高思奧數(shù)導(dǎo)引小學(xué)五年級含詳解答案第10講：幾何計數(shù)

第10講：幾何計數(shù)

內(nèi)容概述

合理使用各種已學(xué)的計數(shù)方法來解決幾何計數(shù)問題；學(xué)會利用圖形的位置和形狀進行恰當(dāng)?shù)?/p>

分類；掌握方格表中長方形個數(shù)的計算方法；注意利用圖形的對稱性來簡化計算。

典型問題

興趣篇

1.如圖10-1,線段A8、BC、CD、DE'的長度都是3厘米。請問：圖中一共有多少條線段?

這些線段的長度之和是多少厘米？

3厘米3厘米3厘米3厘米

BCDE

圖10-1圖10-2

2.小明把巧克力棒擺成了如圖10-2所示的形狀，其中每一條小短邊代表一個巧克力棒。請

問：

(1)一共有多少個巧克力棒？

(2)這些巧克力棒共構(gòu)成了多少個三角形？

(3)嘴饞的小明吃掉一個巧克力棒后(圖中兩端帶有小箭頭的小邊)，剩下的圖形中還有多

少個三角形？

3.如圖10-3,它是由18個大小相同的小正三角形拼成的四邊形，基中某些相鄰的小正三角

形可以拼成較大的正三角形。圖中包含“*”的各種大小的正三角形一共有多少個？

4.如圖10-4和10-5,數(shù)一數(shù)，兩個圖形中分別有多少個三角形？

5.如圖10-6,在一個4*4的方格表中，共有多少個正方形?

圖10-6圖10-7

6.如圖10-7,數(shù)一數(shù)圖中共有多少線線段？多少個矩形?

7.如圖10-8,AB.CD、EF、MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少？

8.如圖10-9,125個黑色與白色小立方體相間排列拼成了一個大立方體，其中露在表面上的

黑色小立方體有多少個？

9如圖10-10,木板上釘著12枚釘子，排成三行四列的長方陣。用橡皮筋一共可以套出多少

個不同的三角形？

10.如圖10-11,在2x3的長方形中，每個小正方形的面積都1。請問：AB、C、D、E、尸、G

為頂點且面積為1的三角形共有多少個？

拓展篇

1.如圖10-12,數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形?

2.如圖10-13,數(shù)一數(shù)下面的三個圖形中分別有多少個三角形。

3.如圖10-14,數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形?

圖10-15

4.如圖10-15,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個長方形？（正方形是一種特殊的長方形）

DA

5.如圖10-16,四條邊長度都相等的四邊形稱為菱形。用16個同樣大小的菱形組成如圖的一

個大菱形。數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個菱形？

6.如圖10-17,這是一個長為9,寬為4的網(wǎng)格，每一個小格都是一個正方形。請問:

(1)從中可以數(shù)出多個長方形？

(2)從中可以數(shù)出包含黑點的長方形有多少個？

7.如圖10-18,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個長方形?

圖10-19

8.如圖10-19,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個平行四邊形？

C

DB

9.如圖10-20,18個大小相同的小正三角形拼成了一個平行四邊形。數(shù)一數(shù)，圖中共有多少

個梯形？

10.如圖10-21,方格紙上放了20枚棋子，以這些棋子為頂點，可以連出多少個正方形？

11.一個平面封閉圖形，只要組成它的邊中有一條邊不是直線段，就將這個圖形稱為曲邊形,

例如圓、半圓、扇形等都是曲邊形。在圖10-22中，共有多少個不同的曲邊形？

12.如圖10-23,一個2x3的網(wǎng)格中，每個小正方形的面積都是1。以這些格點為頂點，可以

連成多少個面積為1的三角形？

超越篇

1.圖10-24是一個等邊三角形的點陣。以這些點為頂點，可以畫出多少個等腰三角形(包括

等邊三角形)？

2.如圖10-25,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形？

圖10-24

3.如圖10-26,這是一個4x8的矩形網(wǎng)格，每一個小格都是一個小正方形。請問:

(1)包含有兩個“★”的矩形共有多少個？

(2)至少包含一個“★”的矩形有多少個？

4.如圖10-27,在圖中的3x3正方形格子中，格線的交點稱為格點。例如：A,B,C這3個點

都是格點。那么，以格點為頂點，且完全覆蓋了陰影部分小方格的三角形共有多少個？

5.如圖10-28,用12個點將圓周12等分。以這些點為頂點的梯形共有多少個?

6.一個平面封閉圖形，只要組成它的邊中有一條邊不是直線段，就將這個圖形稱為曲邊形,

例如圓、半圓、扇形等都是曲邊形。在圖10-29中，共有多少個不同的曲邊形？

圖10-29圖10-30

7.如圖10-30,木板上釘著16枚釘子，排成四行四列的方陣。用橡皮筋一共可以套出多少個

不同的等腰三角形？

8.如圖10-31,在3x3的方格表內(nèi)，每個小正方形的面積為1。請問:

(1)以格點為頂點共可以連出多少個面積為4的三角形？

(2)以格點為頂點共可以連出多少個面積為3的三角形？

⑶以格點為頂點共可以連出多少個面積為1.5的三角形？

圖10-31

第10講：幾何計數(shù)

內(nèi)容概述

合理使用各種已學(xué)的計數(shù)方法來解決幾何計數(shù)問題；學(xué)會利用圖形的位置和形狀進行恰當(dāng)?shù)?/p>

分類；掌握方格表中長方形個數(shù)的計算方法；注意利用圖形的對稱性來簡化計算。

典型問題

興趣篇

1.如圖10-1,線段⑷?、BC、CD、￡>￡:的長度都是3厘米。請問：圖中一共有多少條線段？

這些線段的長度之和是多少厘米？

3厘米3厘米3厘米3厘米

RCDE

圖10-1圖10-2

【詳解】圖中一共有C；=10條線段。長度之和為（4xl+3x2+2x3+lx4）x3=60厘米。

2.小明把巧克力棒擺成了如圖10-2所示的形狀，其中每一條小短邊代表一個巧克力棒。請

問：

（1）一共有多少個巧克力棒？

（2）這些巧克力棒共構(gòu)成了多少個三角形？

（3）嘴饞的小明吃掉一個巧克力棒后（圖中兩端帶有小箭頭的小邊），剩下的圖形中還有多

少個三角形？

【詳解】（1）一共有30個巧克力棒；（2）由1個三角形組成的有16個三角形，由4個三南

形組成的有7個三角形，由9三角形組成的有3個三角形，由16個三角形組成的三

角形有1個。所以總共有16+7+3+1=27個。（3）一共有5個三角形的邊用到了這

根巧克力棒，所以剩下的圖形中還有27-5=22個三角形。

3.如圖10-3,它是由18個大小相同的小正三角形拼成的四邊形，基中某些相鄰的小正三角

形可以拼成較大的正三角形。圖中包含“*”的各種大小的正三角形一共有多少個？

【詳解】只觀察包含“*”的各種大小的正三角形。由1個三角形組成的有1個，由4個三角

形組成的有4個，由9個三角形組成的有1個。那么總共有1+4+1=6個。

4.如圖104和10-5,數(shù)一數(shù)，兩個圖形中分別有多少個三角形？

【詳解】圖10-4中不包含中間的線的有5個三角形，加上中間那條線多了7個三角形，所

以一共5+7=12個。圖10-5中先觀察形如下圖1的形狀的三角形有5個，總共是

5x4=20個，再數(shù)該形狀之間的交叉的三角形有4個，再數(shù)下圖2的三角形有4個，

再教它們互相交叉的三角形有4個，所以總共有20+4+4+4=32個。

5.如圖10-6,在一個4x4的方格表中，共有多少個正方形?

圖10-6圖10-7

【詳解】先數(shù)面積為1的有16個，再數(shù)面積為4的有9個，再數(shù)面積為9的有4個，再數(shù)

面積為16的有1個，總共有16+9+4+1=30個。

6.如圖10-7,數(shù)一數(shù)圖中共有多少線線段？多少個矩形？

【詳解】線段：水平方向有4xC；=40條線段，豎直方向有5xC：=30條線段，總共有

40+30=70條線段。矩形：水平方向選兩條線，豎直方向選兩條線即可以組成矩形

共有C；C：=60個矩形。

7.如圖10-8,AB.CD、EF、MV互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少？

【詳解】梯形的個數(shù)為=60個，三角形的個數(shù)為4xC；=40個，它們的差為20個。

8.如圖10-9,125個黑色與白色小立方體相間排列拼成了一個大立方體，其中露在表面上的

黑色小立方體有多少個？

【詳解】每條棱上都有兩個小立方體共12條棱,一共有2x12=24個，每一個面上除了棱

有4個小立方體，一共有4x6=24個?？偣灿?4+24=48個。

圖10-9圖10-10

9如圖10-10,木板上釘著12枚釘子，排成三行四列的長方陣。用橡皮筋一共可以套出多少

個不同的三角形？

【詳解】從12個釘子中選擇3個釘子組成三角形，一共有=220個，但是有3個點在同

一條直線上的情況，需要排除，水平方向共有3xC：=12個，豎直方向有1x4=4個,

斜著有4個，這樣的話總共有220-12-4-4=200個。

10.如圖10-11,在2x3的長方形中，每個小正方形的面積都1。請問：A、B、C、￡＞、E、F、G

為頂點且面積為1的三角形共有多少個？

【詳解】有底為1,高為2的三角形有：

ADEA,拉)EB,AEFRNEFB,AFG4,"GB;MBZ),AABF,AA5G

底為2,高為I的三角形有：ADFC,AEGC。此外還有ABCfAACG。一共14個。

拓展篇

1.如圖10-12,數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形?

【詳解】先數(shù)由1個三角形組成的三角形一共25個，再數(shù)由4個三角形組成的大三角形一

共13個，再數(shù)由9個三角形組成的大三角形一共6個，再數(shù)由16個三角形組成的大

三角形一共3個，再數(shù)由25個三角形組成的大三角形一共1個。所以一共有

25+13+6+3+1=4>個三角形。

2.如圖10-13,數(shù)--數(shù)下面的三個圖形中分別有多少個三角形。

【詳解】（1）圖中有兩個五邊形，對于外圍的五邊形，三角形三個頂點全在外圍五邊形上的

三角形一共有=10個。再看內(nèi)部的五邊形，組成的三角形中其中一個頂點在內(nèi)部

五邊形頂點上，另兩個頂點在外圍五邊形上的三角形一共有4*5=20個。還有5個

三角形屬于有兩個頂點在內(nèi)部五邊形上，另一個頂點在外圍五邊形上。這樣一共有

10+20+5=35個。（2）包含少的那一條線段的三角形的個數(shù)一共有6個，這樣的話

三角形的總數(shù)為35-6=29個。（3）包含新加線段的三角形左邊右邊各6個，所以

一共有三角形35+2x6=47個。

3.如圖10-14,數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形？

【詳解】如上題，本題應(yīng)該有35x2=70個，但是內(nèi)部五邊形中每一條線又與外部五邊形連

接著3個三角形，這樣的話多出3x5=15個三角形。一共70+15=85個三南形。

4.如圖10-15,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個長方形？（正方形是一種特殊的長方形）

【詳解】諸如像和的長方形一共有12個，再算上底下的長方形一共有15個

長方形，但是還有兩個長方形如下圖長方形43CD和長方形A3FE。一共17個

ED

5.如圖10-16,四條邊長度都相等的四邊形稱為菱形。用16個同樣大小的菱形組成如圖的一

個大菱形。數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個菱形？

【詳解】把這個圖扶正了就相當(dāng)于數(shù)一數(shù)有多少個正方形，先數(shù)一個小正方形組成的，共

16個，再數(shù)4個小正方形組成的，共9個，再數(shù)9個小正方形組成的，共4個，最

后數(shù)16個小正方形組成的，共1個。加起來，一共30個。

6.如圖10-17,這是一個長為9,寬為4的網(wǎng)格，每一個小格都是一個正方形。請問：

（1）從中可以數(shù)出多個長方形？

（2）從中可以數(shù)出包含黑點的長方形有多少個？

【詳解】（1）兩條水平線和兩條豎直的線組成一個長方形，這樣的話就從10條豎直的線中

取兩條，從5條水平的線中取兩條即可，即CjxC；=450個。（2）同樣的道理，兩

條豎直的線應(yīng)該為黑點左邊一條，黑點右邊一條；兩條水平的線應(yīng)該為黑點上邊一

條，黑點下邊一條，即=144個含黑點的長方形。

7.如圖10-18,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個長方形?

圖10-19

【詳解】如圖，下方陰影部分中一共有長方形C：xC：=90個；右方的陰影中一共有長方形

C；xC；=63個。其中右下方3x2長方形中的長方形被重復(fù)計算了，共有C：xC；=18

個。所以圖中一共包含長方形90+63-18=135個。

8.如圖10-19,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個平行四邊形？

【詳解】首先，如下圖，平行四邊形ABCD、平行四邊形ABDE、平行四邊形AFBD是三個方

向上的平行四邊形，又因為整個圖形是一個等邊三角形，由圖形的對稱性，知道

三個方向上的平行四邊形個數(shù)是相等的。

接下來，不妨取與平行四邊形ABCD方向相同的所有平行四邊形為研究對象，分別

延長其四條邊，觀察到各邊的延長線都與大等邊三角形的底邊交于一點?？梢钥?/p>

出，底邊上的4個點可以唯一地確定一個平行四邊形。同時，當(dāng)平行四邊形最靠

下的一個點落在等邊三角形的底邊上時，平行四邊形四條邊的延長線與三角形底

邊只有3個交點，也即底邊上的3個點同樣對應(yīng)一個平行四邊形。因此圖中與ABCD

方向相同的平行四邊形總數(shù)為：C；+C：=15（個）

因此圖中平行四邊形總數(shù)為15x3=45（個）

另一方面，我們也可以這樣考慮：

如果將大三角形再往下延長一層，那么底邊上的點就從5個變成6個。同時，所有

與平行四邊形ABCD方向相同的平行四邊形各邊延長線都會與新的底邊交于4個

點，因此，新的底邊上的四個點的選取方法和原圖中與平行四邊形ABCD方向相同

的平行四邊形是---對應(yīng)的。因此圖中與ABCD方向相同的平行四邊形總數(shù)為：錯

誤!未找到引用源。（個）

9.如圖10-20,18個大小相同的小正三角形拼成了一個平行四邊形。數(shù)一數(shù)，圖中共有多少

個梯形？

【詳解】先把該圖形分成左右兩個完全一樣的部分，任意拿出一部分數(shù)一數(shù)里面有多少個梯

形，我們發(fā)現(xiàn)是18個。總共有18*2=36個。但是中間還有20個梯形同時覆蓋了左

右兩個部分。這樣的話總共有36+20=56個。

總共9+4+2+4+2=21個。

11.一個平面封閉圖形，只要組成它的邊中有一條邊不是直線段，就將這個圖形稱為曲邊形,

例如圓、半圓、扇形等都是曲邊形。在圖10-22中，共有多少個不同的曲邊形？

圖10-22圖10-23

【詳解】五角星把圓分成五段弧，所有的曲邊形按照圓的段數(shù)分，一段弧組成的曲邊形有

5x2=10個，兩段弧組成的曲邊形有=10個，三段弧組成的曲邊形有C：=10個，

四段弧組成的曲邊形有C；=5個，五段弧組成的曲邊形有1個（圓）。綜上，總共

10x3+5+1=36個。

12.如圖10-23,一個2x3的網(wǎng)格中，每個小正方形的面積都是1。以這些格點為頂點，可以

連成多少個面積為1的三角形？

【詳解】如下第一個圖，水平方向底為2,豎直方向高為1的三角形一共有4x8=32個：如

下第二個圖，水平方向高為1,豎直方向底為2的三角形一共有3x6=18個；我們

還漏了幾個，如下第三個圖水平方向底為1,豎直方向高為2而且兩條邊不在格點

圖上的三角形有2x6=12個：如下第四個圖豎直方向底為1,水平方向高為2而且

兩條邊不在格點圖上的三角形有2*4=8個?？偣?2+18+12+8=70個。

超越篇

1.圖10-24是一個等邊三角形的點陣。以這些點為頂點，可以畫出多少個等腰三角形（包括

等邊三角形）？

【詳解】先計算腰的長為1的等腰三角形，一個菱形中有4個，一共有9個菱形，但是重復(fù)

計算了9個，一共4x9-9=27個。再計算腰長為菱形長對角線的等腰三角形，如下

圖1,一共有5個；再計算腰長為2的等腰三角形，一共有3個，再計算腰長為3

的等腰三角形，一共有1個。我們還漏了三個，如下圖2?？偣?7+5+3+1+3=39

個。

2.如圖10-25,數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形？

【詳解】如下圖1,先數(shù)出一共有21個三甬形；如下圖2,再加1條線，多增加21個三角

形；如下圖3,再加I條線，多增加12個三角形；最后再把最后一條線加上，又多

了13個三角形。則總共21+21+12+13=67個三角形。

圖10-24圖10-25

3.如圖10-26,這是一個4x8的矩形網(wǎng)格，每一個小格都是一個小正方形。請問：

（1）包含有兩個“★”的矩形共有多少個？

（2）至少包含一個“★”的矩形有多少個？

【詳解】（1）按照長方形四條邊的選取來計算有cJCGC=30個。

（2）包含左邊的★的長方形有C；C：C：C：=72個，包含右邊的★的長方形有

C：C；C；C；=120個。所以至少包含一個的矩形有120+72—30=162個。

4.如圖10-27,在圖中的3x3正方形格子中，格線的交點稱為格點。例如：A,氏C這3個點

都是格點。那么，以格點為頂點，且完全覆蓋了陰影部分小方格的三角形共有多少個？

【詳解】能覆蓋陰影部分三角形的有三種:

5.如圖10-28,用12個點將圓周12等分。以這些點為頂點的梯形共有多少個？

【詳解】分兩類考慮，首先，如下左圖，連接相鄰兩點作為最短線段作出平行線。

這樣的話共有6條平行線，從中選2條就可以組成梯形，但是其中有3個矩形。

這樣作為一組的話一個圓上共有12個點，每兩個相鄰點就組成一組這樣的平行線，

共有6組（對稱的不算），這樣的話，共有（金-3）x6=72個：

其次，如上右圖，兩點相連（中間隔1點）作為最短線段作出平行線。

跟上一類同樣的接法，共有（《-2）x6=48個。而如果兩點相連（中間隔2）作為

最短線段作出平行線就與第一類情況相同。同樣的道理，隔3個點，隔4個點也

是重復(fù)情況。

綜上，總共有72+48=120個。

6.一個平面封閉圖形，只要組成它的邊中有一條邊不是直線段，就將這個圖形稱為曲邊形,

例如圓、半圓、扇形等都是曲邊形。在圖10-29中，共有多少個不同的曲邊形？

【詳解】(1)包含90。的弧的有：

，，，，，，

各有4個,總共4*8=3'2個。

(2)包含180。的弧的有：

，，，(2

各4個，共16個

，，各2個，共6個。

(［3)包含270。的弧的二有：

,、一--/各4個，共8個

(4)包含360。的弧的有1個。

所以一共32+16+6+8+1=63個。

???

???

???

???

圖10-29圖10-30

7.如圖10-30,木板上釘著16枚釘子，排成四行四列的方陣.用橡皮筋一共可以套出多少個

不同的等腰三角形？

這樣的等腰三角形有9x4=36個;

這樣的等腰三角形有24個;

這樣的等腰三角形有16個;