高考人教數(shù)學(xué)（理）一輪課件第九章第一節(jié)計數(shù)原理與排列組合

第一節(jié)計數(shù)原理與排列組合第九章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列1．兩個計數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計數(shù)原理有兩類不同方案，第1類方案中有m種不同的方法，第2類方案中有n種不同的方法N＝______種不同的方法分步乘法計數(shù)原理需要兩個步驟，第1步有m種不同的方法，第2步有n種不同的方法N＝____種不同的方法m＋n

mn

2.排列3．組合不同并成一組不同所有不同組合的1.計數(shù)原理的兩個不同點(diǎn)(1)分類問題中的每一個方法都能完成這件事．(2)分步問題中每步的每一個方法都只能完成這件事的一部分．2．排列與組合問題(1)三個原則：①有序排列、無序組合．②先選后排．③復(fù)雜問題分類化簡或正難則反．(2)兩個優(yōu)先：①特殊元素優(yōu)先．②特殊位置優(yōu)先．即先考慮特殊的元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置).1．(基礎(chǔ)知識：乘法原理)從3，5，7，11這四個質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個數(shù)是(

)A．6 B．8C．12 D．16C2．(基本能力：加法原理)已知兩條異面直線a，b上分別有5個點(diǎn)和8個點(diǎn)，則這13個點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為(

)A．40 B．16C．13 D．10C3．(基本方法：乘法原理)(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展開后共有________項(xiàng)．答案：604．(基本應(yīng)用：計數(shù)原理)如圖所示，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有________條不同的路線．答案：32

5．(基本能力：計數(shù)原理)某人有3個電子郵箱，他要發(fā)5封不同的電子郵件，則不同的發(fā)送方法有________種．答案：243[典例剖析][典例]

(1)(2021·河北唐山模擬)用兩個1，一個2，一個0可組成不同四位數(shù)的個數(shù)是(

)A．18

B．16C．12 D．9D解析：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和個位，有3種情況；②在剩下的3個數(shù)位中任選1個，安排2，有3種情況；③在最后2個數(shù)位安排2個1，有1種情況，則可組成3×3＝9(個)不同四位數(shù)．(2)(2020·廣州模擬)如圖所示，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開．若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有(

)A．400種 B．460種C．480種 D．496種C解析：完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色．當(dāng)使用4種顏色時：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360(種)方法；當(dāng)使用3種顏色時：A，D使用同一種顏色，從A，D開始，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4＝120(種)方法．由分類加法計數(shù)原理可知，不同涂法有360＋120＝480(種).(3)如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1，2，3，4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個．解析：當(dāng)組成的數(shù)字有三個1，三個2，三個3，三個4時共有4種情況．當(dāng)有三個1時：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9種，當(dāng)有三個2，3，4時：2221，3331，4441，有3種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有12種結(jié)果．答案：12(4)有六名同學(xué)報名參加三個智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報名方法．解析：每項(xiàng)限報一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個項(xiàng)目有6種選法，第二個項(xiàng)目有5種選法，第三個項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種).答案：120方法總結(jié)應(yīng)用計數(shù)原理的三個注意點(diǎn)(1)注意完成“這件事”是做什么．(2)弄清完成“這件事”是分類還是分步．①根據(jù)完成事件的特點(diǎn)，進(jìn)行“分類”，根據(jù)事件的發(fā)生過程進(jìn)行“分步”．②分類要按照同一個標(biāo)準(zhǔn)，任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事．③分步時各步相互依存，只有各步都完成時，才算完成這件事．(3)合理設(shè)計步驟、順序，使各步互不干擾，還要注意元素是否可以重復(fù)選擇．

[對點(diǎn)訓(xùn)練]1．從2，3，4，5，6，7，8，9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為(

)A．56 B．54C．53 D．52解析：在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)共有8×7＝56(個)對數(shù)值，但在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52(個).D2．從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中任選3個組成三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為________．解析：按個位數(shù)字是否為0進(jìn)行分類，因?yàn)?不能排在首位．若0在個位，則十位數(shù)字有4種排法，百位數(shù)字有3種排法，共有4×3＝12(種).若2或4在個位，個位數(shù)字有2種排法，再分類，若0在十位，則百位數(shù)字有3種排法．若0不在十位，十位數(shù)字有3種排法，百位數(shù)字有2種排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18(種)，故總共有12＋18＝30(種)排法．答案：30[典例剖析]類型1相鄰問題[例1]

(2021·廣東揭陽模擬)某班星期一上午安排5節(jié)課，若數(shù)學(xué)2節(jié)，語文、物理、化學(xué)各1節(jié)，且物理、化學(xué)不相鄰，2節(jié)數(shù)學(xué)相鄰，則星期一上午不同課程安排種數(shù)為(

)A．6 B．12C．24 D．48B類型2定序問題[例2]

(2020·山東濟(jì)南模擬)航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進(jìn)行標(biāo)號為0，1，2，3，4，5的六項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，向全世界人民普及太空知識，其中0號實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，最后一項(xiàng)的標(biāo)號小于它前面相鄰一項(xiàng)的標(biāo)號，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法種數(shù)為________(用數(shù)字作答).300類型3相間問題[例3]某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(

)A．72 B．120C．144 D．168B類型4特殊元素問題[例4]

6名同學(xué)排成1排照相，要求同學(xué)甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有________種不同站法．480方法總結(jié)有限制條件的排列問題的解題方法方法解讀適合題型優(yōu)先法對問題中的特殊元素或位置首先進(jìn)行排列，然后排列其他一般元素或位置題設(shè)有“在”或“不在”等限制條件捆綁法在特定條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整個問題排好之后再考慮它們“內(nèi)部”的排列數(shù)相鄰問題插空法先把不受限制元素排列好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空隙當(dāng)中不相鄰問題縮倍法在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題，這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便規(guī)定某幾個元素順序固定間接法當(dāng)正面問題分的類較多，而反面問題分的類較少時，不妨改變思維方向，即從結(jié)論或條件的反面進(jìn)行思考，這種方法稱為“間接法”有“至多”“至少”等條件限制續(xù)表先取后排法解決從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，先取后排法解決選排問題的關(guān)鍵在于明確選排的要求選排問題續(xù)表

[題組突破]1．(2021·河北衡水冀州中學(xué)模擬)將A，B，C，D，E五種不同的文件放入編號依次為1，2，3，4，5，6，7的七個抽屜內(nèi)，每個抽屜至多放一種文件．若文件A，B必須放入相鄰的抽屜內(nèi)，文件C，D也必須放入相鄰的抽屜內(nèi)，則所有不同的放法有(

)A．120種 B．210種C．420種D．240種D2．把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．答案：36

[典例剖析]類型1簡單的組合問題[例1]

2021年元旦假期，高一年級的8名同學(xué)拼車去敬老院宣傳垃圾分類活動，其中一班、二班、三班、四班每班各兩名，分乘甲乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置)，其中一班兩名同學(xué)是孿生姐妹，需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一個班的乘坐方式共有(

)A．18種B．24種 C．48種 D．36種B類型2簡單的組合與排列混合問題[例2]

(2020·江西紅色七校第二次聯(lián)考)某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項(xiàng)目，且在同一個城市投資的項(xiàng)目不超過2個，則該外商不同的投資方案有________種．答案：60

類型3不同元素分組、分配問題[例3]

(2020·高考全國卷Ⅰ)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有(

)A．120種 B．90種C．60種 D．30種C方法總結(jié)“分組分配”問題的解題技巧續(xù)表續(xù)表C2．將2名教師、4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(

)A．12種 B．10種C．9種 D．8種A1．(2020·高考海南卷)要安排3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有(

)A．2種 B．3種 C．6種