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淺談點(diǎn)的移動(dòng)與函數(shù)圖象的平移之間關(guān)聯(lián)獲獎(jiǎng)科研報(bào)告摘
要:學(xué)生已在初一年級(jí)的時(shí)候?qū)W過(guò)平面直角坐標(biāo)內(nèi)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律,以及圖形在平面坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)的規(guī)律都是“上加下減,左減右加”;但在學(xué)習(xí)了函數(shù)圖像后,特別是初三年級(jí)上冊(cè)第二十二章二次函數(shù)圖象后,函數(shù)圖象平移規(guī)律為“上加下減,左加右減”。點(diǎn)的平移和二次函數(shù)圖象的平移上下移動(dòng)規(guī)律一致,下面就探究左右平移的關(guān)聯(lián)以及解決方案!
關(guān)鍵詞:點(diǎn)圖形函數(shù);移動(dòng);規(guī)律
一、目標(biāo)和地位
點(diǎn)和函數(shù)圖像的平移在中考中占一定的比例;考查重點(diǎn)為在平面坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)以及函數(shù)的平移,從而得到新點(diǎn)和函數(shù),并通過(guò)新點(diǎn)或新圖象解決問(wèn)題。本篇文章在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的平移的基礎(chǔ)上,對(duì)比學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象的平移,發(fā)現(xiàn)規(guī)律不統(tǒng)一,從而繼續(xù)對(duì)兩者及研究。這是對(duì)平面直角坐標(biāo)系研究的延續(xù)。學(xué)生需要掌握點(diǎn)的平移和函數(shù)的平移,對(duì)于解函數(shù)的題很有用。
二、知識(shí)點(diǎn)的陳述,
(一)點(diǎn)平移的規(guī)律;
“例如圖(1),三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(4,3),B(3,1),C(1,2).
解:如圖(2),所得三角形A1B1C1以及三角形A2B2C2都與三角形ABC的大小、形狀完全相同,三角形A1B1C1可以看作將三角形ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到.類(lèi)似地,三角形A2B2C2可以看作將三角形ABC向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到.”
點(diǎn)的變化引起圖形移動(dòng)的規(guī)律:
(1)將點(diǎn)(x,y)的橫坐標(biāo)加上一個(gè)正數(shù)a,縱坐標(biāo)不變,即(x+a,y),則其新圖形就是把原圖形向右平移a個(gè)單位.
(2)將點(diǎn)(x,y)的橫坐標(biāo)減去一個(gè)正數(shù)a,縱坐標(biāo)不變,即(x-a,y),則其新圖形就是把原圖形向左平移a個(gè)單位.
(3)將點(diǎn)(x,y)的縱坐標(biāo)加上一個(gè)正數(shù)b,橫坐標(biāo)不變,即(x,y+b),則其新圖形就是把原圖形向上平移a個(gè)單位.
(4)將點(diǎn)(x,y)的縱坐標(biāo)加上一個(gè)正數(shù)b,橫坐標(biāo)不變,即(x,y-b),則其新圖形就是把原圖形向下平移b個(gè)單位.
(二)函數(shù)圖象平移的規(guī)律
一次函數(shù)圖象的平移
(1)直線(xiàn)y=kx+b(k≠0)向上或向下平移m(m>0)個(gè)單位時(shí),解析式變?yōu)閥=kx+b+m或y=kx+b-m;(2)直線(xiàn)y=kx+b(k≠0)向左或向右平移m(m>0)個(gè)單位時(shí),解析式變?yōu)閥=k(x+m)-b或y=k(x-m)+b。
口訣:“上加下減”,“左加右減”。
二次函數(shù)圖象的平移
一般地,拋物線(xiàn)y=a(x-h)2+k與y=ax2形狀相同,位置不同。把拋物線(xiàn)y=ax2向上(下)向左(右)平移,總結(jié)八個(gè)字“上加下減,左加右減”??梢缘玫綊佄锞€(xiàn)y=a(x-h)2+k.
三、出現(xiàn)的問(wèn)題;
出現(xiàn)練習(xí)題“求出函數(shù)y=-2(x+1)2+8的圖象的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo),畫(huà)出函數(shù)圖象,并說(shuō)明圖象是由拋物線(xiàn)y=-2x2經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的?!保嗌洗蟛糠滞瑢W(xué)都能根據(jù)函數(shù)圖象移動(dòng)的規(guī)律得到正確答案,有部分學(xué)生的答案和正確答案正好相反,但是平移的量一樣,就僅是方向正好相反。然后讓學(xué)生理解如何平移。對(duì)于拋物線(xiàn)y=-2(x+1)2+8,求這個(gè)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的問(wèn)題,可以用y=a(x-h)2+k對(duì)應(yīng)去找,注意字母與數(shù)字的對(duì)應(yīng),其中h對(duì)應(yīng)-1,k對(duì)應(yīng)8,所以可以得出該函數(shù)的定點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,8),對(duì)稱(chēng)軸為x=-1。對(duì)于函數(shù)圖像的移動(dòng),是由函數(shù)圖像的平移要領(lǐng)“上加下減,左加右減”[1]該拋物線(xiàn)是由拋物線(xiàn)y=-2x2向左平移1個(gè)單位量,向上平移8個(gè)單位量得到。但是有學(xué)生提出:函數(shù)圖像也是由平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)個(gè)點(diǎn)組成的,為什么不能根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律完成呢?點(diǎn)的平移是“上加下減,左減右加”[2],而現(xiàn)在函數(shù)圖像的平移是“上加下減,左加右減”,發(fā)現(xiàn)上下都是一樣的,可是左右是相反,且是互相矛盾的,為什么會(huì)不一樣呢?那我們能不能把點(diǎn)的平移和函數(shù)圖象的平移歸納總結(jié)成一個(gè)規(guī)律,研究清楚為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的不同呢?
四、解決問(wèn)題;
(一)追根溯源,究其原因;
點(diǎn)在平面坐標(biāo)系內(nèi)的移動(dòng)的問(wèn)題,運(yùn)用“上加下減,左減右加”[2],而函數(shù)圖象的平移規(guī)律是“上加下減,左加右減”。它們左右移動(dòng)為什么方向不同呢?
我覺(jué)得函數(shù)圖象也是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)由一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)組成的,所以符合點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)律:“上加下減,左減右加”。假設(shè)函數(shù)y=kx+b(k≠0)上有一個(gè)點(diǎn)A(x,y)僅向左平移a個(gè)單位,則根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律有新的點(diǎn)B(x1,y),所以這兩個(gè)點(diǎn)之間存在著的關(guān)系是:x1=x-a,而原函數(shù)中并沒(méi)有自變量x1,只有自變量x;所以要把x1=x-a變?yōu)閤=x1+a才能帶入原函數(shù)y=kx+b中,得到新函數(shù)y=k(x1+a)+b。同理可得原函數(shù)y=kx+b(k≠0)向右平移得到新函數(shù)y=k(x1-a)+b(k≠0)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的平移也是這樣的道理。這樣就是函數(shù)圖像平移規(guī)律為什么是“上加下減,左加右減”的原因。
(二)解決建議;
在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)有規(guī)律“上加下減,左減右加”。即原點(diǎn)向上面為y軸的正半軸,即在y值上加一個(gè)數(shù)值,“上加”。原點(diǎn)向下為y軸的負(fù)半軸,即在y值上減一個(gè)數(shù)值,“下減”。在原點(diǎn)的左是x軸負(fù)半軸,即在x值上減一個(gè)數(shù)值,“左減”。原點(diǎn)向右為x軸的正半軸,即在x值上加一個(gè)數(shù)值,“右加”。所以有了“上加下減,左減右加”[2]。我覺(jué)得函數(shù)圖象的平移也可用這八個(gè)字進(jìn)行總結(jié)“上加下減,左減右加”[1]。這樣既符合平面直角坐標(biāo)系的規(guī)律也減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān),這些問(wèn)題不用學(xué)生分類(lèi)處理,避免學(xué)生的知識(shí)混淆了。
五、總結(jié)
教無(wú)定法,教學(xué)生活學(xué)數(shù)學(xué),教可以應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)。一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)以及在平面坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)點(diǎn)和圖形的規(guī)律都統(tǒng)一為“上加下減,左減右加”[2]。但是一次函數(shù)平移時(shí),一次函數(shù)要對(duì)
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