安徽省皖東縣中聯(lián)盟2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

安徽省皖東縣中聯(lián)盟2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)和，則其公差A(yù)． B． C． D．2．在中，若，則的面積為().A．8 B．2 C． D．43．為了了解某同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)他的6次數(shù)學(xué)測試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉圖如圖所示，則下列關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績的說法正確的是()A．中位數(shù)為83 B．眾數(shù)為85 C．平均數(shù)為85 D．方差為194．已知在三角形中，，點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，此球面球心到平面的距離為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A． B． C． D．15．已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），則△ABC的面積為A．3 B．2 C．1 D．6．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作之一，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積（弦矢矢），弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑等于6米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約為（）A．12平方米 B．16平方米 C．20平方米 D．24平方米7．用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式時(shí)，應(yīng)注意必須為（）A． B．， C．， D．，8．已知函數(shù)f(x)滿足：f(x)=-f(-x)，且當(dāng)x∈(-∞，0]時(shí)，成立，若則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a9．方程的解集是（）A． B．C． D．10．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，，則的面積等于______.12．如圖所示，分別以為圓心，在內(nèi)作半徑為2的三個(gè)扇形，在內(nèi)任取一點(diǎn)，如果點(diǎn)落在這三個(gè)扇形內(nèi)的概率為，那么圖中陰影部分的面積是____________.13．如圖，圓錐形容器的高為圓錐內(nèi)水面的高為，且，若將圓錐形容器倒置，水面高為，則等于__________．（用含有的代數(shù)式表示）14．?dāng)?shù)列滿足下列條件：，且對(duì)于任意正整數(shù)，恒有，則______.15．學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為100且支出在元的樣本，其頻率分布直方圖如圖，則支出在元的同學(xué)人數(shù)為________16．如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值.18．某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（2）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：表1：生產(chǎn)能力分組人數(shù)48x53表2：生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更??？（不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）圖1A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖圖2B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖19．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)有零點(diǎn)的概率；（2）若，求成立的概率.20．已知直線l：(a-2)y=(3a-1)x-1（1）求證：不論實(shí)數(shù)a取何值，直線l總經(jīng)過一定點(diǎn)；（2）若直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求直線l的方程．21．已知圓，直線.圓與軸交于兩點(diǎn)，是圓上不同于的一動(dòng)點(diǎn)，所在直線分別與交于.（1）當(dāng)時(shí)，求以為直徑的圓的方程；（2）證明：以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】，解得，則，故選D．2、C【解題分析】

由正弦定理結(jié)合已知，可以得到的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理結(jié)合，可以求出的值，再利用三角形面積公式求出三角形的面積即可.【題目詳解】由正弦定理可知：，而，所以有，由余弦定理可知：，所以，因此的面積為，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、C【解題分析】試題分析：A選項(xiàng)，中位數(shù)是84；B選項(xiàng)，眾數(shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，故是83；C選項(xiàng)，平均數(shù)是85，正確；D選項(xiàng)，方差是，錯(cuò)誤．考點(diǎn)：?莖葉圖的識(shí)別?相關(guān)量的定義4、D【解題分析】

利用數(shù)形結(jié)合，計(jì)算球的半徑，可得半徑為2，進(jìn)一步可得該幾何體為正四面體，可得結(jié)果.【題目詳解】如圖據(jù)題意可知：點(diǎn)都在同一個(gè)球面上可知為的外心，故球心必在過且垂直平面的垂線上因?yàn)椋郧蛐牡狡矫娴木嚯x為即，又所以同理可知：所以該幾何體為正四面體，由點(diǎn)是線段的中點(diǎn)所以，且平面，故平面所以點(diǎn)到平面的距離是故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查空間幾何體的應(yīng)用，以及點(diǎn)到面的距離，本題難點(diǎn)在于得到該幾何體為正四面體，屬中檔題.5、A【解題分析】

由兩點(diǎn)式求得直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求得三角形的高，由兩點(diǎn)間距離公式求得的長，從而根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.【題目詳解】∵點(diǎn)A（1，0），B（0，1），∴直線AB的方程為x+y–1=0，，又∵點(diǎn)C（–2，–3）到直線AB的距離為，∴△ABC的面積為S=．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式以及直線方程的應(yīng)用，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于中檔題.6、C【解題分析】

在中，由題意OA＝4，∠DAO＝，即可求得OD，AD的值，根據(jù)題意可求矢和弦的值，即可利用公式計(jì)算求值得解．【題目詳解】如圖，由題意可得：∠AOB＝，OA＝6，在中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得：矢＝6﹣3＝3，由AD＝AO＝6×＝3，可得：弦＝2AD＝2×3＝6，所以：弧田面積＝（弦×矢+矢2）＝（6×3+32）＝9+4.5≈20平方米．故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形的面積公式，考查數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．7、D【解題分析】

根據(jù)題意驗(yàn)證，，時(shí)，不等式不成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立，即可得出答案.【題目詳解】解：當(dāng)，，時(shí)，顯然不等式不成立，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故用數(shù)學(xué)歸納法證明這一不等式時(shí)，應(yīng)注意必須為，故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)的奇偶性，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合已知條件，判斷出的單調(diào)性，結(jié)合的奇偶性比較出的大小關(guān)系.【題目詳解】由于，所以為奇函數(shù).構(gòu)造函數(shù)，依題意，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞減.由于，所以為偶函數(shù)，故在上遞增..，.由于，所以.故選：B【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查比較大小的方法，屬于中檔題.9、C【解題分析】

把方程化為，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解方程的解，得到答案.【題目詳解】由題意，方程，可化為，解得，即方程的解集為.故答案為：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟記正切函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角.【題目詳解】由題得直線的斜率.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線的斜率和傾斜角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先用余弦定理求得，從而得到，再利用正弦定理三角形面積公式求解.【題目詳解】因?yàn)樵谥?，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12、【解題分析】

先求出三塊扇形的面積,再由概率計(jì)算公式求出的面積,進(jìn)而求出陰影部分的面積.【題目詳解】∵,∴三塊扇形的面積為:,設(shè)的面積為,∵在內(nèi)任取一點(diǎn),點(diǎn)落在這三個(gè)扇形內(nèi)的概率為,,∴圖中陰影部分的面積為:,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型的應(yīng)用,屬于幾何概型中的面積問題,難度不大.13、【解題分析】

根據(jù)水的體積不變，列出方程，解出的值，即可得到答案.【題目詳解】設(shè)圓錐形容器的底面面積為，則未倒置前液面的面積為，所以水的體積為，設(shè)倒置后液面面積為，則，所以，所以水的體積為，所以，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，以及圓錐的體積的計(jì)算與應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用圓錐的結(jié)構(gòu)特征，利用體積公式準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14、512【解題分析】

直接由，可得，這樣推下去，再帶入等比數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)論。【題目詳解】故選C?！绢}目點(diǎn)撥】利用遞推式的特點(diǎn)，反復(fù)帶入遞推式進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出結(jié)果，本題是一道中等難度題目。15、30【解題分析】

由頻率分布直方圖求出支出在元的概率，由此能力求出支出在元的同學(xué)的人數(shù)，得到答案．【題目詳解】由頻率分布直方圖，可得支出在元的概率，，所以支出在元的同學(xué)的人數(shù)為人．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及概率的計(jì)算，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，合理求得相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

求出長方體體積與三棱錐的體積后即可得到棱錐的體積與剩下的幾何體體積之比.【題目詳解】設(shè)長方體長寬高分別為，，，所以長方體體積，三棱錐體積，所以棱錐的體積與剩下的幾何體體積的之比為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了長方體體積公式，三棱錐體積公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）將化簡整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根據(jù)，可求的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ），所以的最小正周期為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因?yàn)?，所?要使得在上的最大值為，即在上的最大值為1.所以，即.所以的最小值為.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，化簡時(shí)要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準(zhǔn)確性，及公式中符號(hào)的正負(fù).18、（1）25,75（2）①5,15，直方圖見解析，B類②123，133.8，131.1【解題分析】

（1）先計(jì)算抽樣比為，進(jìn)而可得各層抽取人數(shù)（2）①類、類工人人數(shù)之比為，按此比例確定兩類工人需抽取的人數(shù)，再算出和即可．畫出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更?、谌∶總€(gè)小矩形的橫坐標(biāo)的中點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積相加即得平均數(shù).【題目詳解】（1）由已知可得：抽樣比，故類工人中應(yīng)抽?。喝耍惞と酥袘?yīng)抽?。喝耍?）①由題意知，得，，得．滿足條件的頻率分布直方圖如下所示：從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更?。?，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.1【題目點(diǎn)撥】本題考查等可能事件、相互獨(dú)立事件的概率、頻率分布直方圖的理解以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)等知識(shí)、考查運(yùn)算能力．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）求得有零點(diǎn)的條件，運(yùn)用古典概率的公式，計(jì)算可得所求；（2）若，即，畫出不等式組表示的區(qū)域，計(jì)算面積可得所求．【題目詳解】解：（1）函數(shù)有零點(diǎn)的條件為，即，，可得事件的總數(shù)為，而有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，，，，，，共7個(gè)，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率為；（2）若，即，畫出的區(qū)域，可得成立的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概率和幾何概率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）15，【解題分析】

（1）直線l方程可整理為：a3x-y+-x+2y-1=0，由直線系的知識(shí)聯(lián)立方程組，解方程組可得定點(diǎn)；

（2）由題意可得a的范圍，分別令【題目詳解】（1）直線l方程可整理為：a3x-y聯(lián)立3x-y=0-x+2y-1=0，解得x=∴直線恒過定點(diǎn)15（2）由題意可知直線的斜率k=3a-1∴a∈令y=0，得：x=1令x=0，得：y=-1∴S=1分母t=-3a當(dāng)a=76∈此時(shí)S為最小值.故直線l的方程為：7即為：15x+5y-6=0【題目點(diǎn)撥】本題考查直線過定點(diǎn)問題，涉及函數(shù)最值的求解，屬中檔題．21、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）討論點(diǎn)的位置，根據(jù)直線的方程，直線的方程分別與直線方程聯(lián)立，得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)以及半徑，即可得出該圓的方程；（2）討論點(diǎn)的位置，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)以及半徑，再由圓的弦長公式化簡即可證明.【題目詳解】（1）由圓的方程可知，①當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，如下圖