2024屆名校數(shù)學高一第二學期期末考試試題含解析

2024屆名校數(shù)學高一第二學期期末考試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，且，則()A． B． C． D．2．函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，則滿足此條件的一個值為（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足，且，其前n項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是（）A．5 B．6 C．7 D．84．已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則C．若a＞b＞0，則（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c5．《九章算術》卷五商功中有如下問題：今有芻甍（底面為矩形的屋脊狀的幾何體），下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．下圖網(wǎng)格紙中實線部分為此芻甍的三視圖，設網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1丈，那么此芻甍的體積為（）A．3立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈6．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，是下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則7．古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知點到直線的距離為1，則的值為（）A． B． C． D．9．中國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，令，若，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，點為正方形邊上異于點的動點，將沿翻折成，使得平面平面，則下列說法中正確的是__________.(填序號)（1）在平面內(nèi)存在直線與平行；（2）在平面內(nèi)存在直線與垂直（3）存在點使得直線平面（4）平面內(nèi)存在直線與平面平行.（5）存在點使得直線平面12．直線與圓的位置關系是______.13．在中，為邊中點，且，，則______.14．若數(shù)列滿足（）,且，，__.15．已知正三角形的邊長是2，點為邊上的高所在直線上的任意一點，為射線上一點，且.則的取值范圍是____16．已知四面體的四個頂點均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某公司為了提高職工的健身意識，鼓勵大家加入健步運動，要求200名職工每天晚上9:30上傳手機計步截圖，對于步數(shù)超過10000的予以獎勵.圖1為甲乙兩名職工在某一星期內(nèi)的運動步數(shù)統(tǒng)計圖，圖2為根據(jù)這星期內(nèi)某一天全體職工的運動步數(shù)做出的頻率分布直方圖.（1）在這一周內(nèi)任選兩天檢查，求甲乙兩人兩天全部獲獎的概率；（2）請根據(jù)頻率分布直方圖，求出該天運動步數(shù)不少于15000的人數(shù)，并估計全體職工在該天的平均步數(shù)；（3）如果當天甲的排名為第130名，乙的排名為第40名，試判斷做出的是星期幾的頻率分布直方圖.18．已知函數(shù)滿足且.（1）當時，求的表達式；（2）設，求證：；19．已知、、是的內(nèi)角，且，.（1）若，求的外接圓的面積：（2）若，且為鈍角三角形，求正實數(shù)的取值范圍.20．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點.（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角的正弦值.21．已知函數(shù).（1）用五點法作出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象（列表、描點、連線）；（2）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

利用二倍角的正弦公式和與余弦公式化簡可得.【題目詳解】∵，∴，∵，所以，∴，∴.故選：A【題目點撥】本題考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎題.2、A【解題分析】

求出函數(shù)的對稱軸方程，使得滿足在內(nèi)，解不等式即可求出滿足此條件的一個φ值．【題目詳解】解：函數(shù)圖象的對稱軸方程為：xk∈Z，函數(shù)圖象的一條對稱軸在內(nèi)，所以當k＝0時，φ故選A．【題目點撥】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，不等式的解法，考查計算能力，能夠充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)解題是學好數(shù)學的前提．3、C【解題分析】

首先分析題目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n項和為Sn，求滿足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整數(shù)n．故可以考慮把等式3an+1+an=4變形得到，然后根據(jù)數(shù)列bn=an﹣1為等比數(shù)列，求出Sn代入絕對值不等式求解即可得到答案．【題目詳解】對3an+1+an=4變形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到數(shù)列bn=an﹣1為首項為8公比為的等比數(shù)列．所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數(shù)n=7故選C．【題目點撥】此題主要考查不等式的求解問題，其中涉及到可化為等比數(shù)列的數(shù)列的求和問題，屬于不等式與數(shù)列的綜合性問題，判斷出數(shù)列an﹣1為等比數(shù)列是題目的關鍵，有一定的技巧性屬于中檔題目．4、D【解題分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【題目詳解】當時，A不成立；當時，B不成立；當時，C不成立；由不等式的性質(zhì)知D成立．故選D．【題目點撥】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)中，不等式兩邊乘以同一個正數(shù)，不等式號方向不變，兩邊乘以同一個負數(shù)，不等式號方向改變，這個性質(zhì)容易出現(xiàn)錯誤：一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負，二是不區(qū)分是否為1．5、B【解題分析】幾何體如圖：體積為，選B.點睛：(1)解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結構特征，可以根據(jù)條件構建幾何模型，在幾何模型中進行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學會利用反例對概念類的命題進行辨析．6、D【解題分析】

根據(jù)空間中線線，線面，面面位置關系，逐項判斷即可得出結果.【題目詳解】A選項，若，，則可能平行、相交、或異面；故A錯；B選項，若，，，則可能平行或異面；故B錯；C選項，若，，，如果再滿足，才會有則與垂直，所以與不一定垂直；故C錯；D選項，若，，則，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正確.故選D【題目點撥】本題主要考查空間的線面，面面位置關系，熟記位置關系，以及判定定理即可，屬于?？碱}型.7、B【解題分析】試題分析：設該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點：等比數(shù)列的應用．8、D【解題分析】

根據(jù)點到直線的距離公式列式求解參數(shù)即可.【題目詳解】由題,,因為,故.故選：D【題目點撥】本題主要考查了點到線的距離公式求參數(shù)的問題,屬于基礎題.9、C【解題分析】從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.10、D【解題分析】該程序的功能是計算并輸出分段函數(shù).當時，，解得；當時，，解得；當時，，無解.綜上，，則實數(shù)a的取值范圍是.故選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（2）（4）【解題分析】

采用逐一驗證法，利用線面的位置關系判斷，可得結果.【題目詳解】（1）錯，若在平面內(nèi)存在直線與平行，則//平面，可知//，而與相交，故矛盾（2）對，如圖作，根據(jù)題意可知平面平面所以，作，點在平面，則平面，而平面，所以，故正確（3）錯，若平面，則，而所以平面，則，矛盾（4）對，如圖延長交于點連接,作//平面，平面，平面，所以//平面，故存在（5）錯，若平面，則又，所以平面所以，可知點在以為直徑的圓上又該圓與無交點，所以不存在.故答案為：（2）（4）【題目點撥】本題主要考查線線，線面，面面之間的關系，數(shù)形結合在此發(fā)揮重要作用，屬中檔題.12、相交【解題分析】

由直線系方程可得直線過定點，進而可得點在圓內(nèi)部，即可得到位置關系.【題目詳解】化直線方程為，令，解得，所以直線過定點，又圓的圓心坐標為，半徑，而，所以點在圓內(nèi)部，故直線與圓的位置關系是相交.故答案為：相交.【題目點撥】本題考查直線與圓位置關系的判斷，考查直線系方程的應用，屬于基礎題.13、0【解題分析】

根據(jù)向量，，取模平方相減得到答案.【題目詳解】兩個等式平方相減得到：故答案為0【題目點撥】本題考查了向量的加減，模長，意在考查學生的計算能力.14、1【解題分析】

由數(shù)列滿足，即，得到數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的極限的求法，即可求解．【題目詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，，所以數(shù)列的奇數(shù)項構成首項為1，公比為，偶數(shù)項構成首項為，公比為的等比數(shù)列，當為奇數(shù)時，可得，當為偶數(shù)時，可得．所以．故答案為：1.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及無窮等比數(shù)列的極限的計算，其中解答中得出數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成公比為的等比數(shù)列是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．15、【解題分析】

以AB所在的直線為x軸，以AB的中點為坐標原點，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，求出A.C,P,Q的坐標，運用平面向量的坐標表示和性質(zhì)，求出的表達式，利用判別式法求出的取值范圍.【題目詳解】以AB所在的直線為x軸，以AB的中點為坐標原點，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，如下圖所示：，設，，設，可得，由，可得即，，令，可得，當時，成立，當時，，即，，即，所以的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算，考查了平面向量模的取值范圍，構造函數(shù)，利用判別式法求函數(shù)的最值是解題的關鍵.16、2【解題分析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點到直線的距離為，可知點在球上的運動軌跡為小圓.【題目詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點在以為圓心，為半徑的小圓上運動，當面面時，四面體的體積達到最大，.【題目點撥】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點的運動軌跡，考查學生的空間想象能力和邏輯思維能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解題分析】

（1）根據(jù)統(tǒng)計圖統(tǒng)計出甲乙兩人合格的天數(shù)，再計算全部獲獎概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出人數(shù)及平均步數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖計算出甲乙的步數(shù)從而判斷出星期幾．【題目詳解】（1）由統(tǒng)計圖可知甲乙兩人步數(shù)超過10000的有星期一、星期二、星期五、星期天設事件A為甲乙兩人兩天全部獲獎，則（2）由圖可知，解得所以該天運動步數(shù)不少于15000的人數(shù)為（人）全體職工在該天的平均步數(shù)為：（千步）（3）因為假設甲的步數(shù)為千步，乙的步數(shù)為千步由頻率分布直方圖可得：，解得，解得所以可得出的是星期二的頻率分布直方圖.【題目點撥】本題考查利用頻率分布直方圖來求平均數(shù)和概率，要注意計算的準確性，較簡單.18、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）令，將函數(shù)表示為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）將表示出來，利用錯位相減法得到前N項和，最后證明不等式.【題目詳解】（1）令，得，∴，即（2），設，則，①，②來①-②得，【題目點撥】本題考查了函數(shù)與數(shù)列的關系，錯位相減法，綜合性強，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系先求得，再由正弦定理求得即可；（2）因大小不能確定，故鈍角不能確定，結合三角形三邊關系和余弦定理特點即可判斷【題目詳解】（1）由，又，即，故外接圓的面積為：（2），，，根據(jù)三邊關系有，當為鈍角時，可得，即，解得，故；當為鈍角時，可得，即，解得，故；綜上可得的范圍是【題目點撥】本題考查正弦定理的應用，余弦定理和三角形中形狀的判斷的關系，屬于中檔題20、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

（1）取中點，連結，，推導出，，從而平面平面，由此能證明直線平面；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】（1）證明：取中點，連結，，，是的中點，，，，，平面平面，平面，直線平面．（2）解：，，底面，，是的中點，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量