福建省廈門市廈門第一中學2024屆高一數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

福建省廈門市廈門第一中學2024屆高一數(shù)學第二學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若數(shù)列的前項和為，則下列命題：（1）若數(shù)列是遞增數(shù)列，則數(shù)列也是遞增數(shù)列；（2）數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列的各項均為正數(shù)；（3）若是等差數(shù)列，則的充要條件是；（4）若是等比數(shù)列且，則的充要條件是；其中，正確命題的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，則（）A．6 B．5 C．4 D．33．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．4．某高校進行自主招生，先從報名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試．現(xiàn)隨機抽取了24名筆試者的成績，統(tǒng)計結果如下表所示．分數(shù)段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90]人數(shù)234951據(jù)此估計允許參加面試的分數(shù)線大約是()A．90 B．85C．80 D．755．已知是平面內兩個互相垂直的向量，且，若向量滿足，則的最大值是（）A．1 B． C．3 D．6．把函數(shù)的圖象經(jīng)過變化而得到的圖象，這個變化是（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位7．如圖所示，已知以正方體所有面的中心為頂點的多面體的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．某市舉行“精英杯”數(shù)學挑戰(zhàn)賽，分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：初賽成績大于90分的具有復賽資格，某校所有學生的成績均在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖所示，該校有130名學生獲得了復賽資格，則該校參加初賽的人數(shù)約為（）A．200 B．400 C．2000 D．40009．在中，，，，則的面積為A． B． C． D．10．在非直角中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則實數(shù)的值為_______.12．已知角α的終邊與單位圓交于點．則___________.13．直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則________.14．已知等比數(shù)列、、、滿足，，，則的取值范圍為__________．15．一個扇形的圓心角是2弧度，半徑是4，則此扇形的面積是______.16．棱長為，各面都為等邊三角形的四面體內有一點，由點向各面作垂線，垂線段的長度分別為，則=______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從半徑為1的半圓出發(fā)，以此向內、向外連續(xù)作半圓，且后一個半圓的直徑為前一個半圓的半徑，如此下去，可得到無數(shù)個半圓．（1）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的周長；（2）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的面積．18．已知向量.(1)當時，求的值；(2)設函數(shù)，當時，求的值域.19．已知數(shù)列的前n項和為（），且滿足，（）．（1）求證是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．20．已知向量，，，.（1）求的最小值及相應的t的值；（2）若與共線，求實數(shù)m.21．已知關于，的方程：表示圓.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）若，過點作的切線，求切線方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

對各選項逐個論證或給出反例后可得正確的命題的個數(shù).【題目詳解】對于（1），取，則，因該數(shù)列的公差為，故是遞增數(shù)列.，故，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故（1）錯.對于（2），取，則，數(shù)列是遞增數(shù)列，但，故數(shù)列是遞增數(shù)列推不出的各項均為正數(shù)，故（2）錯.對于（3），取，則，，故當時，但總成立，故總成立，故推不出，故（3）錯.對于（4），設公比為，若，若，則，，矛盾，故.又，故必存在，使得即，即，所以，故，所以是的必要條件.若，則，所以，所以，所以是的充分條件故的充要條件是，故（4）正確.故選：B.【題目點撥】本題考查數(shù)列的單調性、數(shù)列的前項和的單調性以及等比數(shù)列前項和的積的性質，對于等差數(shù)列的單調性，我們可以求出前項和關于的二次函數(shù)的形式，再由二次函數(shù)的性質討論其單調性，也可以根據(jù)項的符號來判斷前項和的單調性.應用等比數(shù)列的求和公式時，注意對公比是否為1分類討論.2、D【解題分析】

由眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可確定，題中中位數(shù)是中間兩個數(shù)的平均數(shù)，這樣可計算出．【題目詳解】由甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，得，乙組數(shù)據(jù)中間兩個數(shù)分別為6和，所以中位數(shù)是，得到，因此.故選：D.【題目點撥】本題考查眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握眾數(shù)與中位數(shù)的定義是解題基礎．3、A【解題分析】

根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關系，結合韋達定理可構造方程求得；利用一元二次不等式的解法可求得結果.【題目詳解】的解集為和是方程的兩根，且，解得：解得：，即不等式的解集為故選：【題目點撥】本題考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關系等知識的應用；關鍵是能夠通過一元二次不等式的解集確定一元二次方程的根，進而利用韋達定理構造方程求得變量.4、C【解題分析】

根據(jù)題意可從樣本中數(shù)據(jù)的頻率考慮，即按成績擇優(yōu)選擇頻率為的，根據(jù)題意得到所選的范圍后再求出對應的分數(shù)．【題目詳解】由題意得，參加面試的頻率為，結合表中的數(shù)據(jù)可得，樣本中[80，90]的頻率為，由樣本估計總體知，分數(shù)線大約為80分．故選C．【題目點撥】本題考查統(tǒng)計圖表的應用，解題的關鍵是理解題意，同時還要正確掌握統(tǒng)計中的常用公式，屬于基礎題．5、D【解題分析】

設出平面向量的夾角，求出的夾角，最后利用平面向量數(shù)量積的運算公式進行化簡等式，最后利用輔助角公式求出的最大值.【題目詳解】設平面向量的夾角為，因為是平面內兩個互相垂直的向量，所以平面向量的夾角為，因為是平面內兩個互相垂直的向量，所以.，，，其中，顯然當時，有最大值，即.故選：D【題目點撥】本題考查平面向量數(shù)量積的性質及運算，屬于中檔題.6、B【解題分析】

試題分析：，與比較可知：只需將向右平移個單位即可考點：三角函數(shù)化簡與平移7、A【解題分析】

設正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，由已知多面體的體積求解，得到正方體外接球的半徑，則外接球的表面積可求．【題目詳解】設正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，多面體的體積為，即．正方體的對角線長為．則正方體的外接球的半徑為．表面積為．故選：．【題目點撥】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，是基礎題．8、A【解題分析】

由頻率和為1，可算得成績大于90分對應的頻率，然后由頻數(shù)÷總數(shù)=頻率，即可得到本題答案.【題目詳解】由圖，得成績大于90分對應的頻率=，設該校參加初賽的人數(shù)為x，則，得，所以該校參加初賽的人數(shù)約為200.故選：A【題目點撥】本題主要考查頻率直方圖的相關計算，涉及到頻率和為1以及頻數(shù)÷總數(shù)=頻率的應用.9、C【解題分析】

利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形內角和求出角C，再利用三角形的面積公式求出三角形的面積，求得結果.【題目詳解】因為中，，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故選C.【題目點撥】該題所考查的是有關三角形面積的求解問題，在解題的過程中，需要注意根據(jù)題中所給的條件，應用正弦定理求得，從而求得，之后應用三角形面積公式求得結果.10、C【解題分析】

由得出，利用切化弦的思想得出其等價條件，再利用充分必要性判斷出兩條件之間的關系.【題目詳解】若，則，易知，，，，，，，，，.因此，“”是“”的充要條件，故選C.【題目點撥】本題考查充分必要性的判斷，同時也考查了切化弦思想、兩角和差的正弦公式的應用，在討論三角函數(shù)值符號時，要充分考慮角的取值范圍，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由得，代入方程即可求解.【題目詳解】,.,,,即，故填.【題目點撥】本題主要考查了反三角函數(shù)的定義及運算性質，屬于中檔題.12、【解題分析】

直接利用三角函數(shù)的坐標定義求解.【題目詳解】由題得.故答案為【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的坐標定義，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、0【解題分析】

將單位圓分成長度相等的四段弧，每段弧對應的圓周角為，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示：將單位圓分成長度相等的四段弧，每段弧對應的圓周角為或故答案為0【題目點撥】本題考查了直線和圓相交問題，判斷每段弧對應的圓周角為是解題的關鍵.14、【解題分析】

設等比數(shù)列、、、的公比為，由和計算出的取值范圍，再由可得出的取值范圍.【題目詳解】設等比數(shù)列、、、的公比為，，，，所以，，，.所以，，故答案為：.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列通項公式及其性質，解題的關鍵就是利用已知條件求出公比的取值范圍，考查運算求解能力，屬于中等題.15、16【解題分析】

利用公式直接計算即可.【題目詳解】扇形的面積.故答案為：.【題目點撥】本題考查扇形的面積，注意扇形的面積公式有兩個：，其中為扇形的半徑，為圓心角的弧度數(shù)，為扇形的弧長，可根據(jù)題設條件合理選擇一個，本題屬于基礎題.16、．【解題分析】

根據(jù)等積法可得∴三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）由第n個半圓的周長得，再利用無窮等比數(shù)列求和即可（2）由第n個半圓的面積得，再利用無窮等比數(shù)列求和即可【題目詳解】（1）由題意知，圓的半徑滿足數(shù)列，設第n個半圓的周長為，所以，則所有這些半圓圍成的封閉圖形的周長.（2）題意知，設第n個半圓的面積為，則，所以所有這些半圓圍成的封閉圖形的面積將為.【題目點撥】本題考查無窮等比數(shù)列的和，注意圓的半徑為等比數(shù)列，是周長及面積的考查，是基礎題18、(1)-7，(2)【解題分析】試題分析：(1)由向量共線得到等量關系，求出角的正切值，再利用兩角差正切公式求解：(2)先根據(jù)向量數(shù)量積，利用二倍角公式及配角公式得到三角函數(shù)關系式，再從角出發(fā)研究基本三角函數(shù)范圍：試題解析：(1),3分6分(2)8分11分，的值域為14分考點：向量平行坐標表示，三角函數(shù)性質19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）當時，由代入，化簡得出，由此可證明出數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項公式，可得出，由可得出在時的表達式，再對是否滿足進行檢驗，可得出數(shù)列的通項公式.【題目詳解】（1）當時，，，即，，等式兩邊同時除以得，即，因此，數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）知，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，則.，得.不適合.綜上所述，.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的證明，同時也考查了數(shù)列通項公式的求解，解題的關鍵就是利用關系式進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）時，最小值為；（2）.【解題分析】

(1)利用向量的模長公式計算出的表達式然后求最值.

(2)先求出的坐標，利用向量平行的公式得到關于m的方程，可解得答案.【題目詳解】（1）∵，

∴當時，取得最小值.（2）.∵與共線，∴，則.【題目點撥】本題考查向量的模長的計算以及其最值和根據(jù)向量平行求參數(shù)的值，屬于基礎題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件,可得關于的不等式,即可求得的取值范圍.（Ⅱ）將代入,可得圓的方程,化為標準