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第七章共形映射第一節(jié)解析變換的特性第二節(jié)分式線性變換2011年6月3日第二十四講第一節(jié)解析變換的特性1.解析變換的保域2.解析變換的保角性——

導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.單葉解析變換的共形性定理7.1（保域定理）設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒等于常數(shù)，則D的像G

=f(D)也是一個(gè)區(qū)域。證明先證明G是開集，由解析函數(shù)的零點(diǎn)孤立性,一、解析變換的保域性由Rouche定理即G為開集.其次證明G是區(qū)域，即證個(gè)區(qū)域，故D內(nèi)有一折線由于D是一連接z1及z2,于是C在w=f(z)的像是G內(nèi)連接w1,

w2的曲線,推論7.2

設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，則D的像G

=f(z)也是一個(gè)區(qū)域。證明因f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉,故f(z)在區(qū)域D不恒為常數(shù).注1定理7.1可推廣為:“w=f(z)在擴(kuò)充z平面區(qū)域D內(nèi)亞純且不恒為常數(shù)，則D的像G

=f(z)也為擴(kuò)充z平面上的一個(gè)區(qū)域”。定理7.3注2即定理6.11逆不真.證明一階零點(diǎn)，由不恒為常數(shù)的解析函數(shù)的零點(diǎn)的二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義--解析函數(shù)的保角性伸縮率的不變性.1.導(dǎo)數(shù)的模與輻角的幾何意義旋轉(zhuǎn)角.注3解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)具有旋轉(zhuǎn)角,伸縮率不變性.(與曲線C的選擇和方向無(wú)關(guān))幾何意義(忽略高階無(wú)窮小)

例1解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,2兩曲線的夾角定義.yx..yxvu即則保持夾角不變.既保持夾角大小,且保持夾角方向不變--保角性.3保角變換定義7.1(1)伸縮率不變性,注44解析變換的保角性定理7.4推論7.5例2證明

定義7.2注7注8三、單葉解析變換的共形性例3解定理7.6證明由定理6.11于是故由隱函數(shù)存在定理存在反函數(shù)故注9本定理(1)逆也真(D.Mencheff)注10注11兩個(gè)共形變換的復(fù)合仍是共形變換.(共形)注12基本任務(wù):給定區(qū)域D,G;找D到G的共形變換由注11,通過(guò)復(fù)合若干個(gè)基本共形變換,構(gòu)

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