北京市第四中學(xué)順義分校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

北京市第四中學(xué)順義分校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，則（）A． B． C． D．-12．已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)直線l1：3x+2ay-5=0，l2：3a-1x-ay-2=0，若l1與A．-16 B．0或4．若，，且，則與的夾角是（）A． B． C． D．5．如圖：樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，他們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）A．B．C．D．6．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出以下四個(gè)結(jié)論：①D1C∥平面A1ABB1②A1D1與平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．的弧度數(shù)是（）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則（）A． B．C． D．9．平面內(nèi)任一向量都可以表示成的形式，下列關(guān)于向量的說(shuō)法中正確的是（）A．向量的方向相同 B．向量中至少有一個(gè)是零向量C．向量的方向相反 D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，10．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_______.12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列的前1025項(xiàng)的和___________.13．已知，則_________.14．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)____15．已知等比數(shù)列中，，，則該等比數(shù)列的公比的值是______.16．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的值為_(kāi)____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知,函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若對(duì),不等式恒成立,求a的取值范圍.19．已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前項(xiàng)和．20．某校高一年級(jí)有學(xué)生480名，對(duì)他們進(jìn)行政治面貌和性別的調(diào)查，其結(jié)果如下：性別團(tuán)員群眾男80女180（1）若隨機(jī)抽取一人，是團(tuán)員的概率為，求，；（2）在團(tuán)員學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法，抽取一個(gè)樣本容量為5的樣本，然后在這5名團(tuán)員中任選2人，求兩人中至多有1個(gè)女生的概率．21．已知等比數(shù)列的公比，且的等差中項(xiàng)為10，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

化簡(jiǎn)，分別計(jì)算，，代入得到答案.【題目詳解】正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的計(jì)算，將是解題的關(guān)鍵，也可以建立直角坐標(biāo)系解得答案.2、D【解題分析】；，與沒(méi)有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.3、B【解題分析】

通過(guò)兩條直線平行的關(guān)系，可建立關(guān)于a的方程，解方程求得結(jié)果?！绢}目詳解】l1//解得：a=0或-本題正確選項(xiàng)：B【題目點(diǎn)撥】本題考察直線位置關(guān)系問(wèn)題。關(guān)鍵是通過(guò)兩直線平行，得到：A14、B【解題分析】

根據(jù)相互垂直的向量數(shù)量積為零，求出與的夾角.【題目詳解】由題有，即，故，因?yàn)椋?故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量夾角的求解，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

從圖形中可以看出樣本A的數(shù)據(jù)均不大于10，而樣本B的數(shù)據(jù)均不小于10，A中數(shù)據(jù)波動(dòng)程度較大，B中數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，由此得到結(jié)論．【題目詳解】∵樣本A的數(shù)據(jù)均不大于10，而樣本B的數(shù)據(jù)均不小于10，，由圖可知A中數(shù)據(jù)波動(dòng)程度較大，B中數(shù)據(jù)較穩(wěn)定，.故選B.6、B【解題分析】

在①中，由，得到平面；在②中，由，得到平面；在③中，由，得到與平面相交但不垂直；在④中，由平面，得到平面平面，即可求解．【題目詳解】由正方體中，可得：在①中，因?yàn)?，平面，平面，∴平面，故①正確；在②中，∵，平面，平面，∴平面，故②錯(cuò)誤；在③中，∵，∴與平面相交但不垂直，故③錯(cuò)誤；在④中，∵平面，平面，∴平面平面，故④正確．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．7、B【解題分析】

由角度與弧度的關(guān)系轉(zhuǎn)化．【題目詳解】-150．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查角度與弧度的互化，解題關(guān)鍵是掌握關(guān)系式：．8、B【解題分析】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)得，即可求解，得到答案．【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)式、對(duì)數(shù)式以及正切函數(shù)值的比較大小問(wèn)題，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及正切函數(shù)的性質(zhì)得到的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

根據(jù)平面向量的基本定理，若平面內(nèi)任一向量都可以表示成的形式，構(gòu)成一個(gè)基底，所以向量不共線．【題目詳解】因?yàn)槿我幌蛄浚鶕?jù)平面向理的基本定理得，所以向量不共線，故A，C不正確.是一個(gè)基底，所以不能為零向量，故B不正確.因?yàn)椴还簿€，且不能為零向量，所以若，當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的基本定理，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

利用三角函數(shù)定義即可求得：，，再利用余弦的二倍角公式得解.【題目詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離所以，所以故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)定義及余弦的二倍角公式，考查計(jì)算能力，屬于較易題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解題分析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，代值求解即可.【題目詳解】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：3.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.12、2039【解題分析】

根據(jù)所給分段函數(shù),依次列舉出當(dāng)時(shí)的值,即可求得的值.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,共1個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共3個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共7個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共15個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共31個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共63個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共127個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共255個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共511個(gè)2.當(dāng)時(shí),,,共1個(gè)2.所以由以上可知故答案為:2039【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,由所給式子列舉出各個(gè)項(xiàng),即可求和,屬于中檔題.13、【解題分析】由題意可得：點(diǎn)睛：熟記同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，特別是要注意公式中的符號(hào)問(wèn)題；注意公式的變形應(yīng)用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．這是解題中常用到的變形，也是解決問(wèn)題時(shí)簡(jiǎn)化解題過(guò)程的關(guān)鍵所在．14、1．【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】解：由實(shí)數(shù)滿足作出可行域如圖，

由圖形可知：．

令，化為，

由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為1．

故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15、【解題分析】

根據(jù)等比通項(xiàng)公式即可求解【題目詳解】故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列公比的求解，屬于基礎(chǔ)題16、【解題分析】

將已知等式，兩邊同取以為底的對(duì)數(shù)，求出，利用換底公式，即可求解.【題目詳解】，，，.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查指對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及應(yīng)用換底公式求值，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解題分析】

討論的取值范圍，分別計(jì)算，最后得到答案.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意（2）當(dāng)時(shí)，不合題意舍去（3）當(dāng)時(shí)，綜上所述【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，忽略二次系數(shù)為0的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.18、(1)或;(2)或.【解題分析】

（1）代入，把項(xiàng)都移到左邊，合并同類項(xiàng)再因式分解，即可得到本題答案；（2）等價(jià)于，考慮的圖象不在圖象的上方，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可得到本題答案.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),由得，即,解得,或，所以,所求不等式的解集為或；(2)等價(jià)于,所以當(dāng)時(shí)，的圖象在圖象的下方，所以或所以,,或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次不等式以及利用數(shù)形結(jié)合的方法解決不等式的恒成立問(wèn)題.19、（1），（2）【解題分析】

（1）先根據(jù)成等比數(shù)列,可求出公差，即得的通項(xiàng)公式；根據(jù)可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法計(jì)算它的前n項(xiàng)和，即得?！绢}目詳解】（1）由題得，，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，解得，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，可得，整理得，數(shù)列是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由題得，，前n項(xiàng)和，，兩式相減可得，整理化簡(jiǎn)得.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，對(duì)計(jì)算能力有一定要求。20、（1），；（2）．【解題分析】

（1）隨機(jī)抽取一人，是團(tuán)員的概率為，得，再由總?cè)藬?shù)為480得的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立求解，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)團(tuán)員男女生人數(shù)的比例，可求出抽取一個(gè)樣本容量為5的樣本，男生為2人，女生為3人，將5人編號(hào)，列出從5人中抽取2人的所有基本事件，求出至多有1個(gè)女生的基本事件的個(gè)數(shù)，按古典概型求概率，即可求解.【題目詳解】解：（1）由題意得：，解得，．（2）在團(tuán)員學(xué)生中，按性別用分層抽樣的方法，抽取一個(gè)樣本容量為5的樣本，抽中男生：人，抽中女生：人，2名男生記為，3名女生記為，在這5名團(tuán)員中任選2人，基本事件有：共有10個(gè)基本事件，兩人中至多有1個(gè)女生包含的基本事件個(gè)數(shù)有7個(gè)，∴兩人