新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2直線與平面垂直第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8．6空間直線、平面的垂直8．6.2直線與平面垂直第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)必備知識?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向

1．借助長方體，通過直觀感知，歸納出直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．2．會應(yīng)用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明一些空間的簡單線面關(guān)系．

在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用直線與平面垂直的性質(zhì)定理的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)．必備知識?探新知

直線與平面垂直的性質(zhì)

知識點

1直線與平面垂直的性質(zhì)定理平行a∥b練一練：1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是(

)A．b∥α B．b?αC．b⊥α D．b與α相交[解析]

由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.故選C.C2．如圖，已知AF⊥平面ABCD，平面DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝_____.[解析]

∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴EF＝AD＝6.6距離

知識點

21．直線與平面的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上___________到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．2．兩個平行平面間的距離如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都_______，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．任意一點相等想一想：1．l∥平面α，A∈l，B∈l，則A，B到平面α的距離有什么關(guān)系？提示：相等．2．在棱柱、棱臺的體積公式中，它們的高的本質(zhì)是什么？提示：它們的高的本質(zhì)就是它們的上、下底面間的距離．B2．線段AB在平面α的同側(cè)，點A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為_____.[解析]

如圖，設(shè)AB的中點為M，分別過A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.4關(guān)鍵能力?攻重難

已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，給出下列命題：題|型|探|究題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的理解典例1其中正確命題的序號是(

)A．②③ B．③④C．①② D．①②③④[解析]

①中n，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A.A[歸納提升]

判定兩條直線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點．(2)利用基本事實4：證兩線同時平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．

已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面．下列命題中正確的個數(shù)為(

)①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.A．1 B．2C．3 D．0[解析]

對于①，因為l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正確；對于②，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正確；對于③，因為l∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m與α斜交，即③錯誤.對點練習(xí)?B題型二直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，∠PDA＝45°，M∈AB，N∈PC，且MN⊥AB，MN⊥CP，E為PD中點．求證：AE∥MN.典例2[證明]

∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰三角形．∵E為中點，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD，且PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD，∴CD⊥AE.又AE⊥PD，且CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN⊥AB，且AB∥CD，所以MN⊥CD，又∵M(jìn)N⊥CP，且CP∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.∵AE⊥平面PCD，∴AE∥MN.[歸納提升]

(1)若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直．(2)在證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．

如圖，正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.對點練習(xí)?[證明]

如圖所示，連接AB1，B1C，BD.因為DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1.又BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C.又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因為EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.題型三空間中的距離問題典例3[分析]

(1)根據(jù)AC2＋BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四邊形ACNM為正方形，進(jìn)而即可求證；(2)利用等體積法的思想求點到平面的距離．[歸納提升]

空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點到平面的距離．(2)利用中點轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分割)，以方便求底面積和高．

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.(1)證明：BC1∥平面D1AC；(2)求直線BC1到平面D1AC的距離．[解析]

(1)證明：因為ABCD－A1B1C1D1為長方體，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故四邊形ABC1D1為平行四邊形，故BC1∥AD1，顯然BC1?面D1AC，于是直線BC1∥平面D1AC.對點練習(xí)?題型四直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.典例4[證明]

因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.因為SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.[歸納提升]

線線、線面垂直問題的解題策略(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面．(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來．

本例中“過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F(xiàn)，G”改為“過A作AF⊥SC于點F，過點F作EF⊥SC交SB于點E”，結(jié)論不變，如何證明？[解析]

因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.又因為AF⊥SC于點F，EF⊥SC交SB于點E，所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.對點練習(xí)?易|錯|警|示考慮不周全而致誤典例5[錯因分析]

解答本題時只考慮A，B在平面同一側(cè)的情況，沒有考慮A，B在平面兩側(cè)的情況而出現(xiàn)漏解．[正解]

①當(dāng)點A，B在平面α的同側(cè)時，由題意知直線AB與平面α所成的角為30°.②當(dāng)點A，B位于平面α的兩側(cè)時，如右圖，過點A，B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB與平面α相交于點C，A1B1為AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成的角．在Rt△BCB1中，BB1＝2.在Rt△ACA1中，AA1＝1.

在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝_______.對點練習(xí)?13課堂檢測?固雙基1．對于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l(

)A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線[解析]

在平面α內(nèi)必有直線m和直線l所成的角為90°，所以二者垂直．C2．已知△ABC所在的平面為α，l，m是兩條不同的直線，l⊥AB，l⊥AC，m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．異面C．平行 D．不確定[解析]

∵l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α，且AB∩AC＝A，∴l(xiāng)⊥α，同理可證m⊥α，∴l(xiāng)∥m，∴直線l，m的位置關(guān)系是平行．故選C.C3．已知PA垂直平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是(

)A．平行四邊形 B．矩形C．正方形 D．菱形[解析]

因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD