2024屆福建省廈門市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2024屆福建省廈門市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．2．若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝的△ABC有（）個(gè)A．

B． C．

D．33．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n＋2)，那么在此數(shù)列中()A．a(chǎn)7＝a8最大 B．a(chǎn)8＝a9最大C．有唯一項(xiàng)a8最大 D．有唯一項(xiàng)a7最大4．某公司的班車在和三個(gè)時(shí)間點(diǎn)發(fā)車.小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率是（）A． B． C． D．5．如果直線l過(guò)點(diǎn)（2，1），且在y軸上的截距的取值范圍為（﹣1，2），那么l的斜率k的取值范圍是（）A．（，1） B．（﹣1，1）C．（﹣∞，）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為A．B．C．D．7．已知平面向量，且，則（）A． B． C． D．8．一個(gè)幾何體的三視圖如圖（圖中尺寸單位：m），則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．不等式的解集為，則不等式的解集為（）A．或 B． C． D．或10．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．命題“數(shù)列的前項(xiàng)和”成立的充要條件是________.（填一組符合題意的充要條件即可，所填答案中不得含有字母）12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)增區(qū)間是______．13．已知平面向量，，滿足：，且，則的最小值為_(kāi)___.14．如圖中，，，，M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，，D為垂足，則的最小值為_(kāi)_____；15．若，則函數(shù)的最小值是_________.16．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在三棱錐中，平面平面，，，分別是棱，上的點(diǎn)（1）為的中點(diǎn)，求證：平面平面.（2）若，平面，求的值.18．在中，求的值.19．如圖1，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，將△PAB沿AB邊折起，使平面PAB⊥平面ABCD，連接PC、PD，如圖2，（1）證明：AB⊥PC；（2）求PD與平面ABCD所成角的正弦值（3）在線段PD上是否存在點(diǎn)N，使得PB∥平面MC？若存在，請(qǐng)找出N點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，且，求的值.21．將函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖像自左至右相交于點(diǎn)，，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

P在底面的射影是斜邊的中點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為D過(guò)D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【題目詳解】因?yàn)锳B＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因?yàn)镻A＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點(diǎn)．設(shè)AB中點(diǎn)為D過(guò)D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因?yàn)镻D為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．2、C【解題分析】

通過(guò)判斷與c判斷大小即可得到知道三角形個(gè)數(shù).【題目詳解】由于，所以△ABC有兩解，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角形解得個(gè)數(shù)判斷，難度不大.3、A【解題分析】，所以，令，解得n≤7，即n≤7時(shí)遞增，n＞7遞減，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….所以a7＝a8最大．本題選擇A選項(xiàng).4、A【解題分析】

根據(jù)題意得小明等車時(shí)間不超過(guò)分鐘的總的時(shí)間段，再由比值求得.【題目詳解】小明等車時(shí)間不超過(guò)分鐘，則他需在至到，或至到，共計(jì)分鐘，所以概率故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型，關(guān)鍵找到滿足條件的時(shí)間段，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

利用直線的斜率公式，求出當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的斜率，即可得到結(jié)論.【題目詳解】設(shè)要求直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率為，故所求直線的斜率為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

根據(jù)圖象可得最小正周期，求得；利用零點(diǎn)和的符號(hào)可確定的取值；令，解不等式即可求得單調(diào)遞減區(qū)間.【題目詳解】由圖象可知：又，，由圖象可知的一個(gè)可能的取值為令，，解得：，即的單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用圖象求解余弦型函數(shù)的解析式、余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式來(lái)求解解析式和單調(diào)區(qū)間，屬于?？碱}型.7、B【解題分析】試題分析：因?yàn)?，，且，所以，，故選B.考點(diǎn)：1、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算；2、平行向量的性質(zhì).8、C【解題分析】

根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，計(jì)算即可得解.【題目詳解】該幾何體是一個(gè)半徑為1的球體削去四分之一，體積為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三視圖的識(shí)別和球的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】不等式的解集為,的兩根為，，且，即,解得則不等式可化為解得故選10、B【解題分析】

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【題目詳解】由函數(shù)，則，，故函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，需熟記定理內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、數(shù)列為等差數(shù)列且，．【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為，由數(shù)列的前項(xiàng)和公式分析可得數(shù)列為等差數(shù)列且，，反之驗(yàn)證可得成立，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列為，若數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合，故有數(shù)列為等差數(shù)列且，，反之當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列且，時(shí)，，；故數(shù)列的前項(xiàng)和”成立的充要條件是數(shù)列為等差數(shù)列且，，故答案為：數(shù)列為等差數(shù)列且，．【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件的判定，關(guān)鍵是掌握充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．12、（區(qū)間端點(diǎn)開(kāi)閉均可）【解題分析】

由已知函數(shù)圖象求得，進(jìn)一步得到，再由五點(diǎn)作圖的第二點(diǎn)求得，則得到函數(shù)的解析式，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)增區(qū)間．【題目詳解】由圖可知，，則，．又，．則．由，，解得，．的單調(diào)增區(qū)間是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法．13、-1【解題分析】

，，，由經(jīng)過(guò)向量運(yùn)算得，知點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，這樣，只要最小，就可化簡(jiǎn)．【題目詳解】如圖，，則，設(shè)是中點(diǎn)，則，∵，∴，即，，記，則點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，記，，注意到，因此當(dāng)與反向時(shí)，最小，∴．∴最小值為-1．故答案為-1．【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是由已知得出點(diǎn)軌跡(讓表示的有向線段的起點(diǎn)都是原點(diǎn))是圓，然后分析出只有最小時(shí)，才可能最小．從而得到解題方法．14、【解題分析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出的值，然后利用換元法求解出對(duì)應(yīng)的最小值即可.【題目詳解】如圖所示，設(shè)，所以，根據(jù)條件可知：，所以，設(shè)，，，所以，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用坐標(biāo)法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時(shí)注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數(shù)中的一組“萬(wàn)能公式”：，.15、【解題分析】

利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值.【題目詳解】，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

先利用輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的變化規(guī)律求出函數(shù)的解析式，即可計(jì)算出的值．【題目詳解】，由題意可得，因此，，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查輔助角公式化簡(jiǎn)、三角函數(shù)圖象變換，在三角圖象相位變換的問(wèn)題中，首先應(yīng)該將三角函數(shù)的解析式化為（或）的形式，其次要注意左加右減指的是在自變量上進(jìn)行加減，考查計(jì)算能力，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，證得，由面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，證得，平行線分線段成比例，由此求得的值.【題目詳解】（1），為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）∵平面，面，面面∴，∴.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查線面平行的性質(zhì)定理，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、【解題分析】

由即，解得：（因?yàn)樯崛ィ┗?19、(1)證明見(jiàn)解析(2)．(3)存在，PN．【解題分析】

（1）只需證明AB⊥面PMC，即可證明AB⊥PC；（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM為PD與平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD與平面ABCD所成角的正弦值．（3）設(shè)DB∩MC＝E，連接NE，可得PB∥NE，．即可．【題目詳解】（1）證明：∵△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴PM⊥AB．∵ABCD為菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，∴AB⊥面PMC，∵PC?面PMC，∴AB⊥PC；（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．∴PM⊥面ABCD，∴∠PDM為PD與平面ABCD所成角．PM，MD，PDsin∠PMD，即PD與平面ABCD所成角的正弦值為．（3）設(shè)DB∩MC＝E，連接NE，則有面PBD∩面MNC＝NE，∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．∴．線段PD上存在點(diǎn)N，使得PB∥平面MNC，且PN．【題目點(diǎn)撥】本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理、線面角，利用線面平行的性質(zhì)定理確定點(diǎn)N的位置是關(guān)鍵，屬于中檔題．．20、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）.【解題分析】

（1）利用二倍角降冪公式和輔助角公式將函數(shù)的解析式化為，利用周期公式可得出函數(shù)的最小正周期，然后解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由可得出角的值，再利用兩角和的正切公式可計(jì)算出的值.【題目詳解】（1）．函數(shù)的最小正周期為，令，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），即，，.，故，因此.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)基本性質(zhì)，考查兩角和的正切公