2024屆名校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆名校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，且，則()A． B． C． D．2．函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，則滿足此條件的一個(gè)值為（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足，且，其前n項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則C．若a＞b＞0，則（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c5．《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍（底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w），下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．下圖網(wǎng)格紙中實(shí)線部分為此芻甍的三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長為1丈，那么此芻甍的體積為（）A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈6．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，是下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則7．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為（）A． B． C． D．9．中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，令，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折成，使得平面平面，則下列說法中正確的是__________.(填序號)（1）在平面內(nèi)存在直線與平行；（2）在平面內(nèi)存在直線與垂直（3）存在點(diǎn)使得直線平面（4）平面內(nèi)存在直線與平面平行.（5）存在點(diǎn)使得直線平面12．直線與圓的位置關(guān)系是______.13．在中，為邊中點(diǎn)，且，，則______.14．若數(shù)列滿足（）,且，，__.15．已知正三角形的邊長是2，點(diǎn)為邊上的高所在直線上的任意一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，且.則的取值范圍是____16．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某公司為了提高職工的健身意識，鼓勵(lì)大家加入健步運(yùn)動(dòng)，要求200名職工每天晚上9:30上傳手機(jī)計(jì)步截圖，對于步數(shù)超過10000的予以獎(jiǎng)勵(lì).圖1為甲乙兩名職工在某一星期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)步數(shù)統(tǒng)計(jì)圖，圖2為根據(jù)這星期內(nèi)某一天全體職工的運(yùn)動(dòng)步數(shù)做出的頻率分布直方圖.（1）在這一周內(nèi)任選兩天檢查，求甲乙兩人兩天全部獲獎(jiǎng)的概率；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，求出該天運(yùn)動(dòng)步數(shù)不少于15000的人數(shù)，并估計(jì)全體職工在該天的平均步數(shù)；（3）如果當(dāng)天甲的排名為第130名，乙的排名為第40名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖.18．已知函數(shù)滿足且.（1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；（2）設(shè)，求證：；19．已知、、是的內(nèi)角，且，.（1）若，求的外接圓的面積：（2）若，且為鈍角三角形，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.21．已知函數(shù).（1）用五點(diǎn)法作出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象（列表、描點(diǎn)、連線）；（2）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

利用二倍角的正弦公式和與余弦公式化簡可得.【題目詳解】∵，∴，∵，所以，∴，∴.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

求出函數(shù)的對稱軸方程，使得滿足在內(nèi)，解不等式即可求出滿足此條件的一個(gè)φ值．【題目詳解】解：函數(shù)圖象的對稱軸方程為：xk∈Z，函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ故選A．【題目點(diǎn)撥】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，不等式的解法，考查計(jì)算能力，能夠充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提．3、C【解題分析】

首先分析題目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n項(xiàng)和為Sn，求滿足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整數(shù)n．故可以考慮把等式3an+1+an=4變形得到，然后根據(jù)數(shù)列bn=an﹣1為等比數(shù)列，求出Sn代入絕對值不等式求解即可得到答案．【題目詳解】對3an+1+an=4變形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到數(shù)列bn=an﹣1為首項(xiàng)為8公比為的等比數(shù)列．所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數(shù)n=7故選C．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查不等式的求解問題，其中涉及到可化為等比數(shù)列的數(shù)列的求和問題，屬于不等式與數(shù)列的綜合性問題，判斷出數(shù)列an﹣1為等比數(shù)列是題目的關(guān)鍵，有一定的技巧性屬于中檔題目．4、D【解題分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，A不成立；當(dāng)時(shí)，B不成立；當(dāng)時(shí)，C不成立；由不等式的性質(zhì)知D成立．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)中，不等式兩邊乘以同一個(gè)正數(shù)，不等式號方向不變，兩邊乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式號方向改變，這個(gè)性質(zhì)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤：一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負(fù)，二是不區(qū)分是否為1．5、B【解題分析】幾何體如圖：體積為，選B.點(diǎn)睛：(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對概念類的命題進(jìn)行辨析．6、D【解題分析】

根據(jù)空間中線線，線面，面面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【題目詳解】A選項(xiàng)，若，，則可能平行、相交、或異面；故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，若，，，則可能平行或異面；故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，若，，，如果再滿足，才會(huì)有則與垂直，所以與不一定垂直；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，，則，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正確.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間的線面，面面位置關(guān)系，熟記位置關(guān)系，以及判定定理即可，屬于?？碱}型.7、B【解題分析】試題分析：設(shè)該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用．8、D【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列式求解參數(shù)即可.【題目詳解】由題,,因?yàn)?故.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了點(diǎn)到線的距離公式求參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.10、D【解題分析】該程序的功能是計(jì)算并輸出分段函數(shù).當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無解.綜上，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（2）（4）【解題分析】

采用逐一驗(yàn)證法，利用線面的位置關(guān)系判斷，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）錯(cuò)，若在平面內(nèi)存在直線與平行，則//平面，可知//，而與相交，故矛盾（2）對，如圖作，根據(jù)題意可知平面平面所以，作，點(diǎn)在平面，則平面，而平面，所以，故正確（3）錯(cuò)，若平面，則，而所以平面，則，矛盾（4）對，如圖延長交于點(diǎn)連接,作//平面，平面，平面，所以//平面，故存在（5）錯(cuò)，若平面，則又，所以平面所以，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上又該圓與無交點(diǎn)，所以不存在.故答案為：（2）（4）【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線線，線面，面面之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合在此發(fā)揮重要作用，屬中檔題.12、相交【解題分析】

由直線系方程可得直線過定點(diǎn)，進(jìn)而可得點(diǎn)在圓內(nèi)部，即可得到位置關(guān)系.【題目詳解】化直線方程為，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，而，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，故直線與圓的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓位置關(guān)系的判斷，考查直線系方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13、0【解題分析】

根據(jù)向量，，取模平方相減得到答案.【題目詳解】兩個(gè)等式平方相減得到：故答案為0【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的加減，模長，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、1【解題分析】

由數(shù)列滿足，即，得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的極限的求法，即可求解．【題目詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得．所以．故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及無窮等比數(shù)列的極限的計(jì)算，其中解答中得出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

以AB所在的直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出A.C,P,Q的坐標(biāo)，運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，求出的表達(dá)式，利用判別式法求出的取值范圍.【題目詳解】以AB所在的直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：，設(shè)，，設(shè)，可得，由，可得即，，令，可得，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，即，，即，所以的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算，考查了平面向量模的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用判別式法求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.16、2【解題分析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【題目詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.【題目點(diǎn)撥】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解題分析】

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖統(tǒng)計(jì)出甲乙兩人合格的天數(shù)，再計(jì)算全部獲獎(jiǎng)概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出人數(shù)及平均步數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出甲乙的步數(shù)從而判斷出星期幾．【題目詳解】（1）由統(tǒng)計(jì)圖可知甲乙兩人步數(shù)超過10000的有星期一、星期二、星期五、星期天設(shè)事件A為甲乙兩人兩天全部獲獎(jiǎng)，則（2）由圖可知，解得所以該天運(yùn)動(dòng)步數(shù)不少于15000的人數(shù)為（人）全體職工在該天的平均步數(shù)為：（千步）（3）因?yàn)榧僭O(shè)甲的步數(shù)為千步，乙的步數(shù)為千步由頻率分布直方圖可得：，解得，解得所以可得出的是星期二的頻率分布直方圖.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用頻率分布直方圖來求平均數(shù)和概率，要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，較簡單.18、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）令，將函數(shù)表示為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）將表示出來，利用錯(cuò)位相減法得到前N項(xiàng)和，最后證明不等式.【題目詳解】（1）令，得，∴，即（2），設(shè)，則，①，②來①-②得，【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，錯(cuò)位相減法，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系先求得，再由正弦定理求得即可；（2）因大小不能確定，故鈍角不能確定，結(jié)合三角形三邊關(guān)系和余弦定理特點(diǎn)即可判斷【題目詳解】（1）由，又，即，故外接圓的面積為：（2），，，根據(jù)三邊關(guān)系有，當(dāng)為鈍角時(shí)，可得，即，解得，故；當(dāng)為鈍角時(shí)，可得，即，解得，故；綜上可得的范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理的應(yīng)用，余弦定理和三角形中形狀的判斷的關(guān)系，屬于中檔題20、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，是的中點(diǎn)，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點(diǎn)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量