高考2023人教A版高中數(shù)學(xué)變式題6

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第六章計(jì)數(shù)原理

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

例1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感

興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表6.1-1.

表6.1-1

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

分析：要完成的事情是“選一個專業(yè)”因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所,

而且只能選擇一個專業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)

數(shù)原理的條件.

解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在

B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆]有一個強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分

類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)

N=5+4=9.

例2某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級參加比賽，

共有多少種不同的選法？

分析：要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個步驟：第1步，選男生;

第2步：選女生.

解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選

出1人，有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)

W=30x24=720.

例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層

放有2本不同的體育書.

（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法？

（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？

分析：（1）要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層

中取三類方案；（2）要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，

可以分三個步驟完成.

解：（1）從書架上任取1本書，有三類方案：第I類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書,

有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3

層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)

N=4+3+2=9.

(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個步驟完成：第1步，

從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；

第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種

數(shù)

N=4x3x2=24.

練習(xí)

1.填空題

(1)一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用

第2種方法完成，從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是:

(2)從A村去8村的道路有3條，從8村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，

不同路線的條數(shù)是.

【答案】96

【分析】(1)用加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可；

(2)用乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)橐豁?xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有

4人只會用第2種方法完成，所以從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是：

5+4=9；

(2)因?yàn)閺腁村去B村的道路有3條，從8村去C村的道路有2條，所以從4村經(jīng)B

村去C村，不同路線的條數(shù)是：3X2=6,

故答案為：9；6

2.在例I中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，那么A大學(xué)共有6個專業(yè)可以選擇，

B大學(xué)共有4個專業(yè)可以選擇，應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇

種數(shù)為6+4=10.這種算法有什么問題？

2.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，有多少種不同的取法？

【答案】(1)11種;(2)30種；

【分析】(1)按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；

(2)按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；

【詳解】解：書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.

試卷第2頁，共14頁

(1)從書架上任取1本書，則有6+5=11種取法；

(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，則有6x5=30種取法；

3.現(xiàn)有高一年級的學(xué)生3名，高二年級的學(xué)生5名，高三年級的學(xué)生4名.

(1)從三個年級的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

(2)從三個年級的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？

【答案】(1)12；(2)60.

【分析】(1)由分類加法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算即可得解；

(2)由分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算即可得解.

【詳解】從高一年級的學(xué)生中選取1名，有3種選法；從高二年級的學(xué)生中選取1名，

有5種選法；從高三年級的學(xué)生中選取1名，有4種選法；

(1)從三個年級的學(xué)生中任選1人參加活動，共有3+5+4=12種不同選法；

(2)從三個年級的學(xué)生中各選1人參加活動，共有3X5X4=60種不同選法.

例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，

共有多少種不同的掛法？

分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上“；可以分

步完成.

解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從

3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法：第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右

邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理.不同掛法的種數(shù)

N=3X2=6.

6種掛法如圖6.1-2所示.

左邊右邊得到的掛法

左甲右乙

左甲右丙

左乙右甲

左乙右丙

左丙右甲

左丙右乙

圖6.1-2

例5給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A?G或U?Z,后

兩個字符要求用數(shù)字1-9,最多可以給多少個程序模塊命名？

分析：要完成的一件事是“給一個程序模塊命名”，可以分三個步驟完成：第1步，選首

字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符.而首字符又可以分為兩類.

解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為

7+6=13.

后兩個字符從1?9中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是

13x9x9=1053,

即最多可以給1053個程序模塊命名.

例6電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易

控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二

進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用1個或多個

字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計(jì)量單位，每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位

構(gòu)成.

（1）1個字節(jié)（8位），最多可以表示多少個不同的字符？

（2）計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進(jìn)行

編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？

分析：（1）要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進(jìn)制型上的數(shù)字”.由于每個字節(jié)有8

個二進(jìn)制位，每位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此

可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）只要計(jì)算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于

6763個即可.

解：（1）用圖6.1-3表示1個字節(jié).

第1位第2位第3位第8位

ttI1

2種2種2種2種

圖6.1-3

1個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，1個字節(jié)最多可以表

示不同字符的個數(shù)是

2x2x2x2x2x2x2x2=2'=256.

（2）由（1）知，1個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們考慮2個字節(jié)能夠

表示多少個字符.前1個字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個字節(jié)也有256種表示方

法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示不同字符的個數(shù)是

256x256=65536.

這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個數(shù)6763.因此要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字

至少要用2個字節(jié)表示.

試卷第4頁，共14頁

練習(xí)

4.某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由8位數(shù)字組成，其中前4位的數(shù)字是不變的，后

4位數(shù)字都是0~9之間的一個數(shù)字，這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？

【答案】10000

【分析】后四位數(shù)字都是。到9之間的一個數(shù)字，每一位都有10種選擇方法，根據(jù)分

步計(jì)數(shù)原理可得.

【詳解】解：后四位數(shù)字都是0到9之間的一個數(shù)字，每一位都有10種選擇方法，故

有104=10000個.

故這個電話局不同的電話號碼最多有10000個.

5.從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有多少種不同的選法？

【答案】20種選法

【分析】從5人中依次選出正、副組長，由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】先從5人中選出一名組長，共有5種選法，

再從剩下的4人中選出一名副組長，共有4種選法，

所以從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，共有5x4=20種選法.

6.從1,2,…，19,20中任選一個數(shù)作被減數(shù)，再從1,2,10中任選一個數(shù)作

減數(shù)，然后寫成一個減法算式，共可得到多少個不同的算式？

【答案】200

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理直接求解出不同算式的個數(shù).

【詳解】第一步:從1,2，…,19,20中選一個數(shù)作為被減數(shù),有20種選法；

第二步：從1,2,…,10中選一個數(shù)作為減數(shù)，有10種選法，

所以寫成的減法算式共有：20x10=200個，

故可得200個不同的算式.

7.在1,2,500中，被5除余2的數(shù)共有多少個？

【答案】100

【分析】依題意這些數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)

公式計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)樵?,2,…，500中，被5除余2的數(shù)有2,7,497,

這些數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，設(shè)一個有n個數(shù)，所以497=2+

5(n-l),解得n=100

故共有100個

8.由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個三位數(shù)(各位上的數(shù)字可以重復(fù))？

【答案】125種

【分析】由百位、十位和個位上的數(shù)字均有5種選法，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】由題意，百位、十位和個位上的數(shù)字均有5種選法，

所以由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成5x5x5=125個三位數(shù).

例7計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試.程序員需要知道到底有

多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一

般地，一個程序模塊由許多子模塊組成.如圖6.1-4,這是一個具有許多執(zhí)行路徑的程

序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？

另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個測

試方法，以減少測試次數(shù)嗎？

圖6.1-4

分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2

步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊L子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；

第2步可由子模塊子模塊5中任何一個來完成.因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行

路徑需要用到兩個計(jì)數(shù)原理.

解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為

18+45+28=91；

子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為

38+43=81.

又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為

91x81=7371.

在實(shí)際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正

確的子模塊的方式來測試整個模塊.這樣，他可以先分別單獨(dú)測試5個模塊，以考察每

試卷第6頁，共14頁

個子模塊的工作是否正常.總共需要的測試次數(shù)為

18+45+28+38+43=172.

再測試各個模塊之間的信息交流是否正常,，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第

2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測試次數(shù)為

3x2=6.

如果每個子模塊都工作正常，并且各個子模塊之間的信息交流也正常.那么整個程序模

塊就工作正常.這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?/p>

172+6=178.

顯然，178與7371的差距是非常大的.

例8通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成，第一部分為用漢字表示的省、自

治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文

字母組成的序號(如圖6.1-5).

MAJR005

省、自治區(qū)、庠4

直轄市藺稱

發(fā)牌機(jī)關(guān)代號

圖6.1-5

其中，序號的編碼規(guī)則為：

(1)由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除O,I之外的24個英文字母組成；

(2)最多只能有2個英文字母.

如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號

牌？

分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數(shù)決定了這個發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號牌

數(shù).按序號編碼規(guī)則可知，每個序號中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號分為

三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個

字母的序號分為五個子類，將有2個字母的序號分為十個子類.

解：由號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù).根

據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.

(1)當(dāng)沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字，確定一個序號可以分5個步驟，每一步

都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類號牌張數(shù)

為

10x10x10x10x10=100000.

(2)當(dāng)有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位

或第5位，這類序號可以分為五個子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個字母

中選1個放在第1位T有24種選法；第2~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應(yīng)的位

置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號牌張數(shù)為

24x10x10x10x10=240000.

同樣，其余四個子類號牌也各有240000張.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理；這類號牌張數(shù)，共為

240000+240000+240000+240000+240000=1200000.

(3)當(dāng)有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可以將這類序號分為十個子

類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和

第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4

位和第5位.

當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1?2步都

是從24個字母中選1個分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3?5步都是從

10個數(shù)字中選1個放在相流的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號牌張

數(shù)為

24x24x10x10x10=576000,

同樣，其余九個子類號牌也各有576000張.

于是，這類號牌張數(shù)一共為

576000x10=5760000.

綜合(1)(2)(3),根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)

為

100000+1200000+5760000=7060000.

練習(xí)

9.乘積(a1++。3)(瓦+匕2+^3)(C1++C3+C4+，5)展開后共有多少項(xiàng)?

【答案】45項(xiàng)

【分析】由多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，(%+a2+。3)(瓦+b2+Z>3)(Q+C2+C3+C4+C5)展

開后每一項(xiàng)均是從(%+a2+。3)，(瓦+b2+月),(G+c2+c3+c4+C5)中各取1項(xiàng)

相乘得到，

試卷第8頁，共14頁

所以展開后的項(xiàng)數(shù)為3x3x5=45項(xiàng).

10.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個？

【答案】45

【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理分別考慮當(dāng)十位是1,234,5,6,7,8,9時滿足要求的兩位數(shù)

的個數(shù)，將所得兩位數(shù)的個數(shù)相加即可求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)十位是1時，個位可以是0,共1個

當(dāng)十位是2時，個位可以是0,1,共2個,

當(dāng)十位是3時，個位可以是0,1,2,共3個，

當(dāng)十位是4時，個位可以是0,1,2,3,共4個,

當(dāng)十位是5時，個位可以是0,1,234,共5個，

當(dāng)十位是6時，個位可以是0,1,2,3,4,5,共6個,

當(dāng)十位是7時，個位可以是0,1,2,3,4,5,6,共7個，

當(dāng)十位是8時，個位可以是0,1,2,3,4,5,6,7,共8個，

當(dāng)十位是9時，個位可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,共9個,

所以符合要求的兩位數(shù)一共有：1+2+3+…+9=詈=45個，

故個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)有45個.

11.某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進(jìn)入商場，并且要求從其他的門出

去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場的方式？

【答案】30

【分析】由于某人從其中的任意一個門進(jìn)入商場，因此從6個門中任選一個可有/種不

同的方法，要求從其他的剩余的5個門出去，可有瑪種不同的方法，再利用乘法原理即

可得出.

【詳解】解：由題意可得：共有盤xC」=30種不同的進(jìn)出商場的方式，

故有30種不同的進(jìn)出商場的方式.

12.任意畫一條直線，在直線上任取”個分點(diǎn).

（1）從這”個分點(diǎn)中任取2個點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段？

（2）從這〃個分點(diǎn)中任取2個點(diǎn)形成一個向量，可得到多少個向量？

【答案】（1）竺（2）n（n-l）.

【分析】（1）組合問題；（2）排列問題.

【詳解】（1）因?yàn)榫€段與端點(diǎn)的順序無關(guān)，所以從這n個分點(diǎn)中任取2個點(diǎn)可形成的線

段共盤=誓2條;

(2)因?yàn)橄蛄颗c端點(diǎn)的順序有關(guān)，所以從這n個分點(diǎn)中任取2個點(diǎn)可形成的向量共掰=

n(n-1)個.

習(xí)題6.1

復(fù)習(xí)鞏固

13.一個商店銷售某種型號的電視機(jī)，其中本地的產(chǎn)品有4種，外地的產(chǎn)品有7種.要

買1臺這種型號的電視機(jī)，有多少種不同的選法？

【答案】11種

【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可得解.

【詳解】由題意，購買本地產(chǎn)品的選法有4種，購買外地產(chǎn)品的選法有7種，

所以購買1臺這種型號的電視機(jī)，共有4+7=11種不同的選法.

14.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路,

從丙地到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線？

【答案】14種

【分析】按照甲地經(jīng)乙地到丁地、甲地經(jīng)丙地到丁地分類，結(jié)合分類加法、分步乘法計(jì)

數(shù)原理即可得解.

【詳解】如果由甲地經(jīng)乙地到丁地，則有2x3=6種不同的路線；

如果由甲地經(jīng)丙地到丁地，則有4x2=8種不同的路線；

因此，從甲地到丁地共有6+8=14種不同的路線.

15.如圖，要讓電路從A處到B處接通，可有多少條不同的路徑？

【答案】8條

試卷第10頁，共14頁

【分析】分上線路、中線路、下線路討論，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】如果電路從上線路接通，共有3條路徑；

如果電路從中線路接通，共有1條路徑；

如果電路從下線路接通，共有2x2=4條路徑；

所以要讓電路從A處到B處接通，共有3+1+4=8條不同的路徑.

16.用1,5,9,13中的任意一個數(shù)作分子，4,8,12,16中任意一個數(shù)作分母，可

構(gòu)成多少個不同的分?jǐn)?shù)？可構(gòu)成多少個不同的真分?jǐn)?shù)？

【答案】16個不同的分?jǐn)?shù)；真分?jǐn)?shù)有10個.

【分析】由分子、分母的選擇個數(shù)及分步乘法計(jì)數(shù)原理可得分?jǐn)?shù)的個數(shù)：按照分子取值

分類，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理即可得真分?jǐn)?shù)得個數(shù).

【詳解】從1,5,9,13中的任選一個數(shù)作分子，4,8,12,16中任選一個數(shù)作分母，

可構(gòu)成4x4=16個不同的分?jǐn)?shù)；

由真分?jǐn)?shù)的定義，

①若1為分子，分母有4種選擇；

②若5為分子，分母有3種選擇；

③若9為分子，分母有2種選擇；

④若13為分子，分母有1種選擇；

所以真分?jǐn)?shù)共有4+3+2+1=10個.

17.一個口袋內(nèi)裝有5個小球，另一個口袋內(nèi)裝有6個小球，所有這些小球的顏色互不

相同.從兩個袋子中分別取1個球，共有多少種不同的取法

【答案】30

【分析】分兩步進(jìn)行，兩步的結(jié)果相乘即可求解.

【詳解】解：分兩步進(jìn)行：第一個口袋內(nèi)取一個球有5種取法，另一個口袋內(nèi)取一個球

有6種取法；

從兩個口袋內(nèi)分別取1個小球，共有：5x6=30種取法.

18.(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在4={0,1,2,3,4,5}內(nèi)取值的不同點(diǎn)共

有多少個？

(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，斜率在集合8={135,7}內(nèi)取值，y軸上的截距在集合C=

{2,4,6,8}內(nèi)取值的不同直線共有多少條？

【答案】(1)36；(2)16

【分析】(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，根據(jù)橫，縱分別坐標(biāo)來取值，最后相乘即可.

(2)根據(jù)題意，分析直線的斜率、在y軸上的截距的選法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可

得答案.

【詳解】解：(1)先取橫坐標(biāo)有6種取法；再取縱坐標(biāo)也有6種取法；

故共有6x6=36種結(jié)果；

即對應(yīng)的點(diǎn)有36個.

(2)根據(jù)題意，直線的斜率在集合B={1,3,5,7}內(nèi)取值，有4種情況，

在y軸上的截距在集合C={2,4,6,8}內(nèi)取值，有4種情況，

則直線有4x4=16條.

綜合運(yùn)用

19.一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有0~9共10個數(shù)字.現(xiàn)最后一個撥號盤

出現(xiàn)了故障,只能在0~5這6個數(shù)字中撥號，這4個撥號盤可組成多少個四位數(shù)字號碼？

【答案】6000個

【分析】由每個撥號盤可選的數(shù)字個數(shù)結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】前3個撥號盤均有10個數(shù)字可選，第4個撥號盤有6個數(shù)字可選，

所以這4個撥號盤可組成10x10x10x6=6000個四位數(shù)字號碼.

20.(1)4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一

個運(yùn)動隊(duì)不同報(bào)法的種數(shù)是3,還是43?

(2)3個班分別從5個景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是35還是53?

【答案】⑴3%(2)53.

【分析】(1)讓4名同學(xué)去選擇運(yùn)動隊(duì)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解；

(2)讓3個班去選擇景點(diǎn)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.

【詳解】(1)讓4名同學(xué)去選擇運(yùn)動隊(duì)，每人均有3種選擇，

所以不同報(bào)法的種數(shù)為3x3x3x3=3t

(2)讓3個班去選擇景點(diǎn)，每個班有5種選擇，

所以不同選法的種數(shù)是5x5x5=53.

21.(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué)，每人一件，有多少種不同的送法？

(2)有5個編了號的抽屜，要放進(jìn)3本不同的書，不同的放法有多少種？(一個抽屜

可放多本書).

【答案】(1)120；(2)125

【分析】(1)直接根據(jù)排列數(shù)計(jì)算可得；

(2)分為①三本書都放入一個抽屜，②三本書放入兩個抽屜，③三本書放入三個抽屜，

三種情況討論，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；

【詳解懈：(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué)，每人一件,則共有用=120

試卷第12頁，共14頁

種方法；

(2)有5個編