2024屆北京師大附中數(shù)學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆北京師大附中數(shù)學高一第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設等差數(shù)列{an}的前n項的和Sn，若a2+a8＝6，則S9＝（）A．3 B．6 C．27 D．542．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A． B．C． D．3．若三個球的半徑的比是1：2：3，則其中最大的一個球的體積是另兩個球的體積之和的（）倍．A．95 B．2 C．524．已知曲線C的方程為x2+y2＝2（x+|y|），直線x＝my+4與曲線C有兩個交點，則m的取值范圍是（）A．m＞1或m＜﹣1 B．m＞7或m＜﹣7C．m＞7或m＜﹣1 D．m＞1或m＜﹣75．名小學生的身高（單位：cm）分成了甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組：115，122，105，111，109；乙組：125，132，115，121，119.兩組數(shù)據(jù)中相等的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)、極差 B．平均數(shù)、方差C．方差、極差 D．極差、平均數(shù)6．湖南衛(wèi)視《爸爸去哪兒》節(jié)目組為熱心觀眾給予獎勵，要從2014名小觀眾中抽取50名幸運小觀眾．先用簡單隨機抽樣從2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人，則在2014人中，每個人被抽取的可能性()A．均不相等 B．不全相等C．都相等，且為 D．都相等，且為7．已知是第三象限的角，若，則A． B． C． D．8．已知，且，，則（）A． B． C． D．9．設偶函數(shù)定義在上，其導數(shù)為，當時，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．10．在中，，，，則的面積是（）A． B． C．或 D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設等差數(shù)列的前項和為,若,,則______.12．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點，，動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），則的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．13．隨機抽取100名年齡在[10，20），[20，30），…，[50，60）年齡段的市民進行問卷調查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取12人，則在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為______.14．已知正方體的棱長為，點、分別為、的中點，則點到平面的距離為______.15．已知為等差數(shù)列,,前n項和取得最大值時n的值為___________.16．等比數(shù)列的前項和為，若，，成等差數(shù)列，則其公比為_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐P～ABCD中，底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點，PE⊥平面ABCD，AP⊥DP，AP＝DP．（1）求證：EF∥平面PCD；（2）設G為AB中點，求證：平面EFG⊥平面PCD．18．已知是第三象限角，．（1）化簡；（2）若，求的值．19．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量，又點，，，.（1）若，且，求向量；（2）若向量與向量共線，常數(shù)，求的值域.20．設等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.21．在平面直角坐標系中，直線截以坐標原點為圓心的圓所得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標軸交于點，，當時，求直線的方程；（3）設，是圓上任意兩點，點關于軸的對稱點為，若直線，分別交軸于點和，問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質和求和公式，即可求得的值，得到答案．【題目詳解】由題意，等差數(shù)列的前n項的和，由，根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得，所以，故選：C．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質，以及等差數(shù)列的前n項和公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、B【解題分析】

試題分析：由三視圖可知，該幾何體是如下圖所示的三棱錐，其中平面平面，,且，，所以，與均為正三角形，且邊長為，所以，故該三棱錐的表面各為，故選B．考點：1．三視圖；2．多面體的表面積與體積．3、D【解題分析】

設最小球的半徑為R，根據(jù)比例關系即可得到另外兩個球的半徑，再利用球的體積公式表示出三個球的體積，即可得到結論?！绢}目詳解】設最小球的半徑為R，由三個球的半徑的比是1：2：3，可得另外兩個球的半徑分別為2R，3R；∴最小球的體積V1=43π∴V故答案選D【題目點撥】本題主要考查球體積的計算公式，屬于基礎題。4、A【解題分析】

先畫出曲線的圖象，再求出直線與相切時的，最后結合圖象可得的取值范圍，得到答案．【題目詳解】如圖所示，曲線的圖象是兩個圓的一部分，由圖可知：當直線與曲線相切時，只有一個交點，此時，結合圖象可得或．故選：A．【題目點撥】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，其中解答中熟練應有直線與圓的位置關系，合理結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．5、C【解題分析】

將甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差全部算出來，并進行比較，可得出答案．【題目詳解】甲組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，因此，兩組數(shù)據(jù)相等的是極差和方差，故選C．【題目點撥】本題考查樣本的數(shù)字特征，理解極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義并利用相關公式進行計算是解本題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題．6、C【解題分析】由題意可得，先用簡單隨機抽樣的方法從2014人中剔除14人，則剩下的再分組，按系統(tǒng)抽樣抽取.在剔除過程中，每個個體被剔除的機會相等，所以每個個體被抽到的機會相等，均為故選C7、D【解題分析】

根據(jù)是第三象限的角得，利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得的值.【題目詳解】因為是第三象限的角，所以，因為，所以解得：，故選D.【題目點撥】本題考查余弦函數(shù)在第三象限的符號及同角三角函數(shù)的基本關系，即已知值，求的值.8、C【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系及兩角和差的正弦公式計算可得.【題目詳解】解：因為，．因為，所以．因為，，所以．所以．故選：【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.9、C【解題分析】構造函數(shù)，則，所以當時，，單調遞減，又在定義域內為偶函數(shù)，所以在區(qū)間單調遞增，單調遞減，又等價于，所以解集為．故選C．點睛：本題考查導數(shù)的構造法應用．本題中，由條件構造函數(shù)，結合函數(shù)性質，可得抽象函數(shù)在區(qū)間單調遞增，單調遞減，結合函數(shù)草圖，即可解得不等式解集．10、C【解題分析】

先根據(jù)正弦定理求出角，從而求出角，再根據(jù)三角形的面積公式進行求解即可．【題目詳解】解：由，，，根據(jù)正弦定理得：，為三角形的內角，或，或在中，由，，或則面積或．故選C.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、10【解題分析】

將和用首項和公差表示，解方程組，求出首項和公式，利用公式求解.【題目詳解】設該數(shù)列的公差為，由題可知：，解得，故.故答案為：10.【題目點撥】本題考查由基本量計算等差數(shù)列的通項公式以及前項和，屬基礎題.12、【解題分析】

設，由動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），可得，化簡整理可得.【題目詳解】設，由動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），所以，化簡得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【題目點撥】本題考查圓方程的標準形式和兩點距離公式，難點主要在于計算.13、3【解題分析】

根據(jù)頻率分布直方圖，求得不小于40歲的人的頻率及人數(shù)，再利用分層抽樣的方法，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得樣本中不小于40歲的人的頻率是0.015×10+0.005×10=0.2，所以不小于40歲的人的頻數(shù)是100×0.2=20；從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取12人，在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為．【題目點撥】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質，以及頻率分布直方圖中概率的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．14、【解題分析】

作出圖形，取的中點，連接，證明平面，可知點平面的距離等于點到平面的距離，然后利用等體積法計算出點到平面的距離，即為所求.【題目詳解】如下圖所示，取的中點，連接，在正方體中，且，、分別為、的中點，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，又，，平面，平面，平面，則點平面的距離等于點到平面的距離，的面積為，在正方體中，平面，且平面，，易知三棱錐的體積為.的面積為.設點到平面的距離為，則，.故答案為：.【題目點撥】本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．15、20【解題分析】

先由條件求出，算出，然后利用二次函數(shù)的知識求出即可【題目詳解】設的公差為，由題意得即，①即，②由①②聯(lián)立得所以故當時，取得最大值400故答案為：20【題目點撥】等差數(shù)列的是關于的二次函數(shù)，但要注意只能取正整數(shù).16、【解題分析】試題分析：、、成等差數(shù)列考點：1．等差數(shù)列性質；2．等比數(shù)列通項公式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析【解題分析】

（1）取的中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（2）通過證明，證得平面，由此證得平面，從而證得平面平面.【題目詳解】（1）證明：取PC的中點H，連接FH則FH∥BC，F(xiàn)H，又ED∥BC，ED，∴ED∥FH，ED＝FH，∴四邊形EFHD為平行四邊形，∴EF∥DH，又DH?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD；（2）證明：∵PE⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥AP（三垂線定理），又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，又∵GF∥AP，∴GF⊥平面PCD，∴平面EFG⊥平面PCD．【題目點撥】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由誘導公式變形即得；（2）同樣用誘導公式化簡后，利用平方關系求值．【題目詳解】（1）；（2），，又是第三象限角，∴，∴．【題目點撥】本題考查誘導公式，考查同角間的三角函數(shù)關系．在用平方關系示三角函數(shù)值時，要注意確定角的范圍．19、（1）或；（2）當時的值域為.時的值域為.【解題分析】分析：（1）由已知表示出向量，再根據(jù)，且，建立方程組求出，即可求得向量；（2）由已知表示出向量，結合向量與向量共線，常數(shù)，建立的表達式，代入，對分類討論，綜合三角函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質，即可求出值域.詳解：（1），∵，且，∴，，解得，時，；時，.∴向量或.（2），∵向量與向量共線，常數(shù)，∴，∴.①當即時，當時，取得最大值，時，取得最小值，此時函數(shù)的值域為.②當即時，當時，取得最大值，時，取得最小值，此時函數(shù)的值域為.綜上所述，當時的值域為.時的值域為.點睛：本題考查了向量的坐標運算、向量垂直和共線的定理、模的計算、三角函數(shù)的值域等問題，考查了分類討論方法、推理與計算能力.20、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）利用等差數(shù)列性質先求出的值，進而得到公差，最后寫出數(shù)列的通項公式；（2）依照題意找出（1）中符合條件的數(shù)列，再用等差數(shù)列前項和公式求出數(shù)列的前項和．【題目詳解】（1）因為等差數(shù)列，且，所以所以，又，所以，于是或設等差數(shù)列的公差為，則或，的通項公式為：或；（2）因為成等比數(shù)列，所以所以數(shù)列的前項和.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質、通項公式的求法以及等差數(shù)列前項和公式，注意分類討論思想的應用．21、（1）；（2）；（3）見解析【解題分析】

（1）利用點到直線距離公式，可以求出弦心距，根據(jù)垂徑定理結合勾股定理，可以求出圓的半徑，進而可以求