高考真題與模擬訓(xùn)練 05 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解析版）

專(zhuān)題5導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一部分真題分類(lèi)

一、單選題

1.(2021?全國(guó)高考真題)若過(guò)點(diǎn)(a,。)可以作曲線(xiàn)y=e'的兩條切線(xiàn)，則()

ba

A.e<aB.e<b

C.0<a<e6D.0<b<ea

【答案】I)

【解析】在曲線(xiàn)y=e'上任取一點(diǎn)「9,")，對(duì)"函數(shù)y=e"求導(dǎo)得y'=e',

所以，曲線(xiàn))=短在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為y-d=d(x—即y=e'x+(l—f)d,

由題意可知，點(diǎn)(a,b)在直線(xiàn)_y=e'x+(l—上，可得方=￡ze'+(l—f)d=(a+l-f)d,

令/(r)=(a+l-r)e，則/'?)=(a-7)e'.

當(dāng)，<a時(shí)，/'。)>0,此時(shí)函數(shù)/(，)單調(diào)遞增，

當(dāng)/>a時(shí)，/'(。<0,此時(shí)函數(shù)/?)單調(diào)遞減，

所以，“，)3=/(。)=丸

由題意可知，直線(xiàn)y=b與曲線(xiàn)>=/")的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則人</(0,1ax=e",

當(dāng)，<a+l時(shí)，/(r)>0,%>a+l時(shí)，/(。<0,作出函數(shù)/⑺的圖象如下圖所示：

1

由圖可知，當(dāng)ovbve"時(shí)，直線(xiàn)》=人與曲線(xiàn)>=/(，)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

解法二：畫(huà)出函數(shù)曲線(xiàn)y="的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,》)在曲線(xiàn)卜方和x軸上方時(shí)才可

以作出兩條切線(xiàn).由此可知0<b<e".

故選：D.

2.(2021?全國(guó)高考真題(理))設(shè)awO,若x=。為函數(shù)〃x)=a(x—〃興》—3的極大值點(diǎn)，則

()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】若a=。，則/(x)=a(x—a)3為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故〃b.

依題意，為函數(shù)〃x)=a(x—a『(x—3的極大值點(diǎn)，

當(dāng)"0時(shí)，由x>。,/(x)<0,畫(huà)出f(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知Z?<a,a<0,故時(shí)>/.

2

當(dāng)a＞0時(shí)，由x＞b時(shí)，/（x）＞0,畫(huà)出的圖象如下圖所示:

由圖可知b＞。，a＞0.故a。〉".

綜上所述，。匕＞"成立.

故選：D

3.（2020?全國(guó)高考真題（理））若直線(xiàn)/與曲線(xiàn)廣?和/+戶(hù)（都相切，則/的方程為（）

A.尸2x+lB.尸21+；C.尸g-x+1D.片gx+g

【答案】D

【解析】

設(shè)直線(xiàn)/在曲線(xiàn)y=?上的切點(diǎn)為國(guó)）,則玉）＞0,

L，1/1

函數(shù)y=4的導(dǎo)數(shù)為y=而，則直線(xiàn)/的斜率k=可］

設(shè)直線(xiàn)/的方程為y一后

即x—2dx^y+x0=0,

,,1入01

由于直線(xiàn)/與圓廠+V=一相切，則f/-=F,

5V1+4xoV5

,1

兩邊平方并整理得5片一4/-1=0,解得玉＞=1,（舍），

則直線(xiàn)/的方程為x-2y+l=0,即y=J_x+_L.

22

故選：D.

4.（2020?全國(guó)高考真題（理））函數(shù)/。）=/-2n3的圖像在點(diǎn)（1，/（D）處的切線(xiàn)方程為（）

A.y=-2x-1B.y=-2x+l

3

C.y=2x-3D.y=2x+I

【答案】B

【解析】

,.,/(x)=x4—2X3,/./,(x)=4x3—6x2,/(1)=—1,/,(l)=-2,

因此，所求切線(xiàn)的方程為y+l=-2(x-l),即y=-2x+l.

故選：B.

5.已知曲線(xiàn),=。/+只)1%在點(diǎn)(l,ae)處的切線(xiàn)方程為y=2x+。，則()

A.a=e,h=-\B.a=e,b=1C.a=e~',b=\D.a=e^',b=-X

【答案】D

【解析】

解析：y'=ae*+lnx+l,

k=y'\x=l=ae+\=2,a=e''

將(1,1)代入y=2x+b得2+。=1*=一1,故選l).

，2

“、1—2OX+2Q,x,1,_”、c

6.已知。eR,設(shè)函數(shù)/(%)=若關(guān)于工的不等式/(x)..O在R上恒成立，則。的

x-a\nx,x>1,

取值范圍為()

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[i,e]

【答案】C

【解析】

V/(0)>0,即心0,

2222

(1)當(dāng)OWaWl時(shí)，f(x)=x-2ax+2a=(<x-a)+2a-a>2a-a=a(2-a)>0,

當(dāng)a>l時(shí)，/(D=l>0,

故當(dāng)a20時(shí)，/一2℃+2。20在(—』]上恒成立；

X

若x—alnxNO在(1,48)上恒成立，即—在(1,48)上恒成立，

Inx

4

x，/、lnx-1

令g(x)="j—，則g(x)=7^―石，

Inx(Inx)

當(dāng)x>e,函數(shù)單增，當(dāng)0<x<e,函數(shù)單減，

故g(x)M=g(e)=e,所以當(dāng)aNO時(shí)，f一2at+2a?0在(YO,1]匕恒成立;

綜上可知,a的取值范圍是[0,e],

故選C.

二、填空題

2Y-1

7.(2021?全國(guó)高考真題(理))曲線(xiàn)y=-----在點(diǎn)(-L-3)處的切線(xiàn)方程為

x+2

【答案】5x-y+2=0

【解析】由題，當(dāng)x=—l時(shí)，丁=一3,故點(diǎn)在曲線(xiàn)上.

2(x+2)-(2x-1)5

求導(dǎo)得：),'

(x+2)2-(x+2)?所以VL=-i=5.

故切線(xiàn)方程為5x-y+2=0.

故答案為：5x-y+2=0.

8.(2021?全國(guó)高考真題)函數(shù)/(x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

【解析】由題設(shè)知：/。)=|2X一1|一2111%定義域?yàn)?0,+8),

.,.當(dāng)0cx〈工時(shí)，f(x)-l-2x-21nx,此時(shí)/(x)單調(diào)遞減；

2

19

當(dāng)一時(shí)，/(x)=2x-l-21nx,有/'(尤)=2——<0,此時(shí)/(幻單調(diào)遞減；

2x

2

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)=2x-\-2\nx,有/'(x)=2-->0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增：

x

又/(X)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

...綜上有：0<%<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，X>1H寸，/3)單調(diào)遞增；

/(x)>/(1)=]

故答案為：1.

9.(2020?江蘇高考真題)在平面直角坐標(biāo)系相加中，已知P(日,0),A,8是圓G%2+(y-^)2=36±

5

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足PA=PB,則△為8面積的最大值是.

【答案】1075

【解析】

QPA=PB:.PCtAB

設(shè)圓心C到直線(xiàn)AB距離為d,則|A陰=2,36-/J尸。|=舊+；=i

所以SVPAB?1-2,36-唐(4+1)=5(36-解)3+1尸

令y=(36-/)(4+1)2(0<</<6)y'=2(d+1)(-2J2-d+36)=0:.d=4(負(fù)值舍去)

當(dāng)044<4時(shí)，/>0；當(dāng)4Wd<6時(shí)，V<0,因此當(dāng)"=4時(shí)，》取最大值，即I.取最大值為10逐,

故答案為：10店

10.(2020?全國(guó)高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(x)=f_.若/(1)=￡,則所

x+a4

【答案】1

/、e'(x+〃)—e'+a—1)

【解析】由函數(shù)的解析式可得：/(無(wú))=———1—=V——「，

(X+Q)(x+a)

「"八e'x(l+a-l)aeaee

則：/1=-^~L=T~M，據(jù)此可得：=

(l+a)(a+1)(a+l)4

整理可得：〃一為+1=0,解得：a=l.

故答案為：1.

11.(2020?全國(guó)高考真題(文))曲線(xiàn)y=lnx+x+l的一條切線(xiàn)的斜率為2,則該切線(xiàn)的方程為

【答案】y=2x

［解析】設(shè)切線(xiàn)的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),y=lnx+x+l,y=-+l,

X

y'l,r='+1=2,玉)=1,%=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

X。

所求的切線(xiàn)方程為y-2=2(%-1),即y=2x.

故答案為：y=2x.

6

4

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，尸是曲線(xiàn)y=x+—（x>0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)〃到直線(xiàn)戶(hù)片0的距離的

x

最小值是.

【答案】4.

4

【解析】當(dāng)直線(xiàn)x+y=0平移到與曲線(xiàn)y=x+—相切位置時(shí).，切點(diǎn)0即為點(diǎn)P到直線(xiàn)x+y=O的距離最

x

小.

由y'=1—^=—1,得x=舍）'y-3A/2,

x

即切點(diǎn)。（、5,30）,

IV2+3V2I

則切點(diǎn)0到直線(xiàn)x+y=0的距離為?4，

故答案為4.

三、解答題

3—2無(wú)

13.（2021?北京高考真題）已知函數(shù)/（x）=m

（1）若a=0,求y=/（x）在（1,/。））處切線(xiàn)方程；

（2）若函數(shù)/（X）在x=-l處取得極值，求/（x）的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

【答案】（1）4x+y-5=0；（2）函數(shù)/（x）的增區(qū)間為（-8,-1）、（4,”），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,4）,

最大值為1，最小值為

4

【解析】⑴當(dāng)a=0時(shí)，=則/（「J（x；3）,..*1）=1,尸⑴=-4,

?XX

此時(shí)，曲線(xiàn)y=/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線(xiàn)方程為y—1=-4（%-1）,即4x+y—5=0；

—2

9rz2（x4-tz）—2x（3—2x）

⑵因?yàn)?（x）=等，則r（x）=-.~~272J,

x2+a（X2+<7）（x2+a）

/、2（4-〃）

由題意可得）（—1）=/八2=。，解得a=4,

（。+1）

故?。?與號(hào)_2（x+l）（x-4）

,列表如下:

廠+41+4r

7

X(-CO,-1)-1(T,4)4(4,+oo)

/'(x)+0—0+

增極大值減極小值增

所以，函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(一8,—1)、(4,+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).

當(dāng)X<!■時(shí)，/(%)>o；當(dāng)時(shí)，/(^)<o,

所以，仆)3=/(-1)=1,/(xL=/(4)=-j

14.(2021?全國(guó)高考真題)已知函數(shù)/(x)=x(lTnx).

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，匕為兩個(gè)不相等的正數(shù)，S.b}na-a\nb=a-b,證明：2<'+'<e.

ab

【答案】(1)/(X)的遞增區(qū)間為(0』)，遞減區(qū)間為(1,+8)；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+力)，

又/'(x)=l-lnx-1=-lnx,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，/(力>0,當(dāng)XG(1,+OO)時(shí),ff(x)<0,

故/(x)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+8).

(2)因?yàn)镽na—alnb=a—)，故b(lna+l)=a(ln8+1),即""+1=八1"1,

ab

故小心}

設(shè),二工］,'二九2，由(1)可知不妨設(shè)0<%<1，%2>1?

ab

因?yàn)?0,1)時(shí),y(x)=x(l-lnx)>0,xG(e,+<x))HvJ,/(x)=x(l-lnx)<0,

故1<々<e.

先證：+x2>2,

8

若々22,玉+工2＞2必成立.

若修＜2,要證：玉+々＞2,即證玉＞2-々，而0＜2-/＜1,

故即證f（xJ＞/（2—%）,即證：/（馬）＞/（2—電），其中1＜々＜2.

設(shè)g（x）=/（x）-/（2-x）,l＜x＜2,

則g'（x）=/'（x）+/'（2-x）=-lnx-ln（2-x）=-ln[x（2一切,

因?yàn)閘＜x＜2,故0＜x（2-x）＜l,故-lnx（2-x）＞0,

所以g'（x）＞0,故g（x）在（1,2）為增函數(shù)，所以g（x）＞g⑴=0,

故/（力＞/（2-x）,即/'（電）＞“2-％2）成立,所以西+%＞2成立,

綜上，玉+々＞2成立.

設(shè)W=/，則/>1,

結(jié)合------=------，_=玉,7=工2可得：Jq(l-lnx1)=x2(l-lnx,),

abab

ar,11/,,,\,/—I—/If!/

即：1-ln玉=t(l-Inf-In%]),故lnX]=---------,

要證：x,+x2<e,即證(r+l)%<e,即證ln(r+l)+lnX]<1,

即證：ln(f+l)+‘T一"n’<1,即證：(r-l)ln(r+l)-rlnr<0,

令s(7)=(f—l)ln(f+l)—八nr,/>l,

則S()=ln(f+l)+*—l_lnf=ln(l+；J_g,

先證明一個(gè)不等式：ln(x+l)4x.

設(shè)〃(x)=ln(x+l)-x,則/(x)=-1=-,

當(dāng)-IvxvO時(shí)，wr(x)>0；當(dāng)天>0時(shí)，M(x)vO,

故“(X)在(一1,0)上為增函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù)，故〃(可皿=4(0)=0,

故ln(x+l)(x成立

9

由上述不等式可得當(dāng)f>l時(shí)，故S'(f)<0恒成立,

故5(。在(1,+8)上為減函數(shù)，故S(f)<S(l)=0,

故-l)ln(r+l)-rlnt<0成立，即西+々<e成立.

綜上所述，2<L+」<e.

ab

15.(2021?全國(guó)高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(x)=/無(wú)2+ox-31nx+l,其中q>0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】⑴/(x)的減區(qū)間為增區(qū)間為(：,+8)；(2)

【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+紡)，

又小)=(26+3)3-1),

X

因?yàn)镼>0,x>0,故2依+3>0,

當(dāng)o<x<L時(shí)，/(幻<0：當(dāng)時(shí)，r(x)>o;

aa

所以/(x)的減區(qū)間為(o,J,增區(qū)間為+8.

(2)因?yàn)?(1)=4+。+1>0且y=/(x)的圖與X軸沒(méi)有公共點(diǎn)，

所以>=/(力的圖象在％軸的上方，

由(1)中函數(shù)的單調(diào)性可得/(x)ms=/(B)=3_31n：=3+31na,

故3+31na>0即a>-.

e

16.(2021?浙江高考真題)設(shè)a,。為實(shí)數(shù)，且a>l,函數(shù)/(x)=a'-bx+e2(xeR)

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

10

(2)若對(duì)任意b>2e2,函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍;

blnbe2

(3)當(dāng)a=e時(shí)，證明：對(duì)任意。〉函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)占多滿(mǎn)足x

22e21b

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)人〈0時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增；b>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為-8,log“單調(diào)增

b2

區(qū)間為----,+8(2)(l,e];(3)證明見(jiàn)解析.

1na

【解析】(1)/(%)=ax—bx+e2,f(x)-a'\na-b,

①若匕WO,則f(x)=a，lna—820,所以/(?在R上單調(diào)遞增;

②若b>0.

當(dāng)XG，00,10g“白，時(shí)，/'(X)<OJ(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe[og“t^,+8)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞墻

綜上可得，AW0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；

匕>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為log“,單調(diào)增區(qū)間為(log“3，+81

卜InaJVInaJ

⑵/(x)有2個(gè)不同零點(diǎn)=優(yōu)-bx+e2=0有2個(gè)不同解=e"n。一版+e?=0有2個(gè)不同的解,

令f=xlna,則e'--—+e2=0=>-^―-e+e-,/>0.

InaInat

.e'+e2..e，+e2^^(r-l)-e2

1Lg(f)=-----,g(0=———-=-----

trr

記/?(/)=el(t—1)—e2(/)=e'(t—1)+el-I=e1-t>0,

又再⑵=0,所以，￡(0,2)時(shí)，h(t)<0,fw(2,+oo)時(shí)，h(t)>0,

bb

則g?)在(0,2)單調(diào)遞減，(2,+oo)單調(diào)遞增，.，.；一>g(2)=e\:.\na<—9

inae

?：/7>2e2,>2,/.In(7<2=>1<a<e2.

11

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(I4?].

閉。=仇/(》)=俄—Zzx+e?有2個(gè)不同零點(diǎn)，則e*+e2=bx，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).

由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為々，較小者為西，

x1x2

,e'+ee-+e4

b=-------=------->e,

X|x2

注意到函數(shù)y=在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，

X

故玉<2<%，又由f5ve知>>5,

v,

7e+e22e22e2

h--------<----%|<-------,

%x]b

b\nber?,e~

要uEX-,>2,-“I+，八帝馬>In人+>

22ex-/

b=----+-e--<——且關(guān)于b的函數(shù)g仿)=ln/?+幺在0〉e4上單調(diào)遞增，

7

x2x2b

2

2e'2ex

所以只需證%>In—+5^(x2>5)，

2ex-e2x

只需證ln/2-lne——衿〉0，

x

x22e-

2

只需證Inx-J^-ln2〉0,

2ex

J4x

*/一<4，只需證人(x)=lnx-----ln2在x>5時(shí)為正，

2e

山Th(x)=—+4xe~x-4e~x=~+4e-v(x-l)>0,故函數(shù)〃(％)單調(diào)遞增，

xx

又〃(5)=ln5-與一ln2=ln*-工>0,故//(x)=lnx—尊一ln2在x>5時(shí)為正，

e~2ee

從而題中的不等式得證.

17.(2021?全國(guó)高考真題(理))已知a>0且a#l,函數(shù)/(x)=m(x>0).

12

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線(xiàn)>=/(%)與直線(xiàn)y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

總+8上單調(diào)遞減;

【答案】(1)o,A上單調(diào)遞增;(2)(l,e)u(e,+oo).

22

.z、x?,、2x^2'-x^2'ln2x?2*(2-xln2)

【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí)，〃刈=9，/(%z)=---------二飛-------=-------p---------,

2(2r)4

令r(x)=o得》=三，當(dāng)o<x<二時(shí)，r(x)>0,當(dāng)%>心_時(shí)，r(x)<0,

...函數(shù)〃x)在(0,白上單調(diào)遞增;一,+00］上單調(diào)遞減;

m2)

(2)=二=1。a*=x"oxlna=alnxo,設(shè)函數(shù)g(x)=—

axxax

則g'(x)=1［；*，令g'(x)=。,得x=e,

在(O,e)內(nèi)$(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

?■?g(x)3=g(e)=：，

又g(l)=0,當(dāng)x趨近于內(nèi)時(shí)，g(x)趨近于0,

所以曲線(xiàn)y=/(%)與直線(xiàn)y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線(xiàn)y=g(x)與直線(xiàn)y=含有兩個(gè)交點(diǎn)的充分

必要條件是0〈叱〈!，這即是0<g(a)<g(e),

ae

所以。的取值范圍是(l,e)u(e,+8).

18.(2021?全國(guó)高考真題(理))設(shè)函數(shù)〃x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)>=4(力的極值點(diǎn).

(1)求a；

/、x+/(x)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=—證明：g(x)<l.

xf(x)

【答案】1；證明見(jiàn)詳解

1Y

【解析】(1)由/(x)=ln(a-x)n/'(x)=------.y=V(x)=y'=ln(a-x)+-------

x-cix-a

13

又x=0是函數(shù)y=4(x)的極值點(diǎn)，所以>'(O)=lna=O,解得a=l；

%+/(%)_x+ln(l-%)

(2)由⑴得/(x)=ln(l-x),g(x)=x<1目.x。0,

#U)xln(l-x)

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，要證g(x)="：U?<1，1.-x>0,ln(l-x)<0,.-.xln(l-x)<0,即證

xln(l-xj

x4-ln(l-x)>xln(l-x),化簡(jiǎn)得x+(l-x)ln(l-力>0；

同理，當(dāng)X€(-8,0)時(shí)，要證g(x)=="1l~?<1，1>?x<0,In(l-x)>0,.-.xln(l-x)<0,即證

xln(l-x)

x+In(1-x)>xln(1-x),化簡(jiǎn)得x+(17)ln(17)>0；

令/2(x)=x+(l-x)ln(l-x),再令f=則fG(0,1)U(1,+°°)，X=1V，

令g(/)=lT+〃n/,^*(r)=-l+lnr+l=lnr,

當(dāng)f?0,l)時(shí),g'(x)<0,g(x)單減,假設(shè)g⑴能取到，則g⑴=0,故g(f)>g⑴=0；

當(dāng)，?1,+0。)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單增，假設(shè)g(l)能取到，則g⑴=0,故g(f)>g(l)=0；

x+ln(l—x)

綜上所述，g(x)=<1在xe(F,0)U(0,l)恒成立

xln(l-x)

19.(2021?全國(guó)高考真題(理))已知拋物線(xiàn)。：彳2=2〃>，(。>0)的焦點(diǎn)為尸，且尸與圓

M:/+。+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求P；

(2)若點(diǎn)P在M上，是。的兩條切線(xiàn)，A8是切點(diǎn)，求△PA8面積的最大值.

【答案】(1)〃=2；(2)2075.

【解析】⑴拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為尸卜),名，|廠閘=勺4,

所以，F(xiàn)與圓〃：/+。+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為5+4—1=4,解得p=2；

2無(wú)

(2)拋物線(xiàn)。的方程為V=4y,即y=、r，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得y'=],

14

設(shè)點(diǎn)4aM、8（冷必）、尸（%,為），

直線(xiàn)Q4的方程為=5（》_玉），即）=:_乂，即毛工_2乂-2y=0,

同理可知，直線(xiàn)PB的方程為％2%一2%一2丁=0,

石』一2%-2%=0

由于點(diǎn)。為這兩條直線(xiàn)的公共點(diǎn)，貝川

色一2%—2%=0'

所以，點(diǎn)A、8的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程/工一2丁一2%=0,

所以，直線(xiàn)A3的方程為x0x-2丁-2%=0，

x0x-2j-23,'0=0

聯(lián)立，x2＞可得廠—2x0x+4%=0,

由韋達(dá)定理可得埋+%=2%,中2=4%,

.J4x；_16%=J（、+4）（x：-4%）

所以，5皿=扣用."=：#；+4）（片一4%）."；z—oL：

，，\Jx。+4，

?.?只一4%=1-（%+4-4%=-/一12%-15=-（％+6）2+21,

1￡

由已知可得一54%4-3,所以，當(dāng)為=-5時(shí)，的面積取最大值一x2（）3=20j?.

2

20.（2020?全國(guó)高考真題（理））設(shè)函數(shù)/*）=/+云+°,曲線(xiàn)y=/（x）在點(diǎn)（J,f（g））處的切線(xiàn)

與y軸垂直.

（1）求b.

（2）若/（幻有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

3

【答案】（1）匕=一二；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）因?yàn)?3=3/+人

15

,i(iY

由題意，/(-)=0,BP3x-+b=0

2121

則力=-2；

4

3

(2)由(1)可得/(x)=x3--x+c,

4

9311

/(X)=3X2--=3(X+-)(X--),

令f(x)>0,得x>g或x<—g；令f(x)<0,得—g<x<g,

所以/(?在(—J,')上單調(diào)遞減，在(TO,-')，(L+8)上單調(diào)遞增，

2222

且/(—=c—(-g)=c+；J(；)=c—；,"l)=c+；,

若/(x)所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)X。,則f(―1)>0或/(I)<0,

即c>工或c<.

44

當(dāng)c>；時(shí)，/(-l)=c-l>0,/(-1)=c+l>0,/(i)=c-^>0,/(l)=c+i>0,

又/(-4c)=-64?+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零點(diǎn)存在性定理知/W在(-4c,-1)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)x°,

即/(x)在(-8,-1)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在(-1,-KO)上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)Ax)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

當(dāng)c<_；時(shí)，/(-l)=c-^<0,/(-1)=c+l<0,/(1)=c-^<0,/(l)=c+^<0,

又/(-4c)=64c3+3c+c=4C(1-16C2)>0,

由零點(diǎn)存在性定理知fM在(l,-4c)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)4',

即/(X)在(1,+8)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在(F,1)上不存在零點(diǎn)，

此時(shí)/(x)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；

綜上，/(幻所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

21.(2020?全國(guó)高考真題(文))已知函數(shù)/*)=*3-履+42.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求上的取值范圍.

16

4

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)(0,—).

27

【解析】(1)由題，f'(x)=3x2-k,

當(dāng)左40時(shí)，f(x)N0恒成立，所以/0)在(7,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)左＞0時(shí)，令f(x)=0.得x=±g,令八x)＜0,得一Jg■〈尤＜g

■|或x>J|,所以f(x)作(-J1,

令f(x)>0,得x<—上單調(diào)遞減，在

3

(-oo,-^k|),(J|,+°o)上單調(diào)遞增.

〃一曲＞0

(2)由(1)知，/(幻有三個(gè)零點(diǎn)，則女＞0,且《

心。

,2k

k2H—k.—>0

3V34

即《，解得0<Z<—?

k2--2kJ-<027

33

當(dāng)。〈女＜&時(shí)，4＞|,且/(?)=公〉0,

27

所以/⑴在上有唯?一個(gè)零點(diǎn),

同理一左一1＜一,/(_1)=_/_/+])2<0

所以fW在(一女上有唯一一個(gè)零點(diǎn),

又,在(-百

上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)有三個(gè)零點(diǎn),

4

綜上可知k的取值范圍為(0,—).

22.(2020?全國(guó)高考真題(理))已知函數(shù)/。)=^+0?一心

17

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)xNO時(shí)，F(xiàn)(x)—x+1,求a的取值范圍.

2

【答案】⑴當(dāng)XG(T，O,0)時(shí)，/'(x)<O,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(O,+8)時(shí)，尸(x)>OJ(x)單調(diào)遞

「7-)

增.(2)-------,+oo

L4)

【解析】⑴當(dāng)4=1時(shí):/(x)=e"+f-x,f\x)=e'+2x-\,

由于1r(x)=e*+2>0,故/(x)單調(diào)遞增，注意到/'(0)=0,故:

當(dāng)xc(y,0)時(shí)，r(x)<OJ(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x?o,+oo)時(shí)，r(%)>oj。)單調(diào)遞增.

(2)由/(x)25d+［得，e*+cix2,-x..%3+1,其中X之0,

①.當(dāng)尸0時(shí)，不等式為：121，顯然成立，符合題意；

②.當(dāng)x〉0時(shí)，分離參數(shù)a得，02，

Cl...-----------Z----------------

X

x3

e-^x-x-l(x-2)ex--X2-x-l

2

()--------，g'(x)=-----------

gx=-------、x3

令/?(x)=ex-x-l(x>0),

則=-x-l,/z"(x)=e'-120,

故〃'(1)單調(diào)遞增，⑼=0,

故函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增,/i(x)>/2(0)=0,

由〃(之()“『得：e"—］廠一x—1..0怛成立，

故當(dāng)xw(O,2)時(shí)，g?x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(2,4o。)時(shí)，<0,g(x)單調(diào)遞減;

L/-I7-4

因此’[g(x)L=g(2)=T

18

7-e2)

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是――,+co.

L4J

23.(2020?全國(guó)高考真題(理))已知函數(shù)/"(xhsidxsinZx.

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,萬(wàn))的單調(diào)性；

(2)證明：I”小述;

3”

(3)設(shè)〃匕怫，證明：sin'xsin為xsin2^??sin22"^^—.

4〃

(jr27r?

【答案】⑴當(dāng)附,/(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，/'(x)<OJ(x)單調(diào)

2%

遞減，當(dāng)XE時(shí)，_f(x)>O,/(x)單調(diào)遞增.(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：/(x)=2sin3xcosx,則：

,(x)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-1j=2sin2x(2cosx4-1)(2cosx-1),

r(x)=O在xe(O,?)上的根為：玉=5，%=^,

當(dāng)時(shí)，尸(x)>O,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xG時(shí)，/'(X)單調(diào)遞減，

當(dāng)X€(茅萬(wàn))時(shí)，/'(X)>。J(x)單調(diào)遞增.

(2)注意到〃%+乃)=sin?(x+7r)sin[2(x+?)]=sin2xsin2x=/(x),

故函數(shù)〃x)是周期為4的函數(shù)，

結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：/(())=/(7)=0,

19

據(jù)此可得：［〃X)L=￥，［〃切『￥

叩(小子.

⑶結(jié)合(2)的結(jié)論有：

sin2xsin22xsin24x---sin22nx

2

=[sin?xsin32xsin34x???sin，2"x]§

2

=^sinx(sin2xsin2x)卜in?2xsin4x)…卜in?2,,_1xsin2Mx)sin2Tl

2

二.3733>/33百.2°〃下

Ksinxx------x-------x???x------xsin2x

888

2

第二部分模擬訓(xùn)練

一、單選題

1.已知函數(shù)/(x)=處-a,g(x)=3(lnx—),若方程/(x)=g(x)有2不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的

xInx

取值范圍是()

A.(-00,e)B.(0,-)C.(-8,0)u(e,+oo)D.(e,+8)

e

【答案】B

【解析】由/(x)=g(x)得皿一a=3(lnxf),去分母整理得(Inx-3x)(lnx—分)=0有2不同的實(shí)

xInx

InxInX

數(shù)解，所以Inx—3x=0或Inx—以=0,所以一=3或——=a,

xx

設(shè)〃。)=也"〉0)所以1(工)=上及，當(dāng)o<x<e時(shí)，〃'(x)>o,函數(shù)//(x)單調(diào)遞增，當(dāng)X>e時(shí),

XX

/(元)vo,函數(shù)的。)單調(diào)遞減.

所以〃(X)max=〃(e)=,<3,所以處=3沒(méi)有實(shí)數(shù)解?

ex

Inx

所以方程上一二Q有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.縱1)=。

X

當(dāng)x->0時(shí)，h(x)<0；當(dāng)x—時(shí)，h(x)>0

20

X

故選：B

2.已知/(x)是定義在(-?>,+?))上的函數(shù)，/'(x)為的導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足/(x)+(x-l)r(x)>0,

則下列結(jié)論中正確的是()

A.〃力>0恒成立B./(x)<0恒成立

C./(1)=0D.當(dāng)尤/)時(shí)，/(x)<0；當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/(x)>0

【答案】A

【解析】設(shè)g(x)=(x-l)f(x),所以g'(x)=/(x)+(xT)/'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，乂因

為g⑴