上海市徐匯、松江、金山區(qū)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

上海市徐匯、松江、金山區(qū)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某學(xué)校有教師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全體師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，若女學(xué)生一共抽取了80人，則n的值為（）A．193 B．192 C．191 D．1902．若向量，，則在方向上的投影為（）A．-2 B．2 C． D．3．用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A． B．C． D．4．正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則異面直線(xiàn)與所成的角是()A． B． C． D．5．若，，則的值是（）A． B． C． D．6．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．7．莖葉圖記錄了甲、乙兩組各6名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為124，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則，的值分別為A． B．C． D．8．角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么的值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，其中為整數(shù)，若在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則的最大值為()A． B． C． D．10．已知a，b為不同的直線(xiàn)，為平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等腰中，為底邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線(xiàn)與邊交于點(diǎn)，若，則___________．12．平面四邊形如圖所示，其中為銳角三角形，，，則_______.13．兩平行直線(xiàn)與之間的距離為_(kāi)______．14．在直角坐標(biāo)系中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊，若其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，定義：，稱(chēng)“”為“的正余弦函數(shù)”，若，則_________．15．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．16．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到平面的距離等于________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在銳角三角形中，分別是角的對(duì)邊，且.（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍.18．已知數(shù)列中，.(1)求證：是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知：數(shù)列，滿(mǎn)足①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②記集合若集合中含有個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．中，D是邊BC上的點(diǎn)，滿(mǎn)足，，.（1）求；（2）若，求BD的長(zhǎng).20．已知函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．且，，，．（1）分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．21．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，求：（1）邊上的高所在直線(xiàn)的方程；（2）的外接圓的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

按分層抽樣的定義，按比例計(jì)算．【題目詳解】由題意，解得．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣，屬于簡(jiǎn)單題．2、A【解題分析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影為=-2故選A3、C【解題分析】

分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式，和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式．【題目詳解】當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當(dāng)n＝k+1時(shí)，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵．4、D【解題分析】

首先根據(jù)得到異面直線(xiàn)與所成的角就是直線(xiàn)與所成角，再根據(jù)即可求出答案.【題目詳解】由圖知：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成的角就是直線(xiàn)與所成角.因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所以?所以異面直線(xiàn)與所成的角為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線(xiàn)所成角，平移找角為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.5、B【解題分析】，，，故選B.6、B【解題分析】

由角的終邊上一點(diǎn)得，根據(jù)條件解出即可【題目詳解】由角的終邊上一點(diǎn)得所以解得故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡(jiǎn)單.7、A【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)的概念可確定；根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法可構(gòu)造方程求得.【題目詳解】甲組數(shù)據(jù)眾數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖中眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】，故選C。9、A【解題分析】

利用一元二次方程根的分布的充要條件得到關(guān)于的不等式，再由為整數(shù)，可得當(dāng)取最小時(shí)，取最大，從而求得答案.【題目詳解】∵在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，∴∵，∴當(dāng)取最小時(shí)，取最大，∵兩個(gè)零點(diǎn)的乘積小于1，∴，∵為整數(shù)，令時(shí)，，滿(mǎn)足.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意為整數(shù)的應(yīng)用.10、D【解題分析】

根據(jù)線(xiàn)面垂直與平行的性質(zhì)與判定分析或舉出反例即可.【題目詳解】對(duì)A,根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行與線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知A正確.對(duì)B,根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行與線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知B正確.對(duì)C,根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)知C正確.對(duì)D,當(dāng),時(shí),也有可能.故D錯(cuò)誤.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間中平行垂直的判定與性質(zhì),屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解題分析】

題中已知等腰中，為底邊的中點(diǎn)，不妨于為軸，垂直平分線(xiàn)為軸建立直角坐標(biāo)系，這樣，我們能求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)與求出交點(diǎn)，求向量的數(shù)量積即可.【題目詳解】如上圖，建立直角坐標(biāo)系，我們可以得出直線(xiàn)，聯(lián)立方程求出,,即填寫(xiě)【題目點(diǎn)撥】本題中因?yàn)橐阎走吋案叩拈L(zhǎng)度，所有我們建立直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，而作為F點(diǎn)的坐標(biāo)我們可以通過(guò)直線(xiàn)交點(diǎn)求出，把向量數(shù)量積通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)的更加直觀(guān).12、．【解題分析】

由二倍角公式求出，然后用余弦定理求得，再由余弦定理求．【題目詳解】由題意，在中，，在中，，即，解得，或．若，則，，不合題意，舍去，所以．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦的二倍角公式，考查余弦定理．掌握余弦定理是解題關(guān)鍵．13、【解題分析】

先根據(jù)兩直線(xiàn)平行求出，再根據(jù)平行直線(xiàn)間的距離公式即可求出．【題目詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的斜率存在，，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，即，故兩平行直線(xiàn)的距離為．當(dāng)時(shí)，，，兩直線(xiàn)重合，不符合題意，應(yīng)舍去．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平行直線(xiàn)間的距離公式的應(yīng)用，以及根據(jù)兩直線(xiàn)平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】試題分析：根據(jù)正余弦函數(shù)的定義，令，則可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本題正確答案為.考點(diǎn)：三角函數(shù)的概念.15、【解題分析】

利用空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可.【題目詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

利用等體法即可求解.【題目詳解】如圖，由ABCD是菱形，，，E是BC的中點(diǎn)，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，則平面，由平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，由即，即，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了等體法求點(diǎn)到面的距離，同時(shí)考查了線(xiàn)面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理邊化角，可整理求得，根據(jù)三角形為銳角三角形可確定的取值；（2）利用正弦定理可將轉(zhuǎn)化為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式整理得到，根據(jù)的范圍可求得正弦型函數(shù)的值域，進(jìn)而得到所求取值范圍.【題目詳解】（1）由正弦定理得：為銳角三角形，，即（2）由正弦定理得：為銳角三角形，，即【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理邊化角的應(yīng)用、邊長(zhǎng)之和的范圍的求解問(wèn)題；求解邊長(zhǎng)之和范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求解問(wèn)題；易錯(cuò)點(diǎn)是在求解三角函數(shù)值域時(shí)，忽略角的范圍限制，造成求解錯(cuò)誤.18、(1)證明見(jiàn)解析，(2)①②【解題分析】

(1)計(jì)算得到：得證.(2)①計(jì)算的通項(xiàng)公式為，利用錯(cuò)位相減法得到.②將代入集合M，化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得，確定數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)集合中含有個(gè)元素得到答案.【題目詳解】(1)，為等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比為.所以，.(2)①數(shù)列的通項(xiàng)公式為①②①-②化簡(jiǎn)后得.②將代入得化簡(jiǎn)并分離參數(shù)得，設(shè)，則易知由于中含有個(gè)元素，所以實(shí)數(shù)要小于等于第5大的數(shù)，且比第6大的數(shù)大.，，綜上所述.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的證明，數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法，數(shù)列的單調(diào)性，綜合性強(qiáng)計(jì)算量大，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）（2）【解題分析】

（1）由中，D是邊BC上的點(diǎn)，根據(jù)面積關(guān)系求得，再結(jié)合正弦定理，即可求解.（2）由，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合，解得，進(jìn)而利用勾股定理求得的長(zhǎng).【題目詳解】（1）由題意，在中，D是邊BC上的點(diǎn)，可得，所以又由正弦定理，可得.（2）由，可得，所以，即，由（1）知，解得，又由，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記解三角形的正弦定理，以及熟練應(yīng)用三角的面積關(guān)系，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1），；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意分別列出關(guān)于、的方程，求出這兩個(gè)量，然后分別求出數(shù)列、的首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可計(jì)算出數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）令可得出的值，再令，由得出，兩式相減可求出，于此得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題目詳解】（1）由題意得，，，解得，且，，，，，且，整理得，解得，，，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；（2）由題意可知，對(duì)任意的，.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，由，可得，上述兩式相減得，即，.不適合上式，因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及利用作差法求數(shù)列通項(xiàng)，解題時(shí)要結(jié)合數(shù)列遞推式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21、（1）2x+y-2=0；（2）x2+y2+2x+2y-8=0【解題分析】

（1）根據(jù)高與底邊所在直線(xiàn)垂直確定斜率，再