黑龍江省佳木斯市富錦市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023—2024學(xué)年度（上）九年級(jí)期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題3分，共30分）1．已知在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．2．下列新能源汽車的標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖是由若干個(gè)相同的小正方體搭成的一個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個(gè)數(shù)最多是（

）A．7 B．8 C．9 D．104．某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共要比賽36場(chǎng)，共有多少個(gè)球隊(duì)參加比賽？設(shè)有x個(gè)球隊(duì)參加比賽，則可列方程為（

）A． B． C． D．5．函數(shù)和在同一坐標(biāo)系里的圖象大致是（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．7．如圖，直線軸于點(diǎn)，且與反比例函數(shù)及的圖象分別交于點(diǎn)A，，連接，，已知的值為，則的面積為（

）

A． B． C． D．8．如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．若，則線段的長(zhǎng)為（

）A．7 B．8 C．9 D．109．如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高AB=6m的過(guò)街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為，則坡面AC的長(zhǎng)度為（）m．A．10 B．8 C．6 D．610．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（每題3分，共30分）11．截止到2022年底，梅州市人口約為3858000人，將3858000用科學(xué)記數(shù)法表示為12．函數(shù)的自變量x的取值范圍是．13．如圖，已知在中，是邊上的一點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)滿足條件時(shí)，（寫一個(gè)即可）．

14．一個(gè)不透明的布袋里裝有2個(gè)白球，1個(gè)黑球和若干個(gè)紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個(gè)球，是白球的概率為．則布袋里紅球有個(gè).15．正方形ABCD中，AB＝4，M是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠AMB＝90°，則MC的最小值是．16．如圖，是外一點(diǎn)，分別和相切于點(diǎn)，是弧上任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線分別交于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為．17．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，則該圓錐的母線長(zhǎng)，扇形的圓心角．

18．已知方程的兩根是，則=.19．在四邊形中，，，若與底邊的夾角為，則四邊形的面積為．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形（記為第1個(gè)正方形）的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為頂點(diǎn)做等邊三角形，使得點(diǎn)落在x軸上，軸，在以為邊向右側(cè)作正方形（記為第2個(gè)正方形），點(diǎn)在x軸上，以為頂點(diǎn)作等邊三角形，使得點(diǎn)落在x軸上，軸……若按照上述的規(guī)律繼續(xù)作正方形，則第2023個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．

三、解答題（共60分）21．先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式（1﹣）÷的值，其中x＝2cos30°+tan45°．22．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（1）畫出關(guān)于x軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留）．23．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某中學(xué)開(kāi)展“學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行”知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)分成A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次調(diào)查中共抽取________學(xué)生；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求B等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；（4）若該校有1200名學(xué)生參加此次競(jìng)賽，估計(jì)這次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锳和B等級(jí)的學(xué)生共有多少名？24．小明想測(cè)一棵樹(shù)的高度，他發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為20米，坡面上的影長(zhǎng)為8米．已知斜坡的坡角為，同一時(shí)刻，一根長(zhǎng)為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，求樹(shù)的高度．25．如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)E在直徑CD的延長(zhǎng)線上，且．（1）試判斷AE與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，求陰影部分的面積．26．如圖①，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足為G，交直線于點(diǎn)F．易證．(1)如圖②，在菱形中，，其他條件不變，線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給予證明．(2)如圖③，在四邊形中，，其他條件不變，線段之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，不必證明．27．綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線與直線的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求線段的最大值．（3）點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案與解析

1．B【分析】銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴tanA==．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題時(shí)注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，則tanA=．2．D【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：軸對(duì)稱圖形：一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合；據(jù)此即可作答．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C、不是軸對(duì)稱圖形，但是中心對(duì)稱圖形，不符合題意，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意，故該選項(xiàng)是正確的；故選：D3．B【分析】這個(gè)幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層小正方體的個(gè)數(shù)，由左視圖可得第二層小正方體的最多個(gè)數(shù)，再相加即可．【詳解】由俯視圖可知最底層有5個(gè)小正方體，由左視圖可知這個(gè)幾何體有兩層，其中第二層最多有3個(gè)，那么搭成這個(gè)幾何體所需小正方體最多有個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．4．D【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)有x個(gè)球隊(duì)參加比賽，根據(jù)“參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，共要比賽36場(chǎng)”，列出方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)有x個(gè)球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意得：．故選：D5．B【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的表示方法-圖象法，熟練掌握二次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象形狀與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，本題可先由二次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與反比例函數(shù)的圖象相比較看是否一致．逐一排除．【詳解】解：由A，D中的二次函數(shù)圖象可得，因?yàn)?，故A，D錯(cuò)誤；由B，C中的二次函數(shù)圖象可得，所以的圖象在二，四象限內(nèi)，故C錯(cuò)誤，B正確．故選：B．6．B【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)可得這個(gè)反比例函數(shù)的圖象所在象限，再根據(jù)圖象的增減性即可求解，理解反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象的增減性是解題的關(guān)鍵．【詳解】在反比例函數(shù)中，，它的圖象在第一，三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，，，，，，，，．故選：B．7．C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義得出的面積為，再根據(jù)即可得出．【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可知：的面積為，的面積為，的面積為，，的面積為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的幾何意義，熟練利用反比例函數(shù)的幾何意義計(jì)算三角形面積是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得，求出，進(jìn)而證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可求出結(jié)論．本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：是的中位線，，，，，，∴．故選：D．9．A【詳解】∵天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的正弦值為，∴sinC=，則，解得：AC=10，則坡面AC的長(zhǎng)度為10m．故選A．10．C【分析】根據(jù)圖象可直接判斷a、c的符號(hào)，再結(jié)合對(duì)稱軸的位置可判斷b的符號(hào)，進(jìn)而可判斷①；拋物線的圖象過(guò)點(diǎn)（3，0），代入拋物線的解析式可判斷②；根據(jù)拋物線頂點(diǎn)的位置可知：頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于－2，整理后可判斷③；根據(jù)圖象可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，整理后再結(jié)合③的結(jié)論即可判斷④.【詳解】解：①由圖象可知：，，由于對(duì)稱軸，∴，∴，故①正確；②∵拋物線過(guò)，∴時(shí)，，故②正確；③頂點(diǎn)坐標(biāo)為：.由圖象可知：，∵，∴，即，故③錯(cuò)誤；④由圖象可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)和拋物線的圖象與其系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握拋物線的圖象與性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵.11．【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示．把一個(gè)數(shù)表示成與10的n次冪相乘的形式（，不為分?jǐn)?shù)形式，n為整數(shù)），根據(jù)定義即可寫出本題答案．【詳解】解：，故答案為：．12．且【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件得到且，解不等式即可求解．【詳解】解：由題意可得：且，解得且．∴自變量x的取值范圍是且．故答案為：且13．或或（答案不唯一）【分析】本題考查了相似三角形的判定．欲證，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形已經(jīng)具備一組角對(duì)應(yīng)相等，即，此時(shí)，再求夾此對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例或另一組對(duì)應(yīng)角相等即可．【詳解】解：∵，∴當(dāng)或或時(shí)，．故答案為：或或．14．1【分析】設(shè)布袋里紅球有x個(gè)，根據(jù)白球的概率列方程求解可得．【詳解】解：設(shè)布袋里紅球有x個(gè)，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．∴布袋里紅球有1個(gè)，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)概率求球的個(gè)數(shù)，認(rèn)真讀懂題意是關(guān)鍵．15．22##【分析】如圖所示，∠AMB＝90°且M是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，知點(diǎn)M是在以AB為直徑的⊙O位于正方形內(nèi)部的弧線上，連接OC，與⊙O交于點(diǎn)M，此時(shí)MC取得最小值，再進(jìn)一步利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，∵∠AMB＝90°，且M是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∴點(diǎn)M在以AB為直徑的⊙O位于正方形內(nèi)部的弧線上，連接OC，與⊙O交于點(diǎn)M，此時(shí)MC取得最小值，∵AB＝BC＝4，∴AO＝BO＝2，則OC2，∴MC的最小值為22．故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形得性質(zhì)，圓周角性質(zhì)和勾股定理，準(zhǔn)確找到點(diǎn)M所在的位置是解題的關(guān)鍵．16．24【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理，由分別和相切于點(diǎn)，得出，由過(guò)作的切線分別交于點(diǎn)，得出，，由此進(jìn)行計(jì)算即可，根據(jù)題中所給的條件及切線長(zhǎng)定理將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：分別和相切于點(diǎn)，，，過(guò)作的切線分別交于點(diǎn)，，，，的周長(zhǎng)為24，故答案為：24．17．【分析】由可求扇形的弧長(zhǎng)，再由，即可求解．【詳解】解：由題意得，，解得：，，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)、半徑與對(duì)應(yīng)的圓錐的底面圓的周長(zhǎng)、母線之間的關(guān)系，弧長(zhǎng)公式，掌握二者之間的關(guān)系和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．18．【分析】先利用根根與系數(shù)的關(guān)系得，，再通分得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，．19．或【分析】本題考查矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理的實(shí)際運(yùn)用和所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，本題根據(jù)題干作圖，可作不同的圖形，需要分類討論，作于點(diǎn)，利用勾股定理求得,即得到,再結(jié)合勾股定理求得,可得到，最后利用矩形的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】解：由題干的條件可作圖如下：，且，，，，，設(shè)，則，有，即，解得，（舍去），，作于點(diǎn)，有，，，，，，，四邊形為矩形，，四邊形的面積，還可作圖如下：同理可證，作于點(diǎn)，有，，，，，，，四邊形為矩形，，四邊形的面積，綜上所述，四邊形的面積為或．故答案為：或．20．【分析】本題考查等邊三角形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，含的直角三角形三邊關(guān)系．根據(jù)題意得出第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)，繼而再得到第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到本題結(jié)果．【詳解】解：∵正方形（記為第1個(gè)正方形），點(diǎn)的坐標(biāo)為，等邊三角形，軸∴，，∴，∴，即第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，∴，即第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，∴由此得到規(guī)律：則第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)為；∴第2023個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．21．，．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將特殊銳角的三角函數(shù)值代入得出x的值，繼而代入計(jì)算可得答案．【詳解】解：原式＝?＝，當(dāng)x＝2cos30°+tan45°＝2×+1＝+1時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值.解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及特殊銳角的三角函數(shù)值.22．（1）見(jiàn)解析，；（2）見(jiàn)解析，；（3）【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后依次連接即可，最后通過(guò)圖象可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°的點(diǎn)，然后依次連接，最后根據(jù)圖象可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由（2）可先根據(jù)勾股定理求出OA的長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）如圖所示：即為所求，∴由圖象可得；（2）如圖所示：即為所求，∴由圖象可得；（3）由（2）的圖象可得：點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑為圓弧，∵，∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對(duì)稱及弧長(zhǎng)計(jì)算公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對(duì)稱及弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．23．（1）100；（2）圖見(jiàn)詳解；（3）144°；（4）這次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锳和B等級(jí)的學(xué)生共有792名．【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖及題意可直接進(jìn)行求解；（2）由（1）及統(tǒng)計(jì)圖可得C等級(jí)的人數(shù)為20名，然后可求出B等級(jí)的人數(shù)，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（3）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（4）由（2）可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）由題意得：26÷26％=100（名），故答案為100；（2）由題意得：C等級(jí)的人數(shù)為100×20％=20（名），B等級(jí)的人數(shù)為100-26-20-10-4=40（名），則補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）由（2）可得：；答：B等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為144°．（4）由（2）及題意得：（名）；答：這次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)锳和B等級(jí)的學(xué)生共有792名．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)及條形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握扇形統(tǒng)計(jì)及條形統(tǒng)計(jì)圖是解題的關(guān)鍵．24．（米）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)，求出的影長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，作于點(diǎn)E，即為的影長(zhǎng)，利用三角函數(shù)值以及物長(zhǎng)和影長(zhǎng)的比值計(jì)算，即可解答本題．【詳解】解：如圖∵斜坡的坡角為，坡面上的影長(zhǎng)為8米，∴在中，，米，∴米，米，在中，∵同一時(shí)刻，一根長(zhǎng)為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，∴，∴米，∵地面上的影長(zhǎng)為20米，∴米，∴（米），在中，（米），∴樹(shù)的高度為米．25．（1）AE與⊙O相切，理由見(jiàn)詳解；（2）．【分析】（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，進(jìn)而得出∠EAO=90°，即可得出答案；（2）連接AD，利用解直角三角形求出圓的半徑，然后根據(jù)，即可求出陰影部分的面積．【詳解】（1）AE與⊙O相切，理由如下：連接AO，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵AO=CO，AE=AC，∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∴∠EAC=120°，∴∠EAO=90°，∴AE是⊙O的切線；（2）連接AD，則，∴∠DAC=90°，∴CD為⊙O的直徑，在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，∴，∴，∴，∠AOD=60°，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的判定和