2024屆湖南省邵陽市育英高級中學數學高一第二學期期末經典試題含解析

2024屆湖南省邵陽市育英高級中學數學高一第二學期期末經典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．過兩點，的直線的傾斜角為，則實數=（）A．-1 B．1C． D．2．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，，，則解的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．不確定3．已知直線與平行，則等于()A．或 B．或 C． D．4．點到直線的距離是（）A． B． C．3 D．5．設，則（）A． B． C． D．6．如圖所示，在一個長、寬、高分別為2、3、4的密封的長方體裝置中放一個單位正方體禮盒，現以點D為坐標原點，、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則正確的是（）A．的坐標為 B．的坐標為C．的長為 D．的長為7．已知是非零向量，若，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．從集合中隨機抽取一個數，從集合中隨機抽取一個數，則向量與向量垂直的概率為()A． B． C． D．9．當時，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．（2017新課標全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設，為單位向量，其中，，且在方向上的射影數量為2，則與的夾角是___．12．從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從身高，，三組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取18人參加一項活動，則從身高在內的學生中抽取的人數應為________.13．設向量，，且，則______．14．已知兩個正實數x，y滿足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，則實數m的取值范圍是______________15．已知圓及點，若滿足：存在圓C上的兩點P和Q，使得，則實數m的取值范圍是________.16．已知函數的部分圖象如圖所示，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數列是等差數列，其前n項和為；數列是等比數列，公比大于0，其前項和為．已知，，，．（1）求數列和數列的通項公式；（2）設數列的前n項和為，若對任意的恒成立，求實數m的取值范圍．18．如圖，三角形中，，是邊長為l的正方形，平面底面，若分別是的中點.（1）求證：底面；（2）求幾何體的體積.19．數列滿足，.（1）試求出，，；（2）猜想數列的通項公式并用數學歸納法證明.20．給定常數，定義函數，數列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得成等差數列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.21．某校高一年級有學生480名，對他們進行政治面貌和性別的調查，其結果如下：性別團員群眾男80女180（1）若隨機抽取一人，是團員的概率為，求，；（2）在團員學生中，按性別用分層抽樣的方法，抽取一個樣本容量為5的樣本，然后在這5名團員中任選2人，求兩人中至多有1個女生的概率．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

根據兩點的斜率公式及傾斜角和斜率關系,即可求得的值.【題目詳解】過兩點,的直線斜率為由斜率與傾斜角關系可知即解得故選:A【題目點撥】本題考查了兩點間的斜率公式,直線的斜率與傾斜角關系,屬于基礎題.2、B【解題分析】

由題得，即得B＜A，即得三角形只有一個解.【題目詳解】由正弦定理得,所以B只有一解，所以三角形只有一解.故選：B【題目點撥】本題主要考查正弦定理判定三角形的個數，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、C【解題分析】

由題意可知且，解得．故選．4、D【解題分析】

根據點到直線的距離求解即可.【題目詳解】點到直線的距離是.故選：D【題目點撥】本題主要考查了點到線的距離公式,屬于基礎題.5、C【解題分析】

首先化簡，可得到大小關系，再根據，即可得到的大小關系.【題目詳解】，，.所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查指數，對數的比較大小，熟練掌握指數和對數函數的性質為解題的關鍵，屬于簡單題.6、D【解題分析】

根據坐標系寫出各點的坐標分析即可.【題目詳解】由所建坐標系可得：，，，.故選：D.【題目點撥】本題考查空間直角坐標系的應用，考查空間中距離的求法，考查計算能力，屬于基礎題.7、D【解題分析】

由得，這樣可把且表示出來．【題目詳解】∵，∴，，∴，∴，故選D．【題目點撥】本題考查向量的數量積，掌握數量積的定義是解題關鍵．8、B【解題分析】

通過向量垂直的條件即可判斷基本事件的個數，從而求得概率.【題目詳解】基本事件總數為，當時，，滿足的基本事件有，，，共3個，故所求概率為，故選B.【題目點撥】本題主要考查古典概型，計算滿足條件的基本事件個數是解題的關鍵，意在考查學生的分析能力.9、A【解題分析】

當x＞0時，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立?m＜（x）min，利用基本不等式可求得（x）min＝6，從而可得實數m的取值范圍．【題目詳解】當x＞0時，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立?當x＞0時，不等式m＜x恒成立?m＜（x）min，當x＞0時，x26（當且僅當x＝3時取“＝”），因此（x）min＝6，所以m＜6，故選A．【題目點撥】本題考查函數恒成立問題，分離參數m是關鍵，考查等價轉化思想與基本不等式的應用，屬于中檔題．10、B【解題分析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用在方向上的射影數量為2可得：，即可整理得：，問題得解.【題目詳解】因為在方向上的射影數量為2，所以，整理得：又，為單位向量，所以.設與的夾角，則所以與的夾角是【題目點撥】本題主要考查了向量射影的概念及方程思想，還考查了平面向量夾角公式應用，考查轉化能力及計算能力，屬于中檔題.12、3【解題分析】

先由頻率之和等于1得出的值，計算身高在，，的頻率之比，根據比例得出身高在內的學生中抽取的人數.【題目詳解】身高在，，的頻率之比為所以從身高在內的學生中抽取的人數應為故答案為：【題目點撥】本題主要考查了根據頻率分布直方圖求參數的值以及分層抽樣計算各層總數，屬于中檔題.13、【解題分析】

根據即可得出，進行數量積的坐標運算即可求出x．【題目詳解】∵；∴；∴x＝﹣1；故答案為﹣1．【題目點撥】考查向量垂直的充要條件，以及向量數量積的坐標運算，屬于基礎題．14、(-∞,1)【解題分析】

由x+2y（x+2y）（）（1），運用基本不等式可得x+2y的最小值，由題意可得m＜x+2y的最小值．【題目詳解】兩個正實數x，y滿足2，則x+2y（x+2y）（）（1）（1+2）＝1，當且僅當x＝2y＝2時，上式取得等號，x+2y﹣m＞0，即為m＜x+2y，由題意可得m＜1．故答案為：（﹣∞，1）．【題目點撥】本題考查基本不等式的運用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立問題解法，注意運用轉化思想，屬于中檔題．15、【解題分析】

設出點P、Q的坐標，利用平面向量的坐標運算以及兩圓相交的條件求出實數m的取值范圍.【題目詳解】設點，由得，由點在圓上，得，又在圓上，，與有交點，則，解得故實數m的取值范圍為.故答案為：【題目點撥】本題考查了向量的坐標運算、利用圓與圓的位置關系求參數的取值范圍，屬于中檔題.16、【解題分析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當時，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結合即可得解.【題目詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當時，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【題目點撥】本題主要考查了三角函數圖象的性質及觀察能力，還考查了轉化思想及計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；；（2）【解題分析】

(1)根據等比數列與等差數列,分別設公比與公差再用基本量法求解即可.(2)由(1)有再錯位相減求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.【題目詳解】解：（1）設等比數列的公比為q,由,,可得．∵,可得．故；設等差數列的公差為d,由,得,由,得,∴．故；（2）根據題意知,①②①—②得∴,對任意的恒成立,∴【題目點撥】本題主要考查了等差等比數列的基本量求解方法以及錯位相減和不等式恒成立的問題.屬于中檔題.18、(1)證明見解析；(2).【解題分析】試題分析：（1）通過面面平行證明線面平行，所以取的中點，的中點，連接.只需通過證明HG//BC，HF//AB來證明面GHF//面ABC,從而證明底面．（2）原圖形可以看作是以點C為頂點，ABDE為底的四棱錐，所四棱錐的體積公式可求得體積．試題解析：（1）取的中點，的中點，連接.（如圖）∵分別是和的中點，∴，且，，且.又∵為正方形，∴，.∴且.∴為平行四邊形.∴，又平面，∴平面.（2）因為，∴，又平面平面，平面，∴平面.∵三角形是等腰直角三角形，∴.∵是四棱錐，∴.【題目點撥】證明線面平行時,先直觀判斷平面內是否存在一條直線和已知直線平行,若找不到這樣的直線,可以考慮通過面面平行來推導線面平行,應用線面平行性質的關鍵是如何確定交線的位置,有時需要經過已知直線作輔助平面來確定交線．在應用線面平行、面面平行的判定定理和性質定理進行平行轉化時,一定要注意定理成立的條件,嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如把線面平行轉化為線線平行時,必須說清經過已知直線的平面與已知平面相交,則直線與交線平行．19、（1）,,（2），證明見詳解.【解題分析】

（1）由題意得,在中分別令可求結果；（2）由數列前四項可猜想,運用數學歸納法可證明.【題目詳解】解：（1）,當時,,,當時,,,當時,,,所以,,（2）猜想下面用數學歸納法證明：假設時,有成立,則當時,有,故對成立.【題目點撥】該題考查由數列遞推式求數列的項、通項公式,考查數學歸納法,考查學生的運算求解能力.20、見解析【解題分析】（1）因為，，故，（2）要證明原命題，只需證明對任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；若，則顯然成立綜上，恒成立，即對任意的，（3）由（2）知，若為等差數列，則公差，故n無限增大時，總有此時，即故，即，當時，等式成立，且時，，此時為等差數列，滿足題意；若，則，此時，也滿足題意；綜上，滿足題意的的取值范圍是．【考點定位】考查數列與函數的綜合應用，屬難題．21、（1），；（2）．【解題分析】

（1）隨機抽取一人，是團員的概率為，得，再由總人數為480得的另一個關系式，聯立求解，即可得出結論；（2）根據團員男女生人數的比例，可求出抽取一個樣本容量為5的樣本，男生為2人，