(Z)一壯?⑺

24.設(shè)/(x),g*)在&切上連續(xù)，且滿足「/⑺〃2「g⑺dr,x?［a,h),//■?)%=

JaJaJaJa

rbrb

證明：^f(x)dx<xg(x)dx.

JaJa

25.某種飛機(jī)在機(jī)場降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減

速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h.經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與

飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為％=6.0x1(f).問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h

表示千米/小時(shí).

高等數(shù)學(xué)競賽試卷

一、單項(xiàng)選擇題

%2

1、若lim(-----ar-Z?)=0,貝ij

x+1

(A)a=l,h=\(B)a=—1,b=l(C)a=l,b=—\(D)a=—1,h=-l

號’其中/(X)在x=0處可導(dǎo)且1(0)工0,〃0)=0,則x=0是尸(X)的

2、設(shè)F(x)=<

/(0),x=0

(A)連續(xù)點(diǎn)(B)第一類間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn)(D)以上都不是

X

3、設(shè)常數(shù)上>0,函數(shù)/(x)=lnx——+%在(0,+00)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(A)0(B)1(C)2(D)3

e

4、若在[0,1]上有/(0)=g(0)=0,/Xl)=g⑴=?！?,且/'(x)>0,g"(x)<0,則公，

/2=jog(x)dx,I3=J(嚴(yán)dx的大小關(guān)系為

(A)7,>/2>Z3(B)/2>/3>/,(C)I3>12>1](D)/2>/,>I3

5、由平面圖形OWaWx〈d0?yW/(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

(A)Vxf(x)dx(B)V2Tf(x)dx(C)V=TT[f2(x)dx(D)V-TC\f(x)dx

JaJaJa

6、P(l,3,*~4)關(guān)于平面3x+y—2z=0的對稱點(diǎn)是(A)(5,—1,0)(B)(5,1,0)(c)(—5,—1,0)(D)(-5,1,0)

設(shè)。為〈是。位于第一象限的部分，連續(xù)，則“

7、f+y2R2,4/(x)/(Y+y2Mb=

D

22

(A)8jjf(x2)da(B)0(C)J：陽：(D)4jj/(x+y)Ja

認(rèn)一~A

00

8、。為常數(shù)，則級數(shù)z(A)絕對收斂(B)發(fā)散C)條件收斂(D)收斂性與。的取值有關(guān)

?=1

二、填空題

tan32x

1、lim

x->0x4

2、具有“個(gè)不相等實(shí)根的〃次多項(xiàng)式，其一階導(dǎo)數(shù)的不相等實(shí)根至少有個(gè)。

1JJ-

3、對數(shù)螺線P=/在點(diǎn)(°,。)=(e2,耳)處的切線的直角坐標(biāo)方程為。

4、設(shè)了(%)是％的二次多項(xiàng)式，且(1一次)/(x)+2/(x)=0,/(0)=1,則/(x)=。

5、設(shè)丁=5111%2,則辦=d(%3)。

28%7+X，+4x3+2/—3x+1

6、dx=o

-2x2+1

辛(一1)〃+Q

7、若級數(shù)〉:——收斂，則常數(shù)。=。

八

errzln(x2+y2+z2+1),,,

8、三重積分n、v=+「+i混)"=。

x-+y+z」

8*、已知曲線》二/一3/工+人與X軸相切，則〃可以通過。表示為"2=。

22

9、設(shè)Z為上半橢球面工+二+Z?=1,(z>0),已知Z的面積為s,則曲面積分JJ(4x2+9y2+36z2)dS=°

94z

+812〃+1

9*、級數(shù)Z3一的收斂區(qū)間為。

〃=13

10、三元函數(shù)〃=z-/+2孫在點(diǎn)(1,1,1)處沿該點(diǎn)的向徑方向的方向?qū)?shù)為。

1Y

10*、設(shè)/(—)=----，且/(x)可微，則f\x)=o

X1+x

11、設(shè)y=f\Jsintdt(0<x<7r)則曲線y=y(x)的長度為。

Jof

11*、若，/(1)公=尤"+C,則/(x)=。

12、設(shè)4,。，C都是單位向量，且滿足。+匕+。=0,則。?b+O?C+C?Q=。

12*、函數(shù)y=融的拐點(diǎn)為。

3____________

三、按要求做下列各題。1、求極限lim(yJx+2-2>/x+T+Vx)o2、已知函數(shù)y=/(x)對一切x滿足

XT+X)

4"(x)+3M/'(x)f=1—e-*且在點(diǎn)/力0處取得極值，問/(%)是極大值還是極小值，并證明你的結(jié)論。

,c1+lnx,rx

四、計(jì)算下面積分。1、--------dx2、P——dx

Jx~x+X11J^sin-x

五、/(x,y)為。：/+;/Ky,x?O上的連續(xù)函數(shù)，/(x,y)=71-4一)，2—3"/(”/〃”小,求/(x,y)

71D

六、周長為2/的等腰三角形繞其底邊旋轉(zhuǎn)，問此等腰三角形的腰和底邊之長各為多少時(shí)，才可使旋轉(zhuǎn)體的體積為最

大？

七、/(x)可連續(xù)(a,。)可導(dǎo)，/(?)-/(/?)>0,/(a)"(a+b)<0.證明：在(a,Z?)內(nèi)存在J,使得

/'e)=/?。

x=r+2t小，、dyd'y

八、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程組<.(0<a<1)所確定，求,2°

/一y+asiny=2dxax'

九、1、已知J,e—「抬=-^,。為大于零的常數(shù)。設(shè)積分/=cos2xy-3y)<ir+(evsin2xy-by)dy.

7t71

其中L是依次連結(jié)A(a,0),6(a,—),C(0,—),。(0,0)的有向折線。求極限limK

aaar+?

一,rrxdydz+ydzdx+zdxdy「z(x-2)2(y-1)2,八、

、計(jì)算曲面積分/=一，/其中為曲面一一=-------+-一的上側(cè)。

22，3,，21L(zNO)

27(x+/+?)5169

提示：先補(bǔ)充兩個(gè)曲面Z={(x,y,z)|z=0,x2+y22a2,(,—2)+'.’一"取下側(cè)；

169

222

S2={(x,y,z)lz=yla-x-y,取下側(cè)，其中常數(shù)a充分小，使上半球面％與積分曲面E互不相交。

九*、1、已知E(x)是/(幻的一個(gè)原函數(shù)，而b(x)是微分方程孫'+>="滿足初始條件Iimy(x)=l的解，試將

XTO

+8n

/(X)展開成X的寨級數(shù)，并求》:-------的和。

M(〃+D!

2、如下圖，曲線c的方程為y=/(x),點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線4與4分別是曲線c在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處

的切線，其交點(diǎn)為(2,4)。設(shè)函數(shù)/(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分「(x+%2)/

J0

高等數(shù)學(xué)競賽

一、填空題

(12n\「J11

1lim-5------1--：-------F....+-：-------=2hm|-------

-----------。。*一八彳-

?n-+n+]n-+n+2n-+n+n)xtanx

3.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=l-xe「確定，貝i］崇|*=0=。4.［缶-/公=。

5.廣義積分「'"3=。6./+產(chǎn)=/繞x=4S>a>0)旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為。

J。(1+x2)2------------

7.z=z(x,y)由z=e2A3工+2,確定，則3包+包=。8.z=/+/與2x+4y—z=0平行的切平面的方程是

dxdy---------

222

9.設(shè)r=y]x+y+z,則div(gradr)|(1_22)=

1。.交換二次積分次序的積分次序dy^~yf(x,y)dx=

12.設(shè)乙為正向圓周一+V=2在第一象限中的部分，則曲線積分J9-2MZx的值為.

二、單項(xiàng)選擇題

13.設(shè)函數(shù)/(幻=卜3_"夕(》)，其中夕(X)在x=l處連續(xù)，則夕⑴=0是/(X)在x=l處可導(dǎo)的【】

(A)充分必要條件.(B)必要但非充分條件.(C)充分但非必要條件.(D)既非充分也非必要條件.

14.設(shè)/(x)在［0,I］上連續(xù)，且9⑺二/⑴刈^^則口八依粒=［］

(A)F(1)-F(O).(B)F(a)-F(0).(C)1［F(?)_F(())］.<D)a［F(a)-F(0)］.

15.下列等式中正確的是［】(A)jf(2x)dx=f(2x)+C.(B)J^(2x)=/(2x)+C.

(C)f(x-t)dt=f(x-t).(D)d^xf{xt}dt=/(x).

16.1imInJ(1+，)2(1+…(1+馬2等于

〃T8\nnn

(A)(B)2^^\nxdx.(C)2jJn(l+x)i/r.(D)ln2(l+x)i/r.

.￡f?r也「后

17.設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，貝ijJjdeJo’rcose,rsin8)rdr等于【】(A)j2drjf(x,y)dy.

「立(?后r在fg.紅r"

222

<B)Jo<ZrJof(x,y)dy.(C)Jof(x,y)dx.(D)Jody^f(x,y)dx.

18.設(shè)/(x,y)與夕(x,y)均為可微函數(shù)，且*：(x,y)H0.已知(x0,%)是f(x,y)在約束條件夕(x,y)=0下的一個(gè)極值

點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是[】(A)若/；(%,%)=0,則/：(/，%)=0.(B)若<'(%,%)=0,則｛'(玉)，%)*°?

x

(C)若f^x0,%)70,則/；(x0,%)=0.(D)若/：(%,月)￥°，則fy(■o^。0?

22

19.設(shè)/為橢圓二十匕=1,其周長記為〃，則J。孫+3f+4)/)/=[](A)4a.(B)8a.(C)12^7(D)16a.

43.

aocoooco8a

20.級數(shù)收斂，級數(shù)【】(A)ZLI收斂一(B)Z(-D"a“收斂.(C)收斂.(D)工———四■收

n=\〃=1n=\/i=I?i=l2

斂.

三、解答題

21.極限lim(sin21

+COS—

X

22.設(shè)函數(shù)/(x)在(-00,4-00)上有定義,在區(qū)間［0,2］上"(x)=x(%2一4),若對任意的％都滿足了(%)=左/(%+2),

其中女為常數(shù).(I)寫出f(x)在［一2,0］上的表達(dá)式；(H)問人為何值時(shí)"⑴在犬=0處可導(dǎo).

23.求通過點(diǎn)(1,1)的直線y=/(x)中，使得加2一/(元)］2公為最小的直線方程。

2222

24.求曲面z=yjx+y夾在二曲面x+y=ytW+)尸=2y之間的部分的面積。

25.計(jì)算/=J(.1)公+.叫(“0),其中AB是沿著橢圓￡+方=1的正向從A(a,0)到3(0,力)的一段弧。

AS[(x-c)2+y2

26.設(shè)〃x)為可微函數(shù)，且/(0)=0"'(0)=2，試求晦JJ，皿。

x2+.v2srI)

27.設(shè)/(x)在［%々上連續(xù)，在(〃⑼內(nèi)可導(dǎo)(0<〃<b),證明存在。境￡(卬。)使/'(幻=4^(〃+。)。

2g2

28.已知曲線L的方程為［工=產(chǎn)+1；?20),(I)討論乙的凹凸性；(II)過點(diǎn)(-1,0)引乙的切線，求切點(diǎn)(%,%),

［y=4t-t2

并寫出切線的方程；(III)求此切線與L(對應(yīng)于的部分)及X軸所圍成的平面圖形的面積。

高等數(shù)學(xué)競賽

一、填空題

x-y-z=0

7、設(shè)曲線〈

?\?在點(diǎn)（1,1,0）處的法平面為S,則點(diǎn)（0,—2,2）到S的距離是o

x-y-z=0

8、設(shè)/(x,y)=arcsin?，則￡(2,1)=()

二、選擇題

X2+y2=5

13、曲線《'；2在點(diǎn)（1,2,—3）處的切線方程為。

z=x-y

x-1y-2z+3x-1y-2z+3x-3y-1z-5x-1y-2z+3

A.-----=-----=------B.-----=c.=-——=D.----

2182-1-82-18-218

xdz

14、設(shè)z=v,則一=()

Sy

A.WB.yxyyX—+(Iny)2c.yx-+(lny)2D.yxyyX—+—Inj

l_yy

15、/（rcos。,rsin。）/山，則區(qū)域?？梢员硎緸椋ǎ?/p>

D2

A.x2+y2<a2B.X2+y2<a2,x>0c.x2+y2<ax,a<0D.x2+y2<ax,a>0

16E為z=2一(/+產(chǎn))在工”上方部分，JJds=()

z

aydz+bidy

、若（i+y2#o,a6#O）是某二元函數(shù)的全微分，則。力的關(guān)系是0

17(3i+4y)2+(2i+3))2

A.a—h=0B.a+b=Oc.a—h=\D.a+b=\

18、設(shè)曲線。是由極坐標(biāo)方程r="6）（JW。2）給出，則/=J,/（x，yM=（）

A.「f(rcos0,rsin0}\Jr2+rf2d0B.1+'-dx

J6Ja

c.J：/(rcosa〃sine”eDJ：/(rcos6,rsin3^rd0

Sa"n\3+2-yln—2

19、。為任意正的實(shí)數(shù)，若級數(shù)2-----------------都收斂，有（）

a

n=l〃n=2n

1

\.a>eB.a=ec.—<a<eD.0<6Z<-

22

20、下列級數(shù)中發(fā)散的級數(shù)是（）

(A)￡獸y_ElL

(-1)H

;(B)f(-17)"；(C)；(D)f

〃=]+1+(-1)"”=2—1"=2+(-1)”

V2-2cosx

(ex—1—x)2XV0

一、解答題求極限1、lim--------；2、/(%)=<X。為何值時(shí)，/（%）在x=0處連續(xù)。

3°tanx-sinx

，X>0

dx

3、求。4、設(shè)/（無）在[。，句上連續(xù)，且尸（x）=J（x-Z）xe[a,b],試求尸"（x）。

2sinx-cosx+5

/?x+ycAy

5.設(shè)/(x,y)=sinrdr,求o6.計(jì)算二次積分dx(a>0).

Jx-yo。(a2+x2+/)2

7.計(jì)算二重積分[[/、取儀其中x2+y2>4,X2+<16,x2+y2>4xo

Dylx2+y2

8.計(jì)算極限ln(x+2y+3)dcr其中o：0<x<r,0<y<r<,

a。tD

二、證明題

1.試證：F⑴=J。In(產(chǎn)+2fcosx+l)dr為偶函數(shù)。

八，、3萬73乃

2.證明恒等式x-2arctan(secx+tanx)=—在一<x<—時(shí)成立。

222

3.設(shè)/(%)對一切x,y滿足f(x+y)=eyf(x)+e~xf(y),且/(x)在x=0處連續(xù)，求證：/(x)在任意x處連

續(xù)。

4.設(shè)f(x),g(x)均在[〃,/?]上連續(xù)，證明柯西不等式[jf(x)g(x)dx<[[r。)公][jg2(x)cbc

三、應(yīng)用題

/+^-x

1.曲線y=---與直線》=0,%=/?>0)及y=0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞》軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,

S(t)S(t]

其體積為VQ),側(cè)面積為S(f),在X=r處的底面積為F(z).(I)求—一的值；(H)計(jì)算極限lim—

V(r)F(r)

高等數(shù)學(xué)競賽

一、填空

1.設(shè)/'(x)=tanxj[g(x)]=x2-2,且(刈.則g(x)的定義域?yàn)?

arctan(?!)x(+1-y/~n)(111、3/+l

2求lim——+--------4-…--------------------------------

“fB\22x3(?-l)xnJn-\

sin2x+xf(x)2+/(x)(2+tanx)-(2-sinx)

3.設(shè)hm------7~—=0,則hm----=.4.求lim------------------------

10xxz°sinx

乃

5.曲線y=-^的拐點(diǎn)為.6.函數(shù)/(x)=x+2cosx在0,—上的最大值為.

1+X

7.求J(2"+3")公=.8.求J]12]口產(chǎn)。1=.

9.求J"'——J-dr=.io.設(shè)/(x)連續(xù)，則=.

乃dx]

11.求f2----———=12.由曲線y=x+—,x=2及y=2所圍圖形的面積S=.

Jol+(tanxfx

13.以向量。=m+2〃和3=機(jī)一3〃為邊的三角形的面積為，其中1W=5，W=3,m,n=—.

13幺z

14.設(shè)z=—f(盯)+y/(x+y),/，e具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則二=-=.

xoxoy

15.函數(shù)/(x,y,z)=cos(盯z)在點(diǎn)萬)處函數(shù)值增加最快的方向?yàn)?

16.求＞『sin』^=」7.求lim

"-2〃4￡占2n…

A

18.幕級數(shù)表達(dá)式為.19.求三重積分JJJ^dV=.

/+F+JK4

22.

20.設(shè)L為橢圓5+q=l,其周長為C,則白(2盯+3x2+4y2)ds=.

+V4/｝上的連續(xù)函數(shù)，貝|j崛

19*.設(shè)/(x,y)是有界閉區(qū)域：D={?公辦'=?

20”.把［dr，：/(f+y?)辦在極坐標(biāo)系中進(jìn)行轉(zhuǎn)化：［drj；/卜2+V)力=

二、解答題

x(1+x)'-e

+....(2九一1)

.2、求極限lim」-----------=?