河北省宣化一中張北一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

河北省宣化一中張北一中2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．“是第二象限角”是“是鈍角”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要2．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其拋物線在軸上截得線段長(zhǎng)依次為，則的值是A．1 B．2 C．3 D．43．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，那么（）A． B． C． D．4．若數(shù)列前12項(xiàng)的值各異，且對(duì)任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前12項(xiàng)值的數(shù)列為（）A． B． C． D．5．已知是非零向量，若，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．的值為（）A． B． C． D．7．若某市所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．91 B．91.5C．92 D．92.58．已知直線的傾斜角為，且過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．9．已知平面向量，的夾角為，，，則向的值為（）A．－2 B． C．4 D．10．已知函數(shù)f（x），則f[f（2）]＝（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，若，則實(shí)數(shù)_______.12．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)______.13．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_(kāi)____．14．已知，且，則_____.15．已知二面角為60°，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為．16．已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和，則使有最小值的_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知向量，，且．（1）求向量的夾角；（2）求的值．18．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．（1）求b；（2）求∠A．19．?dāng)?shù)列中，，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，，且，求的值.20．已知圓的方程為．（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）是圓上一動(dòng)點(diǎn)，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．21．某校從高一年級(jí)的一次月考成績(jī)中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)（滿分100分，且抽取的學(xué)生成績(jī)都在內(nèi)），按成績(jī)分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）用分層抽樣的方法從月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取6人，求分別抽取月考成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的學(xué)生多少人；（2）在（1）的前提下，從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，求月考成績(jī)?cè)趦?nèi)至少有1名學(xué)生被抽到的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

由α是鈍角可得α是第二象限角，反之不成立，則答案可求．【題目詳解】若α是鈍角，則α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是鈍角，如α＝﹣210°．∴“α是第二象限角”是“α是鈍角”的必要非充分條件．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查鈍角、象限角的概念，考查了充分必要條件的判斷方法，是基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

當(dāng)時(shí)，，運(yùn)用韋達(dá)定理得，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得由此能求出【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，由，可得，，由，．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的極限的運(yùn)算，裂項(xiàng)相消求和，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．3、B【解題分析】

化簡(jiǎn),再利用余弦定理求解即可.【題目詳解】.故.又,故.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理求解三角形的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

根據(jù)題意可知利用除以12所得的余數(shù)分析即可.【題目詳解】由題知若要取遍前12項(xiàng)值的數(shù)列,則需要數(shù)列的下標(biāo)能夠取得除以12后所有的余數(shù).因?yàn)?2的因數(shù)包括3,4,6,故不能除以12后取所有的余數(shù).如除以12的余數(shù)只能取1,4,7,10的循環(huán)余數(shù).又5不能整除12,故能夠取得除以12后取所有的余數(shù).故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列下標(biāo)整除與余數(shù)的問(wèn)題,屬于中等題型.5、D【解題分析】

由得，這樣可把且表示出來(lái)．【題目詳解】∵，∴，，∴，∴，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積，掌握數(shù)量積的定義是解題關(guān)鍵．6、C【解題分析】試題分析：．考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式.7、B【解題分析】試題分析：中位數(shù)為中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以中位數(shù)為考點(diǎn)：莖葉圖8、B【解題分析】

根據(jù)傾斜角的正切值為斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，化為一般式即可.【題目詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，故直線斜率.又直線過(guò)點(diǎn)，故由點(diǎn)斜式方程可得整理為一般式可得：.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程的求解，涉及點(diǎn)斜式，屬基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

通過(guò)已知條件，利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)求解即可.【題目詳解】平面向量，的夾角為，或，則向量.故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式求解即可.【題目詳解】由題.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的求值,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，解方程即可.【題目詳解】因?yàn)椋?，整理得：，解得：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．12、1【解題分析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【題目詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【題目詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．14、【解題分析】

首先根據(jù)已知條件求得的值，平方后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得的值.【題目詳解】由得，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，由于，所以.而，由于，所以【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

如圖

分別作于A,于C,于B,于D,

連CQ,BD則,,

又

當(dāng)且僅當(dāng),即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值.

故答案選C.【題目點(diǎn)撥】16、或【解題分析】

求出，然后利用，求出的取值范圍，即可得出使得有最小值的的值.【題目詳解】，令，解得.因此，當(dāng)或時(shí)，取得最小值.故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最小值求解，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)求前項(xiàng)和的最小值，也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列所有非正數(shù)項(xiàng)相加，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）求出向量的模，對(duì)等式兩邊平方，最后可求出向量的夾角；（2）直接運(yùn)用向量運(yùn)算的公式進(jìn)行運(yùn)算即可.【題目詳解】（1）向量，，，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴向量的夾角；（2）由（1），，，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的數(shù)量積定義，考查了平面向量的運(yùn)算，考查了平面向量模公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）；（2）∠A＝120°.【解題分析】

由正弦定理求得b，由余弦定理求得cos∠A，進(jìn)而求出∠A的值．【題目詳解】（1）由正弦定理得＝可得，＝＝，所以b＝＝1．（2）由余弦定理得cosA＝＝＝，又因?yàn)?，所以∠A＝120°．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)正弦定理求出b的值，是解題的關(guān)鍵．19、（1）見(jiàn)解析（2）9或35或133【解題分析】

（1）分別寫(xiě)出和，做商，再用表示出，代入即可得q，由可得，得證；（2）由（1）得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入并整理，根據(jù)即得m+n的值?！绢}目詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所?故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）可得.因?yàn)?，所以，整理得，則.因?yàn)?，，所以，則的值為2或4或6.當(dāng)時(shí)，，，符合題意，則；當(dāng)時(shí)，，，符合題意，則；當(dāng)時(shí)，，，符合題意，則.綜上，的值為9或35或133.【題目點(diǎn)撥】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式和已知通項(xiàng)公式求參數(shù)的和，解題關(guān)鍵在于細(xì)心驗(yàn)證m取值是否滿足題干要求。20、（1）和；（2）或；（3）【解題分析】

（1）分斜率存在和不存在兩種情況討論，利用直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑求解；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)，可求圓心到直線的距離，利用距離公式，可求直線斜率；（3）利用求軌跡方程的方法(代入法)求解.【題目詳解】（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的方程是與圓相切，滿足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，直線與圓相切時(shí)，，解得：，.所以，滿足條件的直線方程是或.（2）設(shè)直線方程：，設(shè)圓心到直線的距離，，解得或，所以滿足條件的直線方程是或.（3）設(shè)，那么，將點(diǎn)代入圓，可得.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓相切，相交的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型，這類(lèi)求直線的問(wèn)題，需分斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，利用圓心到直線的距離等于半徑求解，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，可利用弦長(zhǎng)公式和圓心到直線的距離求解直線方程.21、（1）有4人，有2人；（2）【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖，求出成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的頻率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有不同取法，再求出被抽到的學(xué)生至少有1名月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的不同取法，再求解即可.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，則月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生有人；月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生有人，