河工大控制教研組自控課件三章

第三章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析3.1引言3.2典型輸入信號(hào)3.3控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)及性能指標(biāo)3.4一階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)3.5二階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)3.6高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性與勞斯穩(wěn)定判據(jù)3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及計(jì)算3.1引言對(duì)于線性系統(tǒng)，常用的性能分析方法有三種：時(shí)域法；根軌跡法；頻率特性法。時(shí)域法的特點(diǎn)

時(shí)域法是最基本的分析方法,

是學(xué)習(xí)復(fù)域法、頻域法的基礎(chǔ)。

(1)直觀，準(zhǔn)確；(2)可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息；(3)求解系統(tǒng)輸出的解析解，比較煩瑣,適用于低階系統(tǒng)。

時(shí)域分析法：在某種典型輸入信號(hào)作用下，根據(jù)系統(tǒng)微分方程，利用拉氏變換直接求出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，然后按照響應(yīng)曲線來分析系統(tǒng)的性能

控制系統(tǒng)(微分方程)C(s)拉氏變換輸出響應(yīng)穩(wěn)定性準(zhǔn)確性(穩(wěn)態(tài)誤差)暫態(tài)性典型輸入c(t)定理系統(tǒng)輸出誤差傳函3.2典型輸入信號(hào)典型的輸入信號(hào)有5種：階躍函數(shù)；斜坡函數(shù)；拋物線函數(shù)；脈沖函數(shù)；正弦函數(shù)典型輸入信號(hào)的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)表達(dá)簡(jiǎn)單，便于分析和處理，易于實(shí)驗(yàn)室獲得一、階躍函數(shù)A為常量，A=1稱為單位階躍函數(shù)1(t)表達(dá)式：拉氏變換：作用：考查系統(tǒng)對(duì)于恒值信號(hào)跟蹤能力二、斜坡函數(shù)A為常量，A=1稱為單位斜坡函數(shù)。表達(dá)式：拉氏變換：作用：考查系統(tǒng)對(duì)于等速度信號(hào)跟蹤能力A為常量，A=1/2時(shí)稱為單位拋物線函數(shù)。三、拋物線函數(shù)表達(dá)式：拉氏變換：作用：考查系統(tǒng)對(duì)于等加速信號(hào)跟蹤能力四、脈沖函數(shù)表達(dá)式：拉氏變換：ε

0稱為單位脈沖函數(shù)，記為作用：考查系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)后的復(fù)位運(yùn)動(dòng)A為常數(shù)五、正弦信號(hào)表達(dá)式：

分析一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)時(shí)采用哪種信號(hào)，要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際輸入信號(hào)而定。作用：用來求取頻率響應(yīng)拉氏變換：3.3控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)及性能指標(biāo)求解微分方程的方法有經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)值求解對(duì)于線性定常系統(tǒng)，輸入為r(t)，輸出為c(t)用微分方程描述如下：系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)：求解一定輸入作用下，微分方程的解一、控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)：使用拉氏變換法，研究初狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入作用R(s)下，輸出量c(t)隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化過程[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，將時(shí)域方程轉(zhuǎn)換為

s域的代數(shù)方程②由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式C(s)③對(duì)上式進(jìn)行部分分式展開，并求待定系數(shù)④查拉氏變換表，得到各部分分式對(duì)應(yīng)的原函數(shù)系統(tǒng)的輸出：2)初狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程是：1)一般形式：

為的極點(diǎn)，為的極點(diǎn)。3)部分分式展開(3-2-13)c(t)時(shí)域響應(yīng)：暫態(tài)過程：從初始態(tài)到接近穩(wěn)態(tài)的輸出過程ct(t)穩(wěn)態(tài)過程：t趨于無窮大時(shí)的輸出過程cs(t)Cct(t)

暫態(tài)過程cs(t)穩(wěn)態(tài)過程4）如果和是互異的，那么系統(tǒng)的響應(yīng)為部分分式展開(3-2-14)二、控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)通常以系統(tǒng)單位階躍1(t)輸入時(shí)的響應(yīng)c(t)來定義時(shí)域性能指標(biāo)暫態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)c(t)時(shí)域響應(yīng)：Cct(t)暫態(tài)過程cs(t)穩(wěn)態(tài)過程1）暫態(tài)性能指標(biāo)

最大超調(diào)量

:輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)?？焖傩浴魃仙龝r(shí)間tr：輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間

峰值時(shí)間tp：對(duì)應(yīng)于最大超調(diào)量發(fā)生的時(shí)間調(diào)整時(shí)間ts：輸出響應(yīng)曲線達(dá)到并保持與穩(wěn)態(tài)值之差在預(yù)定的差值△內(nèi)（又叫誤差帶）所需要的時(shí)間?！?±0.02或±0.05延遲時(shí)間td:

輸出第一次達(dá)到50％輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。系統(tǒng)誤差e(t)=r(t)-c(t)△2）穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo):

穩(wěn)態(tài)誤差esr穩(wěn)態(tài)誤差3.4一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)分析系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)R(s)的響應(yīng)一階系統(tǒng)的框圖如下st1R(s))(sC-

(3-4-1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為

——時(shí)間常數(shù)１．單位階躍響應(yīng)τ2τ3τ4τ

0.9820.9500.8650t10.632斜率=（1）由cs(t)=1和ct(t)=-e兩部分組成-t/

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）是一單調(diào)上升的指數(shù)曲線，隨著時(shí)間的增加趨于穩(wěn)態(tài)值，它的特點(diǎn)是c(t)的輸出：

1)快速性：階躍響應(yīng)無超調(diào)量，主要以ts來衡量。

ts=3

（△=±0.05）

ts=4

（△=±0.02）（※）因此，

越小，系統(tǒng)過渡時(shí)間就越短。2）t=

，2

，3,4時(shí)，輸出分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的0.632，0.865，0.95，0.981)t＝0時(shí)，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/

,切線與穩(wěn)態(tài)值的交點(diǎn)處的t=

。性能指標(biāo)τ2τ3τ4τ

0.980.950.8650t10.632斜率=τ2τ3τ4τ

0.980.950.8650t10.632斜率=

2)平穩(wěn)性：非周期、無振蕩、無超調(diào)量，平穩(wěn)性好3)準(zhǔn)確性：輸出與輸入的穩(wěn)態(tài)誤差舉例說明（一階系統(tǒng)）解：系統(tǒng)閉環(huán)傳函s1R(s))(sC-

K一階系統(tǒng)如圖所示，試求：1）當(dāng)K＝1時(shí)，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts，2）如果要求ts≤1秒，試問系統(tǒng)的K應(yīng)調(diào)整為何值？

系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)

=1/K，則系統(tǒng)階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間tsts=3=3s（△=±0.05）ts=4=4s（△=±0.02）∵ts=3

≤

1s∴K≥3

ts=4≤1s∴K≥42．單位脈沖響應(yīng)：系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)后的復(fù)位運(yùn)動(dòng)-t/

;當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由cs(t)=0和ct(t)=1/

e兩部分組成。98%95%86.5%0

2

3

4

t63.2%0.368/

0.145/

0.05/

1/

0.02/

c(t)的輸出：是一單調(diào)下升的指數(shù)曲線結(jié)論：一階系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)作用下，可以在ts=（3-4）

內(nèi)將擾動(dòng)的影響衰減到允許誤差之內(nèi)。0.02/

98%95%86.5%0

2

3

4

t63.2%0.368/

0.145/

0.05/

1/

ts系統(tǒng)在脈沖擾動(dòng)后的復(fù)位過渡時(shí)間ts=3

（△=±0.05）ts=4

（△=±0.02）性能指標(biāo)

:快速性

t=3,4時(shí)，輸出分別達(dá)到初始值的0.95，0.983．單位斜坡響應(yīng)c(t)c(t)的輸出：是一單調(diào)上升的曲線由cs(t)=t-

和ct(t)=

e兩部分組成。-t/

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，輸出與輸入的誤差為

結(jié)論：一階系統(tǒng)可以跟蹤斜坡信號(hào)，但只能實(shí)現(xiàn)有差跟蹤，穩(wěn)態(tài)誤差，可以通過減小來減小差值，但不能消除它。c(t)性能指標(biāo)

:準(zhǔn)確性穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差趨于

，

越小，穩(wěn)態(tài)誤差越小僅有一個(gè)特征參量

——時(shí)間常數(shù)；可以跟蹤階躍信號(hào)，使系統(tǒng)的輸出在ts=（3-4）

內(nèi)，平穩(wěn)的達(dá)到穩(wěn)態(tài)值；在脈沖擾動(dòng)作用下，可以在ts=（3-4）

內(nèi)將擾動(dòng)的影響衰減到允許誤差之內(nèi)；可以跟蹤斜坡信號(hào)，但只能實(shí)現(xiàn)有差跟蹤，穩(wěn)態(tài)誤差

，可以通過減小來減小差值，但不能消除它。由上面分析可知，一階系統(tǒng)3.5二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)自動(dòng)控制理論用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)?二階系統(tǒng)在工程中比較常見，其響應(yīng)特性常被視為一種基準(zhǔn)?許多高階系統(tǒng)也可以轉(zhuǎn)化為二階系統(tǒng)來研究因此研究二階系統(tǒng)具有很重要的意義典型二階系統(tǒng)框圖二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

——阻尼比

——無阻尼自然振蕩角頻率

（3-5-2)令記注意：當(dāng)

不同時(shí)，極點(diǎn)有不同的形式，其單位階躍響應(yīng)c(t)

的形式也不同。圖3-5-2令二階系統(tǒng)特征方程得，特征方程的根(系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）（3-5-3)稱為阻尼振蕩角頻率

j實(shí)際中無法使用一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的C(s)求出A0，A1，A2系統(tǒng)的c(t)１．過阻尼

當(dāng)t=0時(shí)，c(t)=0；當(dāng)t→∞時(shí)，c(t)→1由cs(t)=1

和ct(t)=

兩部分組成。不振蕩暫態(tài)過程長(zhǎng)c(t)1tsc(t)的輸出：與一階系統(tǒng)類似：不振蕩，單調(diào)上升的曲線與一階系統(tǒng)區(qū)別：初始斜率為0，暫態(tài)過程長(zhǎng)非周期、無振蕩、無超調(diào)量，平穩(wěn)性好不振蕩暫態(tài)過程長(zhǎng)c(t)1ts2）準(zhǔn)確性：性能指標(biāo)：3）快速性：調(diào)節(jié)時(shí)間ts1)平穩(wěn)性：離虛軸近的極點(diǎn)s1對(duì)響應(yīng)產(chǎn)生的影響大離虛軸遠(yuǎn)的極點(diǎn)s2對(duì)響應(yīng)產(chǎn)生的影響小

當(dāng)s2>>s1→>>1,s2甚至可以忽略不計(jì)，在工程上，時(shí)，使用上述近似式已有足夠的準(zhǔn)確度

s2極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)，衰減速度快，s1極點(diǎn)離虛軸近，衰減速度慢；近似為一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的ts可估計(jì)為

（△=±0.05）（△=±0.02）2.臨界阻尼不振蕩c(t)1系統(tǒng)的C(s)系統(tǒng)的c(t)cs(t)=1

和ct(t)=

當(dāng)t=0時(shí)，c(t)=0；當(dāng)t→∞時(shí)，c(t)→1c(t)的輸出：與過阻尼二階系統(tǒng)類似：不振蕩，初始斜率為0，單調(diào)上升的曲線與過阻尼二階系統(tǒng)區(qū)別：暫態(tài)過程較短性能指標(biāo)：不振蕩c(t)11)平穩(wěn)性：非周期、無振蕩、無超調(diào)量，平穩(wěn)性好2）快速性：調(diào)節(jié)時(shí)間ts3）準(zhǔn)確性：1)橫坐標(biāo)2)縱坐標(biāo)圖中參量說明：3)極點(diǎn)到原點(diǎn)距離3．欠阻尼（）稱為阻尼振蕩角頻率S2S1abc0由

決定，與wn

無關(guān)，

稱為二階系統(tǒng)的阻尼角S2S1abc04)求

以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以s1點(diǎn)的射線長(zhǎng)為半徑畫的圓弧上有相同的wn

,此圓弧稱為等自然振蕩角頻率線6)等自然振蕩角頻率線（等wn

線）

從坐標(biāo)原點(diǎn)到s1射線上的每一點(diǎn)都有相同的

值，稱為等阻尼線5)等阻尼線（等

線）等線S1等wn

線系統(tǒng)的c(t)欠阻尼下，系統(tǒng)的C(s)阻尼角系統(tǒng)的c(t)(3-5-15)取sin項(xiàng)為±1c(t)的包絡(luò)線為欠阻尼時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的第一項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)暫態(tài)分量（振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的阻尼正弦振蕩），其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率阻尼角為由于曲線不收斂，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。經(jīng)典控制理論將臨界穩(wěn)定系統(tǒng)劃歸為不穩(wěn)定的范疇。曲線是等幅振蕩的，超調(diào)量為100％，振蕩頻率為wn

從圖可見：１）

越小，振蕩越厲害，當(dāng)

增大到１以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升;２）在無振蕩時(shí)，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng);３）

＝0.5－0.8之間時(shí)，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值;阻尼比為0.707稱為最佳阻尼比；４）過阻尼系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，動(dòng)作很緩慢不同阻尼比值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線圖

工程上，一般的控制系統(tǒng)大都設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)，阻尼比一般取0.5－0.8二．欠阻尼下（0<<1)二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)tr、tp、Mp、ts與二階系統(tǒng)的特征參量

和wn的關(guān)系trtp、Mptsc(t)的包絡(luò)線1.上升時(shí)間tr:在暫態(tài)過程中，c(t)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間．則必有可得因?yàn)樯仙龝r(shí)間是第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故取n=1,于是(3-5-16)記令２．峰值時(shí)間tp:響應(yīng)由零上升到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間．到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)

移項(xiàng)后得在c(t)達(dá)到最大值時(shí)，有(3-5-17)記3．最大超調(diào)量Mp最大超調(diào)量發(fā)生在t=tp時(shí)刻而(3-5-18)記得將代入４．調(diào)整時(shí)間

與穩(wěn)態(tài)值之間的差值達(dá)到允許誤差帶△（取±0.02或±0.05）范圍時(shí)所需要的時(shí)間。Δ用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時(shí)間。取sin項(xiàng)為±1當(dāng)ts≈t’s時(shí)，有：

§３－３二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)由此可求得Δ若△=±0.05若△=±0.02近似與成反比記如何選取

和ωn使系統(tǒng)滿足設(shè)計(jì)要求：1）Mp只由

決定，

越小，Mp

越大。所以，一般根據(jù)Mp

的要求選擇

值(實(shí)際系統(tǒng)中，

值一般在0.5-0.8之間)小結(jié)欠阻尼二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)性能完全取決于

和ωn

。2)可通過ωn的選取來滿足各種時(shí)間性能指標(biāo)的要求增大ωn

，能使tr，tp和ts都減少。不同阻尼比值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線圖

tr(s)tp(s)Mp(%)ts(s)(=0.05)

>1__0

=1__00<

<1三、二階系統(tǒng)舉例例1：試畫出對(duì)應(yīng)于下列每一技術(shù)要求的二階系統(tǒng)在s平面上的區(qū)域。解：2jw

[s]

1

1600450

2

2

例2：

設(shè)位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示，給定輸入為單位階躍時(shí)，試計(jì)算放大器增益K＝13.5,59.2,200，1500時(shí)，輸出響應(yīng)特性的性能指標(biāo)：上升時(shí)間tr,峰值時(shí)間tp，調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量Mp，并分析比較之。(=0.05))5.34(5+ssKRC例題2解析輸入：?jiǎn)挝浑A躍系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù))5.34(5+ssKRC例題2解析當(dāng)K＝13.5時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：無與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：例題2解析當(dāng)K＝59.2時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：無與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：例題2解析當(dāng)K＝200時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：例題2解析當(dāng)K＝1500時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：與標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對(duì)照得：暫態(tài)性能指標(biāo)隨K變化的情況K

n(s-1)

tr(s)tp(s)Mp(%)ts(s)(=0.05)13.58.212.1__01.4459.217.21__00.2820031.60.5450.080.12130.17150086.60.20.020.03752.70.172）改變K值，系統(tǒng)處于不同阻尼狀態(tài)K=13.5時(shí)，

>1過阻尼狀態(tài)K=59.2時(shí)，＝1無阻尼狀態(tài)K>59.2時(shí)，0<<1欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在垂線

n上下移動(dòng)，這時(shí)K值的改變并不影響ts結(jié)論：1）K增大時(shí)，

n增大而減小，Mp增大，一般較強(qiáng)的振蕩趨勢(shì)對(duì)應(yīng)較短的tr、tpjw

[s]-32.4-2.1K=13.5K=13.5K=200K=1500K=1500-17.2-26.526.5-84.884.8

nK=200K=59.5等線S1等ts

線等wn

線系統(tǒng)極點(diǎn)分布與在單位階躍作用下的響應(yīng)曲線jw

[s]-32.4-2.1K=13.5K=13.5K=200K=1500K=1500-17.2-26.526.5-84.884.8

nK=200K=13.5>1

K=59.2K=59.2K=200K=1500=10<<13.6高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

凡是用高階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函分母中s的最高幕次n>2.高階系統(tǒng)閉環(huán)傳函的一般形式為寫成求拉氏反變換，得：(3-6-2)(3-6-3)

從上式可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量?jī)蓚€(gè)部分組成。1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由si和ζkωnk

決定,也與各分量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)Ai,Dk有關(guān)2）系統(tǒng)的零、極點(diǎn)決定了c(t)響應(yīng)

3）特殊零、極點(diǎn)（偶極子、主導(dǎo)極點(diǎn)）概念及作用系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為是由零、極點(diǎn)確定的常數(shù)式中kkiDAq,,,ζk,ωnk(3-6-3)1、偶極子：一對(duì)數(shù)值上相近即位置靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)（極端情況下，一對(duì)重合的閉環(huán)零、極點(diǎn)）2、偶極子相消：一對(duì)重合的閉環(huán)零、極點(diǎn)偶極子對(duì)暫態(tài)響應(yīng)無任何影響，此時(shí)可將此對(duì)偶極子一起消去;

零、極點(diǎn)分布偶極子z1s5s1s2s3s4

一對(duì)數(shù)值上相近閉環(huán)零、極點(diǎn)偶極子對(duì)暫態(tài)響應(yīng)雖有影響，但較小，一般也可將此對(duì)偶極子一起消去工程上確定主導(dǎo)極點(diǎn)方法:1)極點(diǎn)P距虛軸的距離|Re(P)|

極點(diǎn)B距虛軸的距離|Re(B)||Re(P)|>5|Re(B)|2)極點(diǎn)B附近無零點(diǎn)B為主導(dǎo)極點(diǎn)，分析時(shí)可忽略極點(diǎn)P3、系統(tǒng)極點(diǎn)P的負(fù)實(shí)部愈是遠(yuǎn)離虛軸，則極點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)衰減得愈快

距虛軸最近的極點(diǎn)B對(duì)應(yīng)著瞬態(tài)響應(yīng)中衰減最慢的項(xiàng)，極點(diǎn)B對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用零、極點(diǎn)分布s1s2s3s4PB主導(dǎo)極點(diǎn)s5z1主導(dǎo)極點(diǎn)作用：

可將高階系統(tǒng)用低階系統(tǒng)的響應(yīng)來近似

1)主導(dǎo)極點(diǎn)若以共軛形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)可近似看成二階系統(tǒng)；2)若以實(shí)數(shù)形式出現(xiàn)，該系統(tǒng)可近似看成一階系統(tǒng)。例1已知四階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試求系統(tǒng)近似的單位階躍響應(yīng)c(t)解：

2)上式s1=-5,Re[s2,3]=-0.75。|Re(s1)|=5>5|Re(s2,3)|1)系統(tǒng)傳函有零點(diǎn)z1=-20.03和極點(diǎn)s4=-20距離很近，遠(yuǎn)離其它零極點(diǎn)。對(duì)消此零極點(diǎn)得將高階系統(tǒng)近似為一個(gè)二階系統(tǒng):1)以s2,3為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)；2）在單位階躍下其初始值及終值與原系統(tǒng)傳函相同s1=-5s2=-0.75+j1.2s3s4z1[s]初值定理將高階系統(tǒng)近似為一個(gè)二階系統(tǒng):1)以s2,3為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)；2）其在單位階躍下初始值及終值與原系統(tǒng)傳函相同終值定理原近似原近似將高階系統(tǒng)近似為一個(gè)二階系統(tǒng)近似的單位階躍響應(yīng)為(3-5-15)3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性與勞斯穩(wěn)定判據(jù)一．穩(wěn)定的概念與條件線性系統(tǒng)正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須保持穩(wěn)定．兩個(gè)問題：①什么樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的？②線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么？零輸入響應(yīng)穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)在擾動(dòng)的作用下，偏離了原有的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，又能回到原來的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)零輸入響應(yīng)具收斂性質(zhì)，則該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；反之，系統(tǒng)不能回到原有的平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)零輸入響應(yīng)具有發(fā)散性質(zhì)，則該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到輸入信號(hào)下的穩(wěn)定性對(duì)于線性系統(tǒng)，零輸入響應(yīng)穩(wěn)定性和零狀態(tài)響應(yīng)穩(wěn)定性的條件是一致的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為其時(shí)域響應(yīng)的收斂性零狀態(tài)響應(yīng)下C(t)表達(dá)式得到曲線響應(yīng)的收斂性條件，從而得到線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件△系統(tǒng)特征方程為

此高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(3-6-3)設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳函為當(dāng)D（s）=0，可得到系統(tǒng)特征方程的根即系統(tǒng)極點(diǎn)§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

如果系統(tǒng)穩(wěn)定，其暫態(tài)分量的各個(gè)項(xiàng)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)應(yīng)很快趨近于０①指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)si應(yīng)為負(fù)值，也就是實(shí)數(shù)極點(diǎn)應(yīng)位于左半Ｓ平面的負(fù)實(shí)軸上；②指數(shù)部分－

k

nk應(yīng)為負(fù)值，也就是說共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部應(yīng)為負(fù)，即共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于左半Ｓ平面；③系統(tǒng)中只要有一個(gè)極點(diǎn)位于右半Ｓ平面，或虛軸上，暫態(tài)分量就是發(fā)散的或不衰減的，系統(tǒng)就不穩(wěn)定．

由此可得到線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：

系統(tǒng)特征方程的所有根（系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)），均位于s平面的左半部，即所有極點(diǎn)si

都有負(fù)實(shí)部

對(duì)于一般線性定常系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式二、判定線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的方法特征方程法、代數(shù)判據(jù)法、根軌跡法、頻率穩(wěn)定判據(jù)法1）特征方程法

D（s）=0

求出閉環(huán)傳函的所有極點(diǎn)si

所有極點(diǎn)si均位于s平面的左半部，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)三階以上系統(tǒng)，求解極點(diǎn)是比較困難的。2）代數(shù)判據(jù)法（勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)）對(duì)特征方程D（s）=0的系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，以此判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。三、勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為0，2，4，…第二行為1，3，5，…1.勞斯表設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為勞斯表為一直計(jì)算到最后一行為止系統(tǒng)穩(wěn)定（極點(diǎn)全部都在s左半平面上）的充要條件為：特征方程的全部系數(shù)為正值（ai>0

,ai不缺項(xiàng))；勞斯表的第1列也為正>0。2.勞斯判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)不穩(wěn)定(在s右半平面上有極點(diǎn)):勞斯表第1列數(shù)有正、負(fù)符號(hào)變化;在s右半平面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)等于勞斯表第1列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)在計(jì)算時(shí)，用一個(gè)正數(shù)去乘或除某整行，不影響穩(wěn)定性判斷解：勞斯表為系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：例1：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。-130（2）100（）1)勞斯陣第1列有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2)其符號(hào)變化2次，表示有2個(gè)極點(diǎn)在s的右半平面。例2：系統(tǒng)的特征方程為：試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性解：勞斯陣為：

1）勞斯表某行第1列系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零例3：

則

故第一列不全為正。3.兩種特殊情況下勞斯表的列寫及結(jié)論按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部第1列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)2[處理辦法]：可以用一個(gè)很小的正數(shù)ε來代替零值項(xiàng)，然后按通常的方法計(jì)算勞斯表中其余各項(xiàng)。[結(jié)論]若第1列系數(shù)中有符號(hào)變化，其變化的次數(shù)等于該系統(tǒng)在s平面右半面上極點(diǎn)數(shù)目；若第1列系數(shù)符號(hào)都為正，則表示系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根存在。[處理辦法]：①可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程;

②對(duì)此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行;③用通常的方法繼續(xù)求下面各行的系數(shù);

④解輔助方程，得各對(duì)稱根。

2）勞斯表某行系數(shù)全為零的情況。表明系統(tǒng)在Ｓ平面中有對(duì)稱于原點(diǎn)的根：大小相等，符號(hào)相反的一對(duì)實(shí)根;一對(duì)共軛虛根;對(duì)稱于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。[S][S]顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)。例4：

從第一列都大于零可見，好象系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意此時(shí)還要計(jì)算對(duì)稱根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：

此時(shí)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的?？刂乒こ躺险J(rèn)為是不穩(wěn)定的。168016801300輔助方程求導(dǎo)構(gòu)成新行例5(3-9-1)四、勞斯判據(jù)的其它應(yīng)用1.分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響K>0，30-K>0

系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯表

根據(jù)勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其第一列均為正數(shù)，即解：閉環(huán)傳函當(dāng)增益K=30時(shí)系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，出現(xiàn)等幅振蕩，因此臨界增益Kc=30∴

欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益K的取值范圍是0<K<30當(dāng)增益K>30時(shí)系統(tǒng)變得不穩(wěn)定系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率為

將上式代入原方程D(s)，得到以z為變量的新的特征方程，再利用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)其相對(duì)穩(wěn)定性

2、確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）1）若新勞斯表第1列均為正數(shù)，則所有根均在新虛軸(垂直線s=-s1

)的左邊，可判定系統(tǒng)有穩(wěn)定裕度s1

；2）若新勞斯表第1列有正、負(fù)數(shù)，數(shù)符號(hào)變化的次數(shù)等于系統(tǒng)位于新虛軸(垂直線s=-s1

)的右邊根的個(gè)數(shù)，可判定系統(tǒng)沒有穩(wěn)定裕度s1

應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，即絕對(duì)穩(wěn)定性。也可以判斷系統(tǒng)的是否具有一定的穩(wěn)定裕度s1

，即相對(duì)穩(wěn)定性。即檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線s=-s1

的右邊s=-s1=0這時(shí)可以移動(dòng)S平面的虛軸，如圖所示：例6已知系統(tǒng)的特征方程為

試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線s=-１的右邊。

解勞斯表為s

3115s

2820s

125/4s

020

第1列無符號(hào)改變，故沒有極點(diǎn)在S平面的右半平面，說明系統(tǒng)穩(wěn)定。

再令s=z-1，代入特征方程式，得

新的勞斯表為

z

312z

2512z

1-2/5z

012可看出，第1列符號(hào)改變2次，故有2個(gè)根在垂直線s=-1（即新虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕度達(dá)不到s1

＝1。s1＝13.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析及計(jì)算系統(tǒng)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義誤差傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的類型給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)一、系統(tǒng)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差定義系統(tǒng)的誤差常定義為：期望值－實(shí)際值2.穩(wěn)態(tài)誤差定義：系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，e(t)和e’(t)極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為3.誤差類型：給定誤差Er(s)和擾動(dòng)誤差En(s)2）輸出端定義1．2種定義誤差方法

1）輸入端定義①給定R(s)作用下誤差傳遞函數(shù)

e(s)Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)-+系統(tǒng)開環(huán)傳函二、誤差傳遞函數(shù)(3-11-1)給定誤差傳函令N(s)=0誤差定義1)：E(s)=R(s)-B(s)++②擾動(dòng)N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)

n(s)Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)令R(s)=0誤差定義1):E(s)=R(s)-B(s)=-B(s)擾動(dòng)誤差傳函誤差定義2)：∵R(s)=0期望值

C*(s)=0誤差傳函(3-11-2)于是②擾動(dòng)N(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)

n(s)令R(s)=0Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)Gc(s)G0(s)H(s)N(s)C(s)–+B(s)誤差定義1)：E(s)=R(s)-B(s)=-B(s)兩者之間的關(guān)系對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，上述兩種定義是等價(jià)的誤差定義2)：三、控制系統(tǒng)的類型

K1,v:控制環(huán)節(jié)的增益,串聯(lián)積分環(huán)節(jié)數(shù)

Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)

K2,:被控環(huán)節(jié)的增益，串聯(lián)積分環(huán)節(jié)數(shù)

K3:反饋環(huán)節(jié)增益

K=K1K2K3—系統(tǒng)的總開環(huán)增益；

j，i—系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)v

+

—

開環(huán)傳函中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為v+=0、

v+=1、v+=2、…v+=n分別是

0型系統(tǒng)、Ⅰ型系統(tǒng)、Ⅱ型系統(tǒng)、…n型系統(tǒng)；控制系統(tǒng)的類型:

G(s)分母中含有幾個(gè)積分環(huán)節(jié)v

+

數(shù)，則稱該系統(tǒng)為幾型系統(tǒng)K=K1K2K3—系統(tǒng)的總開環(huán)增益四、給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算?

給定和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差終值的計(jì)算：利用拉氏變換的終值定理?

給定和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)的計(jì)算a.可計(jì)算階躍、斜坡、拋物線三種典型輸入信號(hào)以外，其它輸入信號(hào)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差b.可提供誤差隨時(shí)間變化的信息（1）給定穩(wěn)態(tài)誤差終值計(jì)算顯然，esr

與R(s)和G(s)有關(guān)令N(s)=0假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的形式如下：Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)可見給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差esr

與外作用R(s)有關(guān)；與開環(huán)增益K有關(guān)；與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v+

(控制系統(tǒng)類型）有關(guān)G(s)1)單位階躍輸入r(t)=1(t)典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差位置誤差系數(shù)對(duì)于v+=0

型系統(tǒng)對(duì)于v+>=1型系統(tǒng)結(jié)論：1）0

型系統(tǒng)能跟蹤階躍輸入，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，欲減小穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增大開環(huán)增益K。但K的增大受系統(tǒng)穩(wěn)定性的制約。

2）若要求系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)使系統(tǒng)G(s)有一個(gè)以上的積分環(huán)節(jié)。也即采用Ⅰ型或Ⅱ型系統(tǒng)。（*）（*）記2)單位斜坡輸入r(t)=t式中速度誤差系數(shù)結(jié)論：1）０型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號(hào)，穩(wěn)態(tài)誤差趨于無窮大．

2）I型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入信號(hào)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差．

3）要使斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，需選用G(s)

II型系統(tǒng)．（*）（*）記式中加速度誤差系數(shù)3)單位拋物線輸入r(t)=t2/2結(jié)論：１）０型、Ⅰ型系統(tǒng)都不能跟蹤拋物線信號(hào)，穩(wěn)態(tài)誤差趨于無窮大．２）Ⅱ型系統(tǒng)能跟蹤拋物線信號(hào)，但有穩(wěn)態(tài)誤差．３）為使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，需使系統(tǒng)G(s)的積分環(huán)節(jié)增多，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越來越差。實(shí)際上，Ⅱ型以上的系統(tǒng)是很少見的。（*）（*）記小結(jié)：表3-12-1給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差esr與外作用R(s)有關(guān)。對(duì)同一系統(tǒng)加入不同的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。與G(s)的開環(huán)增益K有關(guān)；對(duì)有差系統(tǒng)，K↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性變差。與G(s)的積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v+

(控制系統(tǒng)類型）有關(guān)。積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性變差。指出：穩(wěn)態(tài)誤差的要求往往與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性的要求是矛盾的。④當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)由階躍，斜坡和拋物線分量組成時(shí)，即E(s)=R(s)-B(s)線性疊加++例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：若輸入信號(hào)為試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值。PD控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

增大PD控制器的增益，可以減小對(duì)于拋物線信號(hào)的跟蹤誤差解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為各靜態(tài)誤差系數(shù)輸入信號(hào)為系統(tǒng)在r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差終值為（2）給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)

e(s)在s=0的鄰域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)（*）兩邊取拉氏反變換，可得給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)的表達(dá)式（*）上式無窮誤差級(jí)數(shù)收斂于s=0的鄰域，Cn為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)（*）∵輸入信號(hào)r(t)是已知的，求穩(wěn)態(tài)誤差esr級(jí)數(shù)關(guān)鍵為求動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)Cn方法：1）由系統(tǒng)已知的開環(huán)傳函G(s)，寫出系統(tǒng)給定誤差傳函（按s的升冪排列）2）用上式的分子多項(xiàng)式除以它的分母多項(xiàng)式，得到一個(gè)s的升冪級(jí)數(shù)3）于是有4）對(duì)上式取拉氏反變換，得（*）給定穩(wěn)態(tài)誤差esr(t)級(jí)數(shù)為（*）例2（3-12-1)

設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試計(jì)算：1）2）解：1)系統(tǒng)的靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別為于是在三種典型輸入下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差終值：r(t)=tr(t)=t2/2r(t)=1(t)系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)(本例輸入信號(hào)r(t)的二階以上導(dǎo)數(shù)等于零，不必求n>=3的Cn)穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為：由于esr(t)不是t的函數(shù)，所以esr(t)

與其esr相等。

(1)r(t)=1(t)給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為：(2)r(t)=t給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為：穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)隨時(shí)間增長(zhǎng)，當(dāng)t

時(shí)，esr也趨于無窮大。

(3)r(t)=t2/2給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為：(4)結(jié)論：

一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值esr與穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)esr(t)是互相對(duì)應(yīng)的，如當(dāng)esr為無窮大，其esr(t)級(jí)數(shù)中至少含有時(shí)間t的一次方項(xiàng)

另外應(yīng)注意：

求靜態(tài)誤差系數(shù)Kp,Kv,Ka是對(duì)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)求極限，而求動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)Cn,是對(duì)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

e(s)進(jìn)行運(yùn)算（3）擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差終值的計(jì)算Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)B(s)E(s)誤差定義2)：顯然，

esn

與擾動(dòng)輸入N(s)、G0(s)和G(s)有關(guān)。假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)、G0(s)的形式如下：C(s)Gc(s)G0(s)H(s)R(s)–+++N(s)B(s)E(s)（*）1)單位階躍擾動(dòng)N(t)=1(t)典型擾動(dòng)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于v=0,=0

系統(tǒng)對(duì)于v>=1型系統(tǒng)結(jié)論：1）v=0

系統(tǒng)能抗階躍擾動(dòng)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，欲減小穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增大增益K1、

K3。2）若要求系統(tǒng)對(duì)階躍擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)使系統(tǒng)Gc(s)有一個(gè)以上的積分環(huán)節(jié)。對(duì)于v=0,

0系統(tǒng)2)單位斜坡擾動(dòng)N(t)=t對(duì)于v=0,

=0(

0)系統(tǒng)對(duì)于v>=2型系統(tǒng)結(jié)論：1）v=0系統(tǒng)不能抗斜坡擾動(dòng)信號(hào)，穩(wěn)態(tài)誤差趨于無窮大

2）v=1系統(tǒng)能抗斜坡擾動(dòng)信號(hào)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差

3）要使斜坡擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)使系統(tǒng)Gc(s)有兩個(gè)以上的積分環(huán)節(jié)對(duì)于v=1型系統(tǒng)3)單位拋物線擾動(dòng)N(t)=t2/2對(duì)于v=0,

=0(

0)系統(tǒng)對(duì)于v=2型系統(tǒng)對(duì)于v=1型系統(tǒng)對(duì)于v>2型系統(tǒng)2)v=2系統(tǒng)能抗拋物線擾動(dòng)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差．結(jié)論：3)使拋物線擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，應(yīng)使系統(tǒng)Gc(s)有三個(gè)以上的積分環(huán)節(jié)。1)v

=0,1系統(tǒng)不能抗拋物線擾動(dòng)，穩(wěn)態(tài)誤差趨于無窮大小結(jié)：表3-12-2擾動(dòng)下的穩(wěn)態(tài)誤差esn與擾動(dòng)信號(hào)N(s)有關(guān)。對(duì)同一系統(tǒng)加入不同的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。與K1、K2、K3增益有關(guān)；對(duì)有差系統(tǒng)，K1、K3↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，與控制器Gc(s)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v有關(guān)。積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，E(s)=C*(s)-C(s)=-C(s)④當(dāng)系統(tǒng)的擾動(dòng)信號(hào)由階躍，斜坡和拋物線分量組成時(shí)，即v=0,

0v=0,=0（4）擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)的計(jì)算2）用上式的分子多項(xiàng)式除以它的分母多項(xiàng)式，得到一個(gè)s的升冪級(jí)數(shù)3）于是有4）對(duì)上式取拉氏反變換，得（*）方法：1）由系統(tǒng)已知的G(s)、G0(s)，寫出系統(tǒng)擾動(dòng)誤差傳函（按s的升冪排列）求穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)esn關(guān)鍵為求動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)Bn（*）例3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，如擾動(dòng)n(t)是1(t)和t，試求系統(tǒng)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差終值及誤差級(jí)數(shù)。

C(s)Gc(s)G0(s)R(s)–+++N(s)B(s)E(s)解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

系統(tǒng)的擾動(dòng)誤差傳函

利用終值定理可得擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差終值單位階躍擾動(dòng)時(shí),N(s)=1/s單位斜坡擾動(dòng)時(shí),N(s)=1/s2系統(tǒng)的擾動(dòng)誤差傳函

(本例輸入信號(hào)r(t)的1階以上導(dǎo)數(shù)等于零，不必求n>=2的Bn)穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為：由于esn(t)不是t的函數(shù)，所以esn(t)

與其esn相等。

(1)n(t)=1(t)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)(2)r(t)=t擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為：穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)隨時(shí)間增長(zhǎng)，當(dāng)t

時(shí)，esn也趨于無窮大。

五、提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法從前述可知：1）在系統(tǒng)中增加G(s)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)或增大開環(huán)增益,可減小系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差；Gc(s)G0(s)H(s)R(s)C(s)–+++N(s)