三湘名校教育聯(lián)盟2024屆高一數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

三湘名校教育聯(lián)盟2024屆高一數(shù)學第二學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則()A． B． C． D．2．在正方體中，與所成的角為（）A．30° B．90° C．60° D．120°3．已知是第二象限角,（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．5．下列函數(shù)的最小值為的是（）A． B．C． D．6．圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離7．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列命題中，正確的命題序號是①函數(shù)的最小正周期為②函數(shù)的振幅為③函數(shù)的一條對稱軸方程為④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是⑤函數(shù)的解析式為A．③⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③8．已知點G為的重心，若，，則=()A． B． C． D．9．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位10．已知，則滿足的關(guān)系式是A．，且 B．，且C．，且 D．，且二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則________.12．某貨船在處看燈塔在北偏東方向，它以每小時18海里的速度向正北方向航行，經(jīng)過40分鐘到達處，看到燈塔在北偏東方向，此時貨船到燈塔的距離為______海里.13．已知點A(-a,0),B(a,0)(a>0)，若圓(x-2)2+(y-2)2=2上存在點C14．已知正方形，向正方形內(nèi)任投一點，則的面積大于正方形面積四分之一的概率是______．15．中，若，，則角C的取值范圍是________.16．利用直線與圓的有關(guān)知識求函數(shù)的最小值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．三角比內(nèi)容豐富，公式很多，若仔細觀察、大膽猜想、科學求證，你也能發(fā)現(xiàn)其中的一些奧秘.請你完成以下問題：（1）計算：,,；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，請你猜出一個一般的結(jié)論用數(shù)學式子加以表達，并證明你的結(jié)論，寫出推理過程.18．等差數(shù)列，等比數(shù)列，，，如果，（1）求的通項公式（2），求的最大項的值（3）將化簡，表示為關(guān)于的函數(shù)解析式19．已知以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標原點O，且與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求△OAB的面積；（2）設(shè)直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圓心C到直線l的距離．20．如圖，在平行四邊形中，邊所在直線的方程為，點.（Ⅰ）求直線的方程；（Ⅱ）求邊上的高所在直線的方程.21．如圖，某人在離地面高度為的地方，測得電視塔底的俯角為，塔頂?shù)难鼋菫椋箅娨曀母?（精確到）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】.分子分母同時除以，即得：.故選D.2、C【解題分析】

把異面直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為相交直線與所成的角，利用為正三角形，即可求解．【題目詳解】連結(jié)，則，所以相交直線與所成的角，即為異面直線與所成的角，連結(jié)，則是正三角形，所以，即異面直線與所成的角，故選C．【題目點撥】本題主要考查了空間中異面直線及其所成角的求法，其中根據(jù)異面直線的定義，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.4、A【解題分析】

分別考慮即時；即時，原不等式的解集，最后求出并集?！绢}目詳解】當即時，，則等價于，即，解得：，當即時，，則等價于，即，所以，綜述所述，原不等式的解集為故答案選A【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式的解集，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】分析：利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤，注意“一正二定三相等”的使用法則．詳解：A.時顯然不滿足條件；B.其最小值大于1．D.令因此不正確．故選C.點睛：本題考查基本不等式，考查通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．6、B【解題分析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選C．考點：圓與圓的位置關(guān)系．7、A【解題分析】

根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)逐一判定．【題目詳解】由圖象可知，，最大值為，，因為圖象過點，，由，即可判定錯，正確，由得對稱軸方程為，，故正確；由，，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故錯；故選：A【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)圖象求正弦型函數(shù)函數(shù)的解析式，及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．8、B【解題分析】

由重心分中線為，可得，又（其中是中點），再由向量的加減法運算可得．【題目詳解】設(shè)是中點，則，又為的重心，∴．故選B．【題目點撥】本題考查向量的線性運算，解題關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)，即重心分中線為兩段．9、C【解題分析】

考查三角函數(shù)圖象平移，記得將變量前面系數(shù)提取.【題目詳解】，所以只需將向右平移個單位.所以選擇C【題目點撥】易錯題，一定要將提出，否則容易錯選D.10、B【解題分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【題目詳解】∵，∴，∵，∴，又，∴，故選B．【題目點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)奇偶性，先計算，再計算【題目詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以.因為當時，所以.故答案為【題目點撥】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于?？碱}型.12、【解題分析】

由題意利用方位角的定義畫出示意圖，再利用三角形，解出的長度．【題目詳解】解：由題意畫出圖形為：因為，，所以，又由于某船以每小時18海里的速度向正北方向航行，經(jīng)過40分鐘航行到，所以（海里）．在中，利用正弦定理得：，所以；故答案為：．【題目點撥】此題考查了學生對于題意的正確理解，還考查了利用正弦定理求解三角形及學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、3【解題分析】

利用參數(shù)方程假設(shè)C點坐標，表示出AC和BC，利用AC?BC=0可得到a【題目詳解】設(shè)C∴∵∠ACB=90°∴∴當sinα+∴0<a≤3本題正確結(jié)果：3【題目點撥】本題考查圓中參數(shù)范圍求解的問題，關(guān)鍵是能夠利用圓的參數(shù)方程，利用向量數(shù)量積及三角函數(shù)關(guān)系求得最值.14、【解題分析】

向正方形內(nèi)任投一點，所有等可能基本事件構(gòu)成正方形區(qū)域，當?shù)拿娣e大于正方形面積四分之一的所有基本事件構(gòu)成區(qū)域矩形區(qū)域，由面積比可得概率值.【題目詳解】如圖邊長為1的正方形中，分別是的中點，當點在線段上時，的面積為，所以的面積大于正方形面積四分之一，此時點應(yīng)在矩形內(nèi)，由幾何概型得：，故填.【題目點撥】本題考查幾何概型，利用面積比求概率值，考查對幾何概型概率計算.15、；【解題分析】

由，利用正弦定理邊角互化以及兩角和的正弦公式可得，進而可得結(jié)果.【題目詳解】由正弦定理可得，又，則,即，則，C是三角形的內(nèi)角，則，故答案為：.【題目點撥】本題注意考查正弦定理以及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理主要有三種應(yīng)用：求邊和角、邊角互化、外接圓半徑.16、【解題分析】

令得，轉(zhuǎn)化為z==，再利用圓心到直線距離求最值即可【題目詳解】令，則故轉(zhuǎn)化為z==，表示上半個圓上的點到直線的距離的最小值的5倍，即故答案為3【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2）.【解題分析】

（1）依據(jù)誘導公式以及兩角和的正弦公式即可計算出；（2）觀察（1）中角度的關(guān)系，合情推理出一般結(jié)論，然后利用兩角和的正弦公式即可證明．【題目詳解】（1）同理可得，，．（2）由（1）知，可以猜出：．證明如下：．【題目點撥】本題主要考查學生合情推理論證能力，以及誘導公式和兩角和的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)和邏輯推理能力．18、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，運用等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公比，即可得到所求；（2）判斷的單調(diào)性，可得所求最大值；（3）討論當時，當時，由分組求和，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.【題目詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，由，，可得，，解得：，數(shù)列的通項公式：.（2）由題意得，，當時，遞增；當時，遞減；由，可得的最大項的值為.（3）由題意得，當時，；當時，綜上函數(shù)解析式【題目點撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的分組求和，考查化簡運算能力，屬于中檔題.19、(1)4(2)【解題分析】

（1）求得圓的半徑，設(shè)出圓的標準方程，由此求得兩點坐標，進而求得三角形的面積.（2）根據(jù)，判斷出，由直線的斜率求得直線的斜率，以此列方程求得，根據(jù)直線和圓相交，圓心到直線的距離小于半徑，確定，同時得到圓心到直線的距離.【題目詳解】（1）根據(jù)題意，以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標原點O，設(shè)圓C的半徑為r，則r2＝a2，圓C的方程為（x﹣a）2+（y）2＝a2，令x＝0可得：y＝0或，則B（0，），令y＝0可得：x＝0或2a，則A（2a，0），△OAB的面積S|2a|×||＝4；（2）根據(jù)題意，直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，則|CP|＝|CQ|，又由|OP|＝|OQ|，則直線OC與PQ垂直，又由直線l即PQ的方程為y＝﹣2x+4，則KOC，解可得a＝±2，當a＝2時，圓心C的坐標為（2，1），圓心到直線l的距離d，r，r＞d，此時直線l與圓相交，符合題意；當a＝2時，圓心C的坐標為（﹣2，﹣1），圓心到直線l的距離d，r，r＜d，此時直線l與圓相離，不符合題意；故圓心C到直線l的距離d．【題目點撥】本小題