初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽定理大全+圓+二次函數(shù)奧數(shù)題+分類(lèi)競(jìng)賽試題集

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽定理大全+初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)（圓）

+二次函數(shù)奧數(shù)題+分類(lèi)競(jìng)賽試題集

歐拉（Euler）線:

同一三角形的垂心、重心、外心三點(diǎn)共線，這條直線稱(chēng)為三角

形的歐拉線;

且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半。

外心重心重心垂心

2.00厘米4.00厘米

九點(diǎn)圓：

任意三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足及三頂點(diǎn)與垂心間線段的中點(diǎn)，共九個(gè)

點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱(chēng)為三角形的九點(diǎn)圓;

其圓心為三角形外心與垂心所連線段的中點(diǎn)，其半徑等于三角形外接圓半徑

的一半。

OA=1.07厘米

OB=1.07厘米

0Kl=2.43厘米

BD=4.87厘米

費(fèi)爾馬點(diǎn)：

已知P為銳角4ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)NAPB=NBPC=NCPA=120°時(shí),

PA+PB+PC的值最小，這個(gè)點(diǎn)P稱(chēng)為4ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)。

BP+CP+APBE+CE+AE

1090厘米11.51厘米

BE=3.45厘米

ZBPC=120°CE=5.00厘米

APA=72。°AE=3.06厘米

ZAPB=120°BP=4.93厘米

CP=3.63厘米

AP=2.33厘米

海倫(Heron)公式:

海倫(Heron)公式：

1

在△ABC中，邊8C、CA.AB的長(zhǎng)分別為a、b,c,若p=,(a+b+c),

則△ABC的面積S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)

k

AB=4.00厘米/

BC=6.Q9厘米/

1CA=5Q0厘米/

—■(AB+BC+CA)=7.54厘米BDC

厘米

p=7.54AD=3.27厘米

1c

~Jp(p-AB)(p-BC)-(p-CA)=9.94厘米《?BUAD=994厘米

塞瓦(Ceva)定理：

在AABC中，過(guò)^ABC的頂點(diǎn)作相交于一點(diǎn)P的直線,分別

交邊BC、CA、AB與點(diǎn)D、E、F,貝U(BD/DC)?(CE/EA)?(AF/FB)=1；其逆亦真。

A

EAJ(FB^100

4.10厘米

3.79厘米

2.73厘米

BDQ曰=2.80厘米

AF=3.41厘米

FB=3.60厘米

密格爾(Miquel)點(diǎn):

若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn),

構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是^ABF、AAED.ABCE.ADCF,

則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為密格爾點(diǎn)。

葛爾剛（Gergonne）點(diǎn):

△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F,

則AE、BF、CD三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為葛爾剛點(diǎn)。

西摩松(Simson)線:

已知P為AABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PD_L.BGPE±ACPF±AB,D、

E、F為垂足，

則D、E、F三點(diǎn)共線，這條直線叫做西摩松線。

黃金分割：

把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)

與較小線段(BC)的比例中項(xiàng)，這樣的分割稱(chēng)為黃金分割。

AC2=14.0厘米

C

CBAB=14.0厘米

AB

帕普斯(Pappus)定理：

已知點(diǎn)Ai、A2、A3在直線11上，已知點(diǎn)Bi、B2、B3在直線12上，

且AiB2與A2B1交于點(diǎn)X,A1B3與A3B1交于點(diǎn)Y,A2B3于A3

B2交于

點(diǎn)Z,則X、Y、Z三點(diǎn)共線。

笛沙格(Desargues)定理：

已知在△ABC與△ABC'中，AA'、BB'、CC'三線相交于點(diǎn)0,

BC與B'C'、CA與CA'、AB與A'B'分別相交于點(diǎn)X、Y、Z,則X、Y、

Z三點(diǎn)共線；其逆亦真

摩萊(Morlev)三角形:

在已知aABC三內(nèi)角的三等分線中，分別與BC、CA、AB相鄰的每?jī)?/p>

線相交于點(diǎn)D、E、F,則ADEF是正三角形,

這個(gè)正三角形稱(chēng)為摩萊三角形。

DE=1.24厘米

EF=1.24厘米

FD=1.24厘米

帕斯卡（Paskal）定理：

已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,邊BC、EF

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,邊CD、FA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,則H、G、K三點(diǎn)共線。

托勒密（Ptolemy）定理：

在圓內(nèi)接四邊形中,AB?CD+AD?BC=AC?BD

（任意四邊形都可！哇哈哈）

斯圖爾特（Stewart）定理：

設(shè)P為△ABC邊BC上一點(diǎn)，且BP：PC=n：m,則

m?(AB2)+n?(AC2)=m?(BP2)+n?(PC2)+(m+n)(AP2)

PCAB2+BPAC2=310,87厘米

PCBP2+BPPC2+(BP+PCj-AP2=310.87厘米

BP=3.69厘米

PC=4.35厘米

AB=4.57厘米

AC=7.72厘米

AP=4.75厘米

梅內(nèi)勞斯定理：

在^ABC中，若在BC、CA'AB或其延長(zhǎng)線上被同一條直線

截于點(diǎn)X、Y、Z，則(BX/XC)?(CY/YA)?(AZ/ZB)=1

阿波羅尼斯(Apollonius)圓

一動(dòng)點(diǎn)p與兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比m:n，則點(diǎn)p的軌跡，是以定比m:n內(nèi)分和外

分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓被稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)“阿氏圓

布拉美古塔(Brahmagiipta)定理：

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC-1-BD,自對(duì)角線的交點(diǎn)p向一邊作垂線，其延長(zhǎng)線必平分對(duì)

邊。

廣勾股定理：

在任一三角形中,

(1)銳角對(duì)邊的平方，等于兩夾邊之平方和，減去某夾邊和另一夾邊在此邊上的影射乘積的

兩倍.

(2)鈍角對(duì)邊的平方，等于兩夾邊的平方和，加上某夾邊與另一夾邊在此邊延長(zhǎng)上的影射垂

積的兩倍.

加法原理:

做一件事情，完成它有N類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有Ml種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有M2

種不同的方法，……，在第N類(lèi)辦法中有M(N)種不同的方法，那么完成這件事情共有

M1+M2+...+M(N)種不同的方法。

比如說(shuō)：從北京到上海有3種方法可以直接到達(dá)上海，

1：火車(chē)ki

2：飛機(jī)k2

3：輪船k3,那么從北京-上海的方法N=ki+k2+k3

乘法原理:

做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，

做第一步有ml種不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，...，做第n步有m,n不同的方法.那么完成這件事共有N=ml*m2-mS-mn

種不同的方法.

正弦定理

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一個(gè)三角形中是恒量，是此三角形外接圓的直徑)

這一定理對(duì)于任意三角形ABC,都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為三角形外接圓半徑)

余弦定理：

對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的兩倍積，

若三邊為a,b,c三角為A,B,C,則滿足性質(zhì)：

a2=b2+c2-2bc?CosA

b2=a2+c2~2ac?CosB

c2=a2+b2-2ab?CosC

CosC=(a2+b2-c2)/2ab

CosB=(a2+c2-b2)/2ac

CosA=(c2+b2~a2)/2bc

解析幾何中的基本公式

1、兩點(diǎn)間距離：若A(X|,y),B(X2，y2)，則.目=_2了+(當(dāng)—必產(chǎn)

2、平行線間距離：若I1：Ax+By+G=O,12:Ax+By+C2=0

,Icy

則：d=.=

JA2+B2

注意點(diǎn)：x,y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。

3、點(diǎn)到直線的距離：P(xo,yJ,1:Ax+By+C=0

AX+By

則P至心的距離為：d=l；°

7A2+B2

4、直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式：v丫=kx+b

[F(x,y)=0

消y：ax2+bx+c=0,務(wù)必注意△>().

若I與曲線交于A(X1,y]),B(x2,y2)

22

則：|A^=7(1+^)(X2-X,)

5、若人區(qū),必),8。2，%)，P(X，y)。P在直線AB上，且P分有向線段AB所成的比為九,

工二3+“

'2

,特別地：入=1時(shí)，P為AB中點(diǎn)且，

2

變形后：入=二二或九=匕二

6、若直線11的斜率為ki，直線12的斜率為k2，則11到12的角為a,aw(0,7i)

適用范圍：％,k2都存在且,tana=￡^

1+

若li與L的夾角為0,則tane=20e(O,-]

l+Z/22~

注意：(1)11到12的角，指從h按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到b所成的角，范圍(0,兀)

11到L的夾角：指限L相交所成的銳角或直角。

(2)132時(shí),夾角、到角=工。

2

(3)當(dāng)11與12中有一條不存在斜率時(shí)，畫(huà)圖，求到角或夾角。

7、(1)傾斜角a,ae(0,7i)；

(2)W/夾角。，0e[O,兀];

(3)直線I與平面a的夾角p,pe[O,^];

(4)li與b的夾角為。，0G[O,-],其中Il〃l2時(shí)夾角。=0;

(5)二面角。，ae(0,7i]；

(6)<到<的角到0e(0,兀)

8、直線的傾斜角a與斜率k的關(guān)系

a)每一條直線都有傾斜角a,但不一定有斜率。

b)若直線存在斜率k,而傾斜角為a,

9、直線11與直線12的的平行與垂直

(1)若11，12均存在斜率且不重合:①I(mǎi)1//I20ki=k2

②IIL2=kik2=~1

I:

(2)若A[X+5]y+G=。，I2：A2x+B2y-vC1=0

若Ai、A?、Bi、B2都不為零

①ii//i2=a=^^G；

A2B2C2

②I1J_I2=A1A2+B1B2=O；

③11與12相交OaH之

&B2

④li與I2重合。2=旦=邑；

A2B2C2

注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與*0的情況。

10、直線方程的五種形式

名稱(chēng)方程注意點(diǎn)

斜截式：y=kx+b應(yīng)分①斜率不存在

②斜率存在

點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-xo)(1)斜率不存在：X=XQ

(2)斜率存在時(shí)為y-乂=

兩點(diǎn)式：上二江=二五

>2一M々一七

截距式：匹+上=1其中I交X軸于(a,0),交y軸于(0,3當(dāng)直線I在

ab

坐標(biāo)軸上，截距相等時(shí)應(yīng)分：

(1)截距=0設(shè)丫=1?

(2)截距=。。0設(shè)2+?=1

aa

即x+y二〃

一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同時(shí)為零)

11、直線Ax+By+C=0與圓(x—〃)2+(y-h)2=r2的位置關(guān)系有三種

\Aci+Bb-\-Cl

右d=--,J>r<=>相離<=>A<0

J=r<=>木目切=△=0

J<r<=>相交<=>A>0

13、圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)

(一)橢圓

定義I：若Fl，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且忸制+|尸閭=勿>閨閭"為常數(shù)）則P點(diǎn)的軌跡

是橢圓。

定義II：若Fi為定點(diǎn)，I為定直線，動(dòng)點(diǎn)P到Fi的距離與到定直線I的距離之比為常數(shù)e（0<e<l）,

則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。

標(biāo)準(zhǔn)方程：—y+=1（a>b>0）

ab~

定義域：{A|-a<x<a}{A|—Z?<y<b]

長(zhǎng)軸長(zhǎng)二2a，短軸長(zhǎng)=2b

焦距：2c

a2

準(zhǔn)線方程：九=±——

c

22

焦半徑：戶用=e（x+J）,\PF2\=e（---x）,

（注意涉及焦半徑①用點(diǎn)P坐標(biāo)表示，②第一定

\PF\=2a-\PF^,a-c<\PFt\<a+c^

義。）

注意：（1）圖中線段的幾何特征：周=[4閭=,一c,同聞=|4用=。+。

也用=|4因=）/+〃等等。頂點(diǎn)與準(zhǔn)線距離、焦點(diǎn)

與準(zhǔn)線距離分別與a,6,c有關(guān)。

（2）APF心中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段|p用、歸用、2C,有關(guān)角/我建工

結(jié)合起來(lái)，建立歸制+|P用、|P制?等關(guān)系

\PF2\

Y—/7COSA

（3）橢圓上的點(diǎn)有時(shí)常用到三角換元：.：

j=osin0

（4）注意題目中橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，請(qǐng)補(bǔ)充當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，其相應(yīng)的性質(zhì)。

二、雙曲線

（一）定義：I若Fi，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，歸-儼周=2“<忻用為常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙

曲線。

II若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線I的距離之比是常數(shù)e（e>l）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲

線。

（二）圖形：

三)性質(zhì)

2222

方程：二一4=13>0力>0)、一二=1(。>0,。>0)

abab

定義域：{^x>d^bc<a};值域?yàn)镽;

實(shí)軸長(zhǎng)=2〃，虛軸長(zhǎng)=2b

焦距：2c

a2

準(zhǔn)線方程：x=±~

22

焦半徑：|P￡|=e(x+?)，\PF2\=e(^--x),歸國(guó)-歸閭|=2a；

注意：(1)圖中線段的幾何特征:\AF\=\BF^=c-a,\AF2\=\BFt\=a+c

2222

頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：a-—^a+—；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：J或c+J倆準(zhǔn)線間的距離

CCCC

_2a2

=v

(2)若雙曲線方程為=漸近線方程：4-4=0=>y^x

abab~a

22

若漸近線方程為>=±?》=>±±2=0=雙曲線可設(shè)為「-二=九

aaba21r

2222

若雙曲線與二-與"=1有公共漸近線，可設(shè)為4=九

ab~ab~

(九>0,焦點(diǎn)在X軸上，X<0,焦點(diǎn)在y軸上)

（3）特別地當(dāng)。=匕時(shí)o離心率e=V^o兩漸近線互相垂直，分別為y=±x,此時(shí)雙曲線為

等軸雙曲線，可設(shè)為/一y2=九；

（4）注意△/小△中結(jié)合定義歸4Hp司|=2。與余弦定理cosN￡P(guān)G，將有關(guān)線段|P片、

|P國(guó)、忻尸2|和角結(jié)合起來(lái)。

二、拋物線

（-）定義：到定點(diǎn)F與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。

即：到定點(diǎn)F的距離與到定直線I的距離之比是常數(shù)e（e=l）o

（二）圖形：

（三）性質(zhì)：方程：y2=2px,（p>0）,p——焦參數(shù)；

焦點(diǎn)：（-^,0）,通徑|Aq=2p；

準(zhǔn)線：x=—3；

2

焦半徑：|CF|=X。+g過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|C￡）|=X]+y+X2+y=X1+X2+p

注意：（1）幾何特征：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離=]；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=〃；通徑長(zhǎng)=2p

頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)。

2

（2）拋物線V=2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P（工,％）或P（2p/,2/”）或P（x。,y.洪中貨=2px。

2P

平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)教程（圓）

一、幾個(gè)重要定義

外心：三角形三邊中垂線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱(chēng)為外心

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)心

垂心：三角形三邊上的高所在直線恰好交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱(chēng)為垂心

凸四邊形：四邊形的所有對(duì)角線都在四邊形ABCD內(nèi)部的四邊形稱(chēng)為凸四邊形

折四邊形：有一雙對(duì)邊相交的四邊形叫做折四邊形（如下圖）

（折四邊形）

二、圓內(nèi)重要定理：

1.四點(diǎn)共圓

定義：若四邊形ABCD的四點(diǎn)同時(shí)共于一圓上，則稱(chēng)A,B,C,D四點(diǎn)共圓

基本性質(zhì)：若凸四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則其對(duì)角互補(bǔ)

證明：略

判定方法：

1.定義法:若存在一點(diǎn)0使OA=OB=OC=OD，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓

2.定理1:若凸四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，則此凸四邊形ABCD有一外接圓

證明：略

特別地，當(dāng)凸四邊形ABCD中有一雙對(duì)角都是90度時(shí)，此四邊形有一外接圓

3.視角定理：若折四邊形ABCD中,ZADB=ZACB，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓

證明：如上圖，連CD,AB,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)P

因?yàn)?ADB=/ACB,所以

△CPB-ADPA

所以有生

PDPA

再注意到NCPD=NBPA

因此ACPD-ABPA

因此NPCD=NPBA

由此NBCD+NBAD=ZBCA+NPCD+NBAD=

NBDA+NPBA+NBAD=180（AABD的內(nèi)角和）

因此A,B,C,D四點(diǎn)共圓

特別地,當(dāng)ZA￡）B=ZXCB=90時(shí)，四邊開(kāi)鄉(xiāng)ABCD有一外接圓

2.圓黑定理：

圓幕定理是圓的相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長(zhǎng)定理的統(tǒng)一形式。

相交弦定理：P是圓內(nèi)任一點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩弦AB,CD,則PA?/>8=PC?PD

證明：

SAC,BD,則NC4B=NC￡>8（等弧對(duì)等圓周角）

而NAPC=NDPB（對(duì)頂角相等）

SlttAAPC-ADPB

即匕因此PA?PB=PC?P?

~PD~~PB

（切）割線定理：P是圓外任意一點(diǎn)，過(guò)P任作圓的兩割（切）線PAB,PCD,則

PA?PB=PC?PD

證明方法與相交弦定理完全一樣，可仿前。

特別地，當(dāng)C,D兩點(diǎn)重合成為一點(diǎn)U時(shí)，割線PCD變成為切線PC

而由割線定理，2?尸3=小?9=尸。2,此時(shí)割線定理成為切割線定理

而當(dāng)B,A兩點(diǎn)亦重合為一點(diǎn)A'時(shí)，由切割線定理PC"2=Q4=%亡

因此有PC'=PA',此時(shí)切割線定理成為切線長(zhǎng)定理

現(xiàn)考慮割線與切線同時(shí)存在的情況，即切割線定理的情況:

如圖，PCD是圓的割線，PE是圓的切線

設(shè)圓心為0,連P0,0E,則由切割線定理有：

尸。?尸。=莊2而注意到黃色△是RTA,由勾股定理有；

pe=p(f-oe,結(jié)合切割線定理，我們得到

PC?PD=PE^=PO—OE2,這個(gè)結(jié)果表明，如果圓心。與p是確定的，那么

PC與PD之積也是唯一確定的。

以上是P在圓外的討論

現(xiàn)在再重新考慮P在圓內(nèi)的情形，如下圖，PCD是圓內(nèi)的現(xiàn),PAB是以P為中點(diǎn)的弦

則由相交弦定理有小?依=群2（因?yàn)镻是弓劾B中點(diǎn)）=PC?PD

連OP,0A,由垂徑定理，AOPA是RTA由勾股定理有

PA2=0^-01^,結(jié)合相交弦定理，便得到

L2

A4?尸8=92（因?yàn)閜是弓劭B中點(diǎn)）=PC?PD=OA-OP

這個(gè)結(jié)果同樣表明，當(dāng)。與P是固定的時(shí)候PC與PD之積是定值

以上是P在圓內(nèi)的討論

當(dāng)P在圓上時(shí)，過(guò)P任作一弦交圓于A（即弦AP）,此時(shí)

PCP-Q42=0也是定值

綜上，我們可以把相交弦定理，切割線定理，割線定理，切線長(zhǎng)定理統(tǒng)一起來(lái)，得到圓幕定理。

圓幕定理：P是圓。所在平面上任意一點(diǎn)（可以在圓內(nèi)，圓上，圓外），過(guò)點(diǎn)P任作一直線交圓0于

A,B兩點(diǎn)（A,B兩點(diǎn)可以重合，也可以之一和P重合），圓。半徑為r

則我們有：PA?PB=\PO1-r\

由上面我們可以看到，當(dāng)P點(diǎn)在圓內(nèi)的時(shí)候，尸O2—/<0,此時(shí)圓幕定理為相交弦定理

當(dāng)P在圓上的時(shí)候，「"產(chǎn)二。

當(dāng)P在圓外的時(shí)候，PO"~r>0此時(shí)圓幕定理為切割線定理，割線定理，或切線長(zhǎng)定理

以下有很重要的概念和定理：根軸

先來(lái)定義幕的概念：從一點(diǎn)A作一圓周上的任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱(chēng)為

點(diǎn)對(duì)于這圓周的幕

對(duì)于已知兩圓有等幕的點(diǎn)的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。

根軸的定義：兩圓等幕點(diǎn)的軌跡是一條直線，這條直線稱(chēng)為兩圓的根軸

性質(zhì)1若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在直線

由于兩圓交點(diǎn)對(duì)于兩圓的幕都是0,所以它們位于根軸上，而根軸是直線，所以根軸是兩交點(diǎn)的連線

性質(zhì)2若兩圓相切，其根軸就是過(guò)兩圓切點(diǎn)的公切線（即性質(zhì)1的極限情況）

性質(zhì)3若三圓兩兩不同心，則其兩兩的根軸交于一點(diǎn)，或互相平行

所交的這點(diǎn)稱(chēng)為根心

證明：若三圓心共線，則兩兩圓的根軸均垂直于連心線，因此此時(shí)兩兩的根軸互相平行

若三圓心不共線，則必成一三角形，因此兩兩的根軸必垂直于兩兩的連心線。如圖，設(shè)CD與EF交于

點(diǎn)。，連A0交圓分02圓03于B',B"，則

OA?OB'=OE?OF=OC?OD=OA?OB”其中前兩式是點(diǎn)。對(duì)圓02的幕，后二式是點(diǎn)0對(duì)圓03的幕，

中間是圓0對(duì)圓01的幕進(jìn)行轉(zhuǎn)化

由此B，與B”重合，事實(shí)上它們就是點(diǎn)B（圓02與圓03的非A的交點(diǎn)），由此兩兩的根軸共點(diǎn)

圓幕定理是對(duì)于圓適用的定理，今使用圓幕定理對(duì)圓內(nèi)接四邊形判定方法的補(bǔ)充:

圓內(nèi)接四邊形判定方法

4.相交弦定理逆定理：如果四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)P,且滿足

PA?PC=PB?PD，則四邊形ABCD有一外接圓

5.切割線定理逆定理：如果凸四邊形ABCD一雙對(duì)邊AB與DC交于點(diǎn)P

且滿足=，則四邊形ABCD有一外接圓

這樣我們就補(bǔ)充了兩種判定方法

例（射影定理）：RTMBC中，BC是斜邊，AD是斜邊上的高

則

(1)AL>2=BD*CD

(2)Afi2=BD?BC

(3)AC2=CD?BC

證明：

如圖，延長(zhǎng)AD至A',使AD=DA',連A'B,A'C

則AABCmAA'BC,因此NR4C+Na4'C=180

因此ABGA，四點(diǎn)共圓

(1)由相交弦定理有：

AD?DA'=AD2=BD*CD

A

⑵⑶同理，現(xiàn)證(3)

作RTAADB的外接圓，則RTAADB的外接圓圓心為E

其中E是AB的中點(diǎn)

則EA_LAC,因此AC是圓ABD的切線

由切割線定理有

CA2=CD?CB

例2:垂心

△ABC中，三邊所在的高的所在的直線交于一點(diǎn)

證明：

設(shè)BE與CF交于H,連AH延長(zhǎng)交BC于D

即證AD_LBC

因?yàn)镹BEC=NBFC=90,因此8,F,E,C四點(diǎn)共圓

同理A,F,H,E四點(diǎn)共圓

所以NBHD=180-ZAHF-NBHF=180-Z4EF-NEHC

=180-ZB-ZA=ZC

因此H,D,E,C四點(diǎn)共圓

由此NH￡>C=90

3.定理

之前1,2的重要定理都是討論關(guān)于點(diǎn)共圓的情況。那么反過(guò)來(lái)，圓共點(diǎn)的情況又如何？

從最簡(jiǎn)單的開(kāi)始了解，在本文之后討論圓共點(diǎn)問(wèn)題中，甚至其他類(lèi)型的問(wèn)題，"駟”定理都給予莫大

的便利，我們將要不止一次地用到它。

先看一個(gè)事實(shí):

如圖,MBC中，AD,BE,CF分別是三邊上的高，則分別以AEF,BDF,CDE作圓

這三個(gè)圓共于一點(diǎn)，而且可以通過(guò)觀察，這個(gè)點(diǎn)就是垂心剛好是AD,BE,CF的交點(diǎn)

在介紹九駟“定理之后，我們將會(huì)給這題與垂心一個(gè)闡釋

%駟"定理：MBC中，X,Y,Z分別是直線AB,BC,AC上的點(diǎn)，則

O4XZ,QBXY,OCTZ共于一點(diǎn)O

這樣的點(diǎn)0稱(chēng)為X,Y,Z對(duì)于AABC的"駟”點(diǎn)

證明：

如圖，設(shè)0Axz與。BXY交于0,連0X,OY,0Z

即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證。,Z,匕C四點(diǎn)共圓

因?yàn)锳,X,0,Z與B,X,Y,0為兩組四點(diǎn)圓

則ZAZO=180-ZAXO=BXO=180-ZBYO=ZOKC

即NOZC+NOYC=18()

因此。,Z,匕C四點(diǎn)共圓

事實(shí)上這個(gè)證明隱含著對(duì)一般證圓共點(diǎn)的方法

在發(fā)掘"駟”定理的證明方法時(shí)可以得到一種更一般的證題方法

注意這個(gè)證明只在X,Y,Z在AB,BC,AC邊上時(shí)可以

當(dāng)在直線AB,BC,AC上時(shí)需要改一下，這里略去了。

現(xiàn)在回到之前關(guān)于垂心的問(wèn)題。為什么D,E,F關(guān)于AABC的鬼駟或點(diǎn)就是AABC的垂心

證明：

如圖，AD,BE,CF是A4BC的三條高，垂心為H,則

A,E,F,H

B,D,F,H

C,D,E,H

共三組四點(diǎn)共圓

由此可見(jiàn)。AEF,QBDF,QCDE共于一點(diǎn)”

而H就是垂心

有了"駟”定理，我們可以對(duì)垂心有一個(gè)新的看法

HD是QBDF與OCQE的根軸

對(duì)HE,司理

而ZA￡>8=ZAOC=90

因此0BDF與0CDE的連心線平行于BC（中位線定理）

因此HD垂直于BC

HE,HF同理

因此垂心可以被認(rèn)為是這三圓的根軸的交點(diǎn)（根軸性質(zhì)3）

用同樣的方法可以對(duì)內(nèi)心，外心以同樣的解釋?zhuān)?/p>

由此可見(jiàn)，共點(diǎn)圓與三角形的特殊點(diǎn)有很大的關(guān)系，上述3種只是最簡(jiǎn)單的最容易發(fā)現(xiàn)的

提起外心就會(huì)聯(lián)想到外接圓，這里不得不提一個(gè)常用定理：正弦定理

正弦定理：AABC中，外接圓半徑R,則

BCACAB

=2R

sinAsinBsinC

證明：

作直徑AOD,連BD

則NABO=90,ZADB=NACB

因此在RrAABD中

其余同理

ABAB“八c八

-----------==AD=2R

sinZADBsinC

想到三角函數(shù)里面的函數(shù)名，那么自然會(huì)想到余弦定理

余弦定理：

△zXAU中AB=c,AO=b,BO=a

a?=Z？2+—2Z7ccosA

Z?2—+,2—2accosA

o'=Z?2+a?—2az7cosU

C

D

B

證明：

作8C邊上的高AD

CD=AC*cosC=bcosC

BD=BC-CD=a-hcosC

因此A"-BD2=AC2-CD2

即c?-(a-6cosc)2=b2-(Z?cosC)2

c2-a2-b2cos2C+2abcosC=b2-Z?2cos2C

Wc2=a2+b2-2abcosC

其余同理

接著便就是著名的費(fèi)馬點(diǎn)，它也與共點(diǎn)圓有關(guān)系

費(fèi)馬點(diǎn)，即AABC內(nèi)一點(diǎn)，使其到三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)

當(dāng)AABC任一內(nèi)角都＜120時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)存在于內(nèi)部，當(dāng)△有一內(nèi)角＞=120時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)與此角頂點(diǎn)重合

設(shè)AABC中任一內(nèi)角均＜120,則費(fèi)馬點(diǎn)F可以通過(guò)如下方法作出來(lái)：

分別以AB,AC,BC向外作正△,連接對(duì)著的頂點(diǎn)，則得

事實(shí)上，點(diǎn)F是這3個(gè)正△的外接圓所共的點(diǎn)

而FA+FB+FC其實(shí)就是頂點(diǎn)到對(duì)著的正△頂點(diǎn)的連線的長(zhǎng)

而且之后將會(huì)有一種方法計(jì)算FA+FB+FC的長(zhǎng)度

而這將會(huì)在之后進(jìn)行討論

S加5M定理是常用而且著名的定理，多用于證明點(diǎn)共線，其逆定理也成立

Sim*"定理：P是AABC外接圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF

則D,E,F是共線的三點(diǎn)

直線DEF稱(chēng)為點(diǎn)P關(guān)于AABC的Simson線

引理（完全四邊形的以"聞?定理）:四條直線兩兩交于A,B,C,D,E,F六點(diǎn)

則OABEQBCEQCDEQDAE共點(diǎn)

先從AA8尸對(duì)瓦C,。三點(diǎn)運(yùn)用密克定理，則086￡。8F,064石共點(diǎn)

△D4E對(duì)3,C,尸三點(diǎn)運(yùn)用密克定理，則043尸,0成萬(wàn)0。尸共點(diǎn)

因此OABF,?BCE,?CDF,QOAE共點(diǎn)

其中所共的點(diǎn)叫做完全四邊形的九磔應(yīng)■點(diǎn)

證明：這里運(yùn)用九儂〃定理作為證明

設(shè)PZ座直BC,PE垂直A8,延長(zhǎng)。E交CA于尸

則問(wèn)題等價(jià)于證明P尸垂直AC

連PF

四邊形AFCD8E是完全四邊形

所以由完全四邊形的Miquel定理（引理）

QABC,?BDE,?AEF,Q（；￡>/='共點(diǎn)

注意至（l/PE8=NPDB

所以P,B,D,E四點(diǎn)共圓

所以。48c與。8OE交于點(diǎn)P和B

因此完全四邊形FACDBE的Miquel點(diǎn)非P則B

而A,E,B是同一直線上三點(diǎn)

因此A,E,F,B不可能共圓

因此P是完全四邊形FACDBE的Miquel點(diǎn)

由此P,E,F,A四點(diǎn)共圓

則NPFA=90

今逆定理證略

從這個(gè)證明我們看到"儂〃定理的威力不僅在于圓共點(diǎn)，而且對(duì)于共點(diǎn)圓也同樣適用

在有了S加初:定理之后，我們可以運(yùn)用S加初:定理來(lái)給予完全四邊形的"駟“定理一個(gè)新的證明（即

前面的引理）

證明：

設(shè)0BCE與0C。尸非C的一個(gè)交點(diǎn)為M,過(guò)M作MP垂直BE,MQ垂直EC,

其余同理。因?yàn)镸在Q3CE上，由S加so〃定理，PQR是共線的三點(diǎn)

同理對(duì)ACDF運(yùn)用Simson定理，有QRS也是共線的三點(diǎn)

因此P,Q,R,S四點(diǎn)共線

而注意到尸,Q,S是點(diǎn)M對(duì)A4DE三邊的垂直且共線

欲Simson定理逆定理，得A,M,D,E四點(diǎn)共圓

同理A,B,F,M四點(diǎn)共圓

因此0BCE,OCDF,QADE,QABF共點(diǎn)于仞

由這個(gè)證明，我們可以知道完全四邊形的九磔4?定理和S加5?！岸ɡ硎堑葍r(jià)的

能夠運(yùn)用S加定理證明的必也可用完全四邊形的密克定理證明，反之亦然

這樣，S加50/t定理便與密克定理產(chǎn)生了莫大的關(guān)聯(lián)

例.如圖/為母^(：外接圓上一點(diǎn)，作PAU3C交圓周于A',作的，直線AC交圓周于夕，C'同理。

求證：A4'||38||CC

證明：設(shè)PA'交BC于D,PB，交AC于E,F同理，則由S加*n定理知，DEF三點(diǎn)共線

由圖形看來(lái)，題斷三條互相平行的線均與S,加wm線平行，因此可以試證

連PB

而注意到P,B,D,F四點(diǎn)共圓，因此NEDB=NFDB=NPBA=NPAA

因此AA，與Stffwon線平行。其余同理

事實(shí)上，S加50"定理可以作推廣，成為。祖加定理

。祖加定理通過(guò)AABC外接圓上的一點(diǎn)P,引與三邊BC,CAAB分別成同向等角EPZPDB=ZPEC=ZPFB)

的直線PD,PE,PF與三邊或其所在直線的交點(diǎn)分別為D,E,F則D,E,F是共線的三點(diǎn)

可以仿照前面的證明

（這里的證明也可以運(yùn)用四點(diǎn)共圓的判定定理與性質(zhì)，再證4DE尸=180）

證明留給讀者，作為習(xí)題

5.仿叼定理

本文主要介紹一些平面幾何圓中較為重要和常用的定理，而凝血叼定理是一個(gè)十分重要的定理，及其

也有重要的推廣

分。白叼定理：若四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，貝ljAB?8+AO?8C=AC-8D

證明：

如圖，設(shè)OABCD外接圓半徑為R,連AC,過(guò)點(diǎn)。作ZL4BC各邊的垂線

分交AB于C',AC于B',8c于A',則由Simson定理，A'B'C'是共線的三點(diǎn)

因此C'8'+B'A'=C'A'

由A,C',B',D四點(diǎn)共圓，且NC'AD=NOB'C',因此A。是OAC'B'。的直徑

由正弦定理有

C'B'=ADsinZC'DB'=ADtiinZC'AB'

sinZBAC=—,所以=國(guó)匕生

2R2R

同理8'心空?A』AC?BD

2R

因此皇CD?ABAC^BD

-----------------1------------------

2R2R

即AO?BC=CO?AB+AC?8O

至此，我們重新把求費(fèi)馬點(diǎn)至三頂點(diǎn)距離的長(zhǎng)度和的問(wèn)題提出，運(yùn)用碗的定理解決：

如圖,設(shè)AB=c,AC=b,BC=a由NAFC=12。NAB'C=60，有A,F,B',C四點(diǎn)共圓

對(duì)。AFCB'運(yùn)用Pfo/emy定理有

FA?B'C+FC?AB'=AC?FB'

因?yàn)锳4C8,是等邊△,因此

FA+FC=FB'

所以FA+FB+FC=BB'

同理FA+FB+FC=/VT=CC'

今考察XBCB',由余弦定理

BB'2=a2+b2-2abcos(60+C)

=a2+h2-2aZ?[cos60cosC-sin60sinC]

=a2+b2-ab[cosC-招sinC]

而A4BC中,sinC=2sA48c

ab

cosC=°"——匕代入上式有

2ab

辿嶼

labab

=a2+b2-(/+：―/)+2屈LABC

=礦+；+c?+2出SLABC

因此FA+FB+FC=F*：+L+2相SAA8C

其中S△ABC=qp(p-a)(p-b)(p-c),p-"+

(這里我們用到著名的求積公式：SAAB。=血不訴二研茄(其中.=巴等與，證略).

至此，本文平面幾何圓的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)全部介紹完畢，這里將以著名的C伽亞定理結(jié)束(只做了解)

這是與圓幕定理的應(yīng)用有關(guān)的定理之一

C/iapp仿定理:設(shè)R是AABC的外接圓半徑，r■是內(nèi)切圓半徑,d是這兩圓的圓心距，則

d?=N—2Rr

證明：

連AI并延長(zhǎng)交AABC外接圓于P,并作直徑POQ,連BQ

設(shè)內(nèi)切圓與AB的切點(diǎn)為D，連ID,IB

則在AADI與AQBP中，NDAI=NBQP

ZADI=ZQBP=90

因此AADI-AQBP

有券=箓即四?BP=DI?PQ=2Rr

△IBP中，4BP=；(NA+NB)

NBIP=ZIAB+NIBA=；(N4+NB)

因此BP=IP,由此

AI?BP=AI?IP=2Rr,再由圓幕定理

AI?IP=R2-OI2=R--d2=2Rr

&)d2=R2-2Rr

事實(shí)上C&印丘定理對(duì)旁心也有相應(yīng)的公式，不過(guò)是等號(hào)右邊的符號(hào)-變+

但對(duì)本文不提及旁心，因此略去

習(xí)題:

第一部分（四點(diǎn)共圓的應(yīng)用）

1.如圖,在AABC中,AB=AC.任意延長(zhǎng)CA至！]P,再延長(zhǎng)AB至1]Q使AP=BQ.求證：MBC的外心0與

A.BQ四點(diǎn)共圓.（1994年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試第1題）

2.如圖，在AA3C中，A8=AC,。是底邊8C上一點(diǎn)，E是線段上一點(diǎn)，且2NC￡O=NA.

求證：80=20（1992年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試第2題）

3.如圖，設(shè)AB.CD為。0的兩直徑過(guò)B作PB垂直于AB,并與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,過(guò)P作直線與。0

分別交于E,F兩點(diǎn)，連結(jié)AE,AF分別與CD交于G,H求證:0G=0H.（2002年我愛(ài)數(shù)學(xué)初中生夏令營(yíng)一

試第2題）.

第二部分（圓幕定理的應(yīng)用）

4.如圖，等邊三角形ABC中，邊AB與相切于點(diǎn)H,邊BC,CA與交于點(diǎn)D,E,F；G。已知

AG=2,GF=6,FC=1.貝ijDE=.（第33屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題改編）

5.如圖，O0和。0'都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B,PQ切。0于