安徽省安師大附中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

安徽省安師大附中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立.則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知向量，，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），與垂直，則是（）A．2 B．1 C．－2 D．－15．已知a，b，c滿足，那么下列選項(xiàng)一定正確的是（）A． B． C． D．6．甲、乙兩位同學(xué)在高一年級(jí)的5次考試中，數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別是，則下列敘述正確的是（）A．，乙比甲成績穩(wěn)定B．，甲比乙成績穩(wěn)定C．，乙比甲成績穩(wěn)定D．，甲比乙成績穩(wěn)定7．在平行四邊形中，為一條對(duì)角線，，，則＝（）A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）8．為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，A． B．C． D．9．已知平面平面，，點(diǎn)，，直線，直線，直線，，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（）A． B． C． D．10．圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式的解集為_______________．12．已知直線，圓O：上到直線的距離等于2的點(diǎn)有________個(gè)。13．在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，ΔABC是邊長為23的等邊三角形，其中PA=PB=14．?dāng)?shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________．15．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為__________．16．若關(guān)于的不等式的解集為，則__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在直角坐標(biāo)系中，已知以點(diǎn)為圓心的及其上一點(diǎn).（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.18．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.20．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求．21．如圖，已知四棱錐，底面為菱形，，,平面，分別是的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

時(shí)，恒成立.時(shí)，原不等式等價(jià)于.由的最小值是2，可得，即.選A.2、D【解題分析】

利用平面向量垂直的坐標(biāo)等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】，，，，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，解題時(shí)將向量垂直轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積為零來處理，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】，，，故選A．4、D【解題分析】

試題分析：，由與垂直可知考點(diǎn)：向量垂直與坐標(biāo)運(yùn)算5、D【解題分析】

c＜b＜a，且ac＜1，可得c＜1且a>1．利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【題目詳解】∵c＜b＜a，且ac＜1，∴c＜1且a>1，b與1的大小關(guān)系不定．∴滿足bc＞ac，ac＜ab，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】甲的平均成績，甲的成績的方差；乙的平均成績，乙的成績的方差.∴，乙比甲成績穩(wěn)定.故選C.7、C【解題分析】試題分析：,故選C.考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算．8、C【解題分析】

利用奇函數(shù)的定義，結(jié)合反三角函數(shù)，即可得出結(jié)論．【題目詳解】又，時(shí)，，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查奇函數(shù)的定義、反三角函數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．9、D【解題分析】

平面外的一條直線平行平面內(nèi)的一條直線則這條直線平行平面，若兩平面垂直則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直另一個(gè)平面，主要依據(jù)這兩個(gè)定理進(jìn)行判斷即可得到答案．【題目詳解】如圖所示：由于，，，所以，又因?yàn)?，所以，故A正確，由于，，所以，故B正確，由于，，在外，所以，故C正確；對(duì)于D，雖然，當(dāng)不一定在平面內(nèi)，故它可以與平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正確；故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判斷以及性質(zhì)應(yīng)用，要求熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．10、B【解題分析】

由圓錐展開圖為半徑為的半圓，得出其弧長等于圓錐的底面圓周長，可得出圓錐底面圓的半徑，然后利用圓錐的表面積公式可計(jì)算出圓錐的表面積.【題目詳解】一個(gè)圓錐的母線長為，它的側(cè)面展開圖為半圓，半圓的弧長為，即圓錐的底面周長為，設(shè)圓錐的底面半徑是，則得到，解得，這個(gè)圓錐的底面半徑是，圓錐的表面積為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐表面積的計(jì)算，計(jì)算時(shí)要結(jié)合已知條件列等式計(jì)算出圓錐的相關(guān)幾何量，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】.12、3；【解題分析】

根據(jù)圓心到直線的距離和半徑之間的長度關(guān)系，可通過圖形確定所求點(diǎn)的個(gè)數(shù).【題目詳解】由圓的方程可知，圓心坐標(biāo)為，半徑圓心到直線的距離：如上圖所示，此時(shí)，則到直線距離為的點(diǎn)有：，共個(gè)本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系求解圓上點(diǎn)到直線距離為定值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓心到直線的距離確定直線的大致位置，從而根據(jù)半徑長度確定點(diǎn)的個(gè)數(shù).13、65π【解題分析】

本題首先可以通過題意畫出圖像，然后通過三棱錐的圖像性質(zhì)以及三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)來確定圓心的位置，最后根據(jù)各邊所滿足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】如圖所示，作AB中點(diǎn)D，連接PD、CD，在CD上作三角形ABC的中心E，過點(diǎn)E作平面ABC的垂線，在垂線上取一點(diǎn)O，使得PO=OC。因?yàn)槿忮F底面是一個(gè)邊長為23的等邊三角形，E所以三棱錐的外接球的球心在過點(diǎn)E的平面ABC的垂線上，因?yàn)镻O=OC，P、C兩點(diǎn)在三棱錐的外接球的球面上，所以O(shè)點(diǎn)即為球心，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，PA=PB，D為AB中點(diǎn)，所以PD⊥平面ABCCD=CA2-ADPD=P設(shè)球的半徑為r，則有PO=OC=r，OE=r(PD-OE)2+DE2=P故表面積為S=4πr【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三棱錐的外接球的相關(guān)性質(zhì)，考查如何通過三棱錐的幾何特征來確定三棱錐的外接球與半徑，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題。14、【解題分析】

先利用裂項(xiàng)求和法將數(shù)列的通項(xiàng)化簡(jiǎn)，并求出，由此可得出的值.【題目詳解】，.，因此，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查裂項(xiàng)法求和，要理解裂項(xiàng)求和法對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的要求，并熟悉裂項(xiàng)法求和的基本步驟，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解題分析】分析：由題意利用待定系數(shù)法求解圓的方程即可.詳解：設(shè)圓的方程為，圓經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0），則：，解得：，則圓的方程為.點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．16、1【解題分析】

根據(jù)二次不等式和二次方程的關(guān)系，得到是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到的值.【題目詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為所以是方程的兩根，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次不等式和一元二次方程之間的關(guān)系，根與系數(shù)之間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解題分析】

（1）由圓的方程求得圓心坐標(biāo)和半徑，依題意可設(shè)圓的方程為，由圓與圓外切可知圓心距等于兩圓半徑的和，由此列式可求得，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出所在直線的斜率，設(shè)直線的方程為，求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列式求得，則直線方程即可求出.【題目詳解】（1）因?yàn)閳A為，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑.根據(jù)題意，設(shè)圓的方程為.又因?yàn)閳A與圓外切，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知，所以可設(shè)直線的方程為.又，所以圓心到直線的距離，即，解得或，所以直線的方程為或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，其中運(yùn)用了兩圓外切時(shí)，圓心距等于兩圓的半徑之和，還涉及到圓的方程、直線的方程和點(diǎn)到直線的距離公式.18、(1)(2)【解題分析】

分析：（1）由，利用正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得；從而可得結(jié)果；（2）由余弦定理可得可得，所以.詳解：(1)∵∴∴（2）∵∴∴點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，然后求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，與定義域取交集可得出答案；（2）利用三角函數(shù)圖象變換得出，解出不等式的解集，可得知對(duì)中的任意一個(gè)，每個(gè)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)整數(shù)使得，從而得出結(jié)論.【題目詳解】（1）.令，解得，所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，，因此，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，由，對(duì)于中的任意一個(gè)，區(qū)間長度始終為，大于，每個(gè)區(qū)間至少含有一個(gè)整數(shù)，因此，存在無窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦型三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了利用三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式，以及三角不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20、（1）或（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解題分析】

（1）若，則或，解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若則，結(jié)合交集定義，分類討論可得.【題目詳解】解：（1）若，則或，即或.所以的取值范圍為或.（2）∵，則且，∴.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的交集運(yùn)算，元素與元素的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題.21、(1)見解析；（2）【解題分析】

（1）證明，利用平面即可證得，問題得證．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.當(dāng)與垂直時(shí)，與平面所成最大角，利用該最大角的正切值為即可求得，證明就是二面角的一個(gè)平面角，解即可．【題目詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為等邊三角形，又為中點(diǎn)所以，又所以因?yàn)槠矫妫矫嫠?，又所以平面?）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連