北京市東城區(qū)第五中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

北京市東城區(qū)第五中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．等比數(shù)列中,,,則公比()A．1 B．2 C．3 D．42．在等差數(shù)列中，若，且它的前項(xiàng)和有最大值，則使成立的正整數(shù)的最大值是（）A．15 B．16 C．17 D．143．已知圓，圓，分別為圓上的點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．4．在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P為CE上的任意一點(diǎn)，若，則（）A．2 B． C．3 D．不確定5．在中，若，，，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．66．若，，則方程有實(shí)數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．7．?dāng)?shù)列滿足“對(duì)任意正整數(shù)，都有”的充要條件是（）A．是等差數(shù)列 B．與都是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．與都是等差數(shù)列且公差相等8．等差數(shù)列an的公差d<0，且a12=a212，則數(shù)列aA．9 B．10 C．10和11 D．11和129．已知，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A． B． C． D．10．下列結(jié)論不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列的首項(xiàng)，且（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式是__________．12．已知數(shù)列中，，，設(shè)，若對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．13．中，，，，則________.14．已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)（且）取得最大值，則時(shí)，的值為_(kāi)_________．15．方程的解集為_(kāi)___________.16．已知圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓M與圓的位置關(guān)系是_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：是數(shù)列中的項(xiàng)；（3）若正整數(shù)滿足如下條件：存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，為遞增的等比數(shù)列，求的值所構(gòu)成的集合.18．已知集合，集合.（1）求；（2）若不等式的解集為，求不等式的解集.19．中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求角的大??；（2）設(shè)，的面積為，求的值.20．已知、、是銳角中、、的對(duì)邊，是的面積，若，，．（1）求；（2）求邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度．21．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長(zhǎng)為的菱形，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

將與用首項(xiàng)和公比表示出來(lái)，解方程組即可.【題目詳解】因?yàn)椋?，故：，且，解得：，即，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查求解等比數(shù)列的基本量，屬基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

由題意可得，，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得結(jié)論．【題目詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，又，∴，，∴，又，，∴成立的正整數(shù)的最大值是17，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的求和公式，屬中檔題．3、D【解題分析】

求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【題目詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為,，半徑為3，由圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑之和，即，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的方程的求解，以及兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理利用兩個(gè)圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可推出，，所以有，然后利用平面向量共線的推論即可求出【題目詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為則在中有，，所以，所以有，同理可得因?yàn)樗砸驗(yàn)槿c(diǎn)共線，所以有，即故選：C【題目點(diǎn)撥】遇到三點(diǎn)共線時(shí)，要聯(lián)想到平面向量共線的推論：三點(diǎn)共線，若，則.5、D【解題分析】

直接運(yùn)用正弦定理求解即可.【題目詳解】由正弦定理可知中：，故本題選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、B【解題分析】方程有實(shí)數(shù)根，則：，即：，則：，如圖所示，由幾何概型計(jì)算公式可得，滿足題意的概率值為：.本題選擇B選項(xiàng).7、D【解題分析】

將變形為和，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得出與都是等差數(shù)列且公差相等，反過(guò)來(lái)，利用等差數(shù)列的定義得到，變形即可得出，從而得到“”的充要條件是“與都是等差數(shù)列且公差相等”.【題目詳解】由得：即數(shù)列與均為等差數(shù)列且公差相等，故“”是“與都是等差數(shù)列且公差相等”的充分條件反之，與都是等差數(shù)列且公差相等必有成立變形得：故“與都是等差數(shù)列且公差相等”是“”的必要條件綜上，“”的充要條件是“與都是等差數(shù)列且公差相等”故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的判斷，考查了充分必要條件的判斷，屬于中等題.8、C【解題分析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)得到a11=0，再判斷S10【題目詳解】等差數(shù)列an的公差d<0，且a根據(jù)正負(fù)關(guān)系：S10或S故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，Sn的最大值，將Sn的最大值轉(zhuǎn)化為9、D【解題分析】

根據(jù)向量線性運(yùn)算可得，由坐標(biāo)可得結(jié)果.【題目詳解】故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，不等式兩邊乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方程，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C、D選項(xiàng)，不等式兩邊同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不改變，故C、D正確.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】，得（）,兩式相減得，即（），，得，經(jīng)檢驗(yàn)n=1不符合。所以，12、【解題分析】∵，（，），當(dāng)時(shí)，，，…，，并項(xiàng)相加，得：，

∴，又∵當(dāng)時(shí)，也滿足上式，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴

，令（），則，∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上是增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則須使，即對(duì)恒成立，即的最小值，可得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題通過(guò)并項(xiàng)相加可知當(dāng)時(shí)，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加可知，通過(guò)求導(dǎo)可知是增函數(shù)，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，由恒成立思想，即可得結(jié)論.13、7【解題分析】

在中，利用余弦定理得到，即可求解，得到答案.【題目詳解】由余弦定理可得，解得.故答案為：7.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的余弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、3【解題分析】

先將函數(shù)的解析式利用降冪公式化為，再利用輔助角公式化為，其中，由題意可知與的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及求出的值．【題目詳解】，其中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則，，所以，，解得，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)最值，解題時(shí)首先應(yīng)該利用降冪公式、和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)為的形式，本題中用到了與之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．15、或【解題分析】

首先將原方程利用輔助角公式化簡(jiǎn)為，再求出的值即可.【題目詳解】由題知：，，.所以或，.解得：或.所以解集為：或.故答案為：或【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦函數(shù)的圖像及特殊角的三角函數(shù)值，同時(shí)考查了輔助角公式，屬于中檔題.16、相交【解題分析】

根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，求出的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，即，，則圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則，，，，即兩個(gè)圓相交．故答案為：相交．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式求出的值是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析【解題分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì),結(jié)合求得等再求的通項(xiàng)公式.

(2)先求出,再證明滿足的通項(xiàng)公式.

(3)由數(shù)列,,為遞增的等比數(shù)列可得,從而根據(jù)的通項(xiàng)公式求的值所構(gòu)成的集合.【題目詳解】(1)因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,故,故或,又公差,所以,故,故.

(2)由可得,故,若是數(shù)列中的項(xiàng),則即,即,故是數(shù)列中的項(xiàng)；(3)由數(shù)列，，為遞增的等比數(shù)列,則即.由題意存在正整數(shù)使得等式成立,因?yàn)?故能被5整除,設(shè),則,又為整數(shù),故為整數(shù)設(shè),即，故,解得,又,故,不妨設(shè),則.即又當(dāng)時(shí),由得滿足條件.綜上所述,.【題目點(diǎn)撥】(1)本題考查等差數(shù)列性質(zhì)：若是等差數(shù)列，且，則(2)證明數(shù)列中是否滿足某項(xiàng)或者存在正整數(shù)使得某三項(xiàng)為等比數(shù)列時(shí),均先根據(jù)條件列出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式,再利用正整數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷,有一定的難度.18、（1）（2）【解題分析】

（1）由一元二次不等式的解法分別求出集合，再求交集即可；（2）由待定系數(shù)法求得，再代入不等式，解不等式即可得解.【題目詳解】解：（1）因?yàn)榧?，集合，即；?）由不等式的解集為，則不等式等價(jià)于，即，即，即不等式等價(jià)于，即，解得或，故不等式的解集為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理可將已知等式化為，利用兩角和差余弦公式展開(kāi)整理可求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式可構(gòu)造方程求出；利用余弦定理可直接求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由正弦定理可得：，即（2）設(shè)的面積為，則由得：，解得：由余弦定理得：【題目點(diǎn)撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠通過(guò)正弦定理將邊化角，得到角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而根據(jù)角的范圍求得結(jié)果.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三角形的面積公式結(jié)合為銳角可求出的值；（2）利用余弦定理可求出邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度．【題目詳解】（1）由三角形的面積公式可得，得.為銳角，因此，；（2）由余弦定理得，因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角形的面積公式求角，同時(shí)也考查了利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中點(diǎn)，