浙江省嘉興市七校2024屆數學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

浙江省嘉興市七校2024屆數學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓心為C（6，5），且過點B（3，6）的圓的方程為（）A． B．C． D．2．對于任意實數，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．函數的定義域為R，數列是公差為的等差數列，若，，則（）A．恒為負數 B．恒為正數C．當時，恒為正數；當時，恒為負數 D．當時，恒為負數；當時，恒為正數4．已知圓，由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為()A．1 B．2 C． D．5．設，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，若最大值為5，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．已知某地區(qū)中小學生人數和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為（）A．， B．， C．， D．，7．如圖，扇形的圓心角為，半徑為1，則該扇形繞所在直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．8．定義運算:.若不等式的解集是空集，則實數的取值范圍是()A． B．C． D．9．已知銳角△ABC的面積為，BC=4，CA=3，則角C的大小為（）A．75° B．60° C．45° D．30°10．下列結論不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓C的方程為，一定點為A(1,2)，要使過A點作圓的切線有兩條，則a的取值范圍是____________12．已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第________象限．13．已知四面體的四個頂點均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____14．在某校舉行的歌手大賽中，7位評委為某同學打出的分數如莖葉圖所示，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的方差為______.15．在等比數列中，，，則________.16．在上定義運算，則不等式的解集為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求的值.18．某制造商3月生產了一批乒乓球，從中隨機抽樣133個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：mm），將數據分組如下：分組

頻數

頻率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合計

133

（Ⅰ）請在上表中補充完成頻率分布表（結果保留兩位小數），并在圖中畫出頻率分布直方圖；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標準乒乓球的直徑為2．33mm，試求這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率；（Ⅲ）統(tǒng)計方法中，同一組數據經常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間[1．99,2．31）的中點值是2．33作為代表．據此估計這批乒乓球直徑的平均值（結果保留兩位小數）．19．已知直線l1：ax﹣y﹣2＝0與直線l2：（3﹣2a）x+y﹣1＝0（a∈R）.（1）若l1與l2互相垂直，求a的值：（2）若l1與l2相交且交點在第三象限，求a的取值范圍.20．某企業(yè)用180萬元購買一套新設備，該套設備預計平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護設備的正常運行，第一年需要各種維護費用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護費用要增加10萬元（1）求該設備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數的函數關系；（2）試計算這套設備使用多少年，可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？21．已知數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）已知，記（且），是否存在這樣的常數，使得數列是常數列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）若數列，對于任意的正整數，均有成立，求證：數列是等差數列.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

在知道圓心的情況下可設圓的標準方程為,然后根據圓過點B（3，6），代入方程可求出r的值，得到圓的方程.【題目詳解】因為,又因為圓心為C（6，5）,所以所求圓的方程為,因為此圓過點B（3，6），所以,所以，因而所求圓的方程為.考點：圓的標準方程.2、C【解題分析】

根據是任意實數，逐一對選項進行分析即得。【題目詳解】由題，當時，，則A錯誤；當，時，，則B錯誤；可知，則有，因此C正確；當時，有，可知C錯誤.故選：C【題目點撥】本題考查判斷正確命題，是基礎題。3、A【解題分析】

由函數的解析式可得函數是奇函數，且為單調遞增函數，分和兩種情況討論，分別利用函數的奇偶性和單調性，即可求解，得到結論．【題目詳解】由題意，因為函數，根據冪函數和反正切函數的性質，可得函數在為單調遞增函數，且滿足，所以函數為奇函數，因為數列是公差為的等差數列，且，則①當時，由，可得，所以，所以，同理可得：，所以，②當時，由，則，所以綜上可得，實數恒為負數．故選：A．【題目點撥】本題主要考查了函數的單調性與奇偶性的應用，以及等差數列的性質的應用，其中解答中合理利用等差數列的性質和函數的性質求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．4、A【解題分析】

將圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標與半徑，求出圓心到直線的距離，利用切線的性質及勾股定理求處切線長的最小值，即可得到答案．【題目詳解】將圓化為標準方程，得，所以圓心坐標為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以切線長的最小值為，故選A．【題目點撥】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，其中解答中涉及到圓的標準方程，點到直線的距離公式，以及數形結合思想的應用，屬于基礎題．5、A【解題分析】

，故的最小值為，當且僅當軸時，最小，此時，計算得到答案.【題目詳解】，最大值為5，故的最小值為，當且僅當軸時，最小，此時，即又因為，可得，故.故選：.【題目點撥】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.6、B【解題分析】

試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數為，高中生的近視人數為，故選B.【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題.7、C【解題分析】

以所在直線為旋轉軸將整個圖形旋轉一周所得幾何體是一個半球，利用球面的表面積公式及圓的表面積公式即可求得．【題目詳解】由已知可得：以所在直線為旋轉軸將整個圖形旋轉一周所得幾何體是一個半球，其中半球的半徑為1，故半球的表面積為：故答案為：C【題目點撥】本題主要考查了旋轉體的概念，以及球的表面積的計算，其中解答中熟記旋轉體的定義，以及球的表面積公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．8、B【解題分析】

根據定義可得的解集是空集，即恒成立，再對分類討論可得結果.【題目詳解】由題意得的解集是空集，即恒成立.當時，不等式即為，不等式恒成立；當時，若不等式恒成立，則即解得.綜上可知:.故選：B【題目點撥】本題考查了二次不等式的恒成立問題，考查了分類討論思想，屬于基礎題.9、B【解題分析】試題分析：由三角形的面積公式，得，即，解得，又因為三角形為銳角三角形，所以.考點：三角形的面積公式.10、B【解題分析】

根據不等式的性質，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【題目詳解】對于A選項，不等式兩邊乘以一個正數，不等號不改變方程，故A正確.對于B選項，若，則，故B選項錯誤.對于C、D選項，不等式兩邊同時加上或者減去同一個數，不等號方向不改變，故C、D正確.綜上所述，本小題選B.【題目點撥】本小題主要考查不等式的性質，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

使過A點作圓的切線有兩條，定點在圓外，代入圓方程計算得到答案.【題目詳解】已知圓C的方程為，要使過A點作圓的切線有兩條即點A(1,2)在圓C外：恒成立.綜上所述：故答案為：【題目點撥】本題考查了點和圓的位置關系，通過切線數量判斷位置關系是解題的關鍵.12、二【解題分析】

由點P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，從而得到α所在的象限．【題目詳解】因為點P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，則角α的終邊在第二象限，故答案為二．點評：本題考查第三象限內的點的坐標的符號，以及三角函數在各個象限內的符號．13、2【解題分析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點到直線的距離為，可知點在球上的運動軌跡為小圓.【題目詳解】如圖所示，四面體內接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點在以為圓心，為半徑的小圓上運動，當面面時，四面體的體積達到最大，.【題目點撥】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點的運動軌跡，考查學生的空間想象能力和邏輯思維能力.14、2【解題分析】

去掉分數后剩余數據為22,23,24,25,26，先計算平均值，再計算方差.【題目詳解】去掉分數后剩余數據為22,23,24,25,26平均值為：方差為：故答案為2【題目點撥】本題考查了方差的計算，意在考查學生的計算能力.15、【解題分析】

根據等比數列中，，得到公比，再寫出和，從而得到.【題目詳解】因為為等比數列，，，所以，所以，，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查等比數列通項公式中的基本量計算，屬于簡單題.16、【解題分析】

根據定義運算，把化簡得，求出其解集即可．【題目詳解】因為，所以，即，得，解得：故答案為：．【題目點撥】本題考查新定義，以及解一元二次不等式，考查運算的能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4.【解題分析】

（1）運用等差數列的性質求得公差d，再由及d求得通項公式即可．（2）利用前n項和公式直接求解即可.【題目詳解】（1）設數列的公差為，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【題目點撥】本題考查等差數列的通項公式及項數的求法，考查了前n項和公式的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據公式：頻率=頻數÷樣本容量可補充完成頻率分布表，然后作出頻率分布直方圖；（Ⅱ）直徑誤差不超過3．33mm的頻率有3．53,3．53,3．53，所以這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率3．53+3．53+3．53=3．9；（Ⅲ）由平均值公式可求得試題解析：（Ⅰ）分組

頻數

頻率

[4．95,4．97）

43

3．43

[4．97,4．99）

53

3．53

[4．99,5．34）

53

3．53

[5．34,5．33]

53

3．53

合計

433

4

（Ⅱ）設誤差不超過3．33的事件為，則．（Ⅲ）考點：4．頻率分布直方圖；5．求數值的平均值19、（1）a，或a＝1（2）a＞3【解題分析】

（1）由題意利用兩條直線互相垂直的性質，求得的值；（2）聯立方程組求出兩條直線的交點坐標，再根據交點在第三象限，求出的取值范圍.【題目詳解】（1）∵直線l1：ax﹣y﹣2＝0與直線l2：（3﹣2a）x+y﹣1＝0，l1與l2互相垂直，∴a?（3﹣2a）+（﹣1）?1＝0，求得a，或a＝1.（2）若l1與l2相交且交點在第三象限，聯立方程組，∵l1與l2相交，故a≠3，求得方程組的解為，∴，求得a＞3.【題目點撥】本題主要考查兩條直線互相垂直的性質，求兩條直線的交點坐標，屬于基礎題.20、（1），（2）這套設備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元【解題分析】

（1）運用等差數列前項和公式可以求出年的維護費，這樣可以由題意可以求出該設備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數的函數關系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值.【題目詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬元年維護總費用為萬元.∴總利潤，即，（2）年平均利潤為∵，∴當且僅當，即時取“”∴答：這套設備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.【題目點撥】本題考查了應用數學知識解決生活實際問題的能力，考查了基本不等式的應用，考查了數學建模能力，考查了數學運算能力.2