小學(xué)數(shù)學(xué)行程問題及答案

1.小張和小王各以一定速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.〔1〕小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？〔2〕小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？2.如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長(zhǎng).3.甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走〔到達(dá)另一村后就馬上返回〕.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？4.小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走〔到達(dá)另一村后就馬上返回〕，他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)〔相遇指迎面相遇〕？解：畫示意圖如下.5.小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間？解：畫一張示意圖：6.一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來時(shí)順?biāo)热r(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.行程問題〔一〕〔根底篇〕行程問題的根底知識(shí)以及重要知識(shí)點(diǎn)★提到行程問題就不得不說3個(gè)行程問題中一定會(huì)用到的數(shù)——s,t,v

s——路程

t——時(shí)間

v——速度

這3個(gè)數(shù)之間的關(guān)系就是：路程=速度X時(shí)間

——s=vt

同時(shí)可以得出另外兩個(gè)關(guān)系：速度=路程÷時(shí)間——v=s/t

時(shí)間=路程÷速度——t=s/v

我們來看幾個(gè)例子：例1，一個(gè)人以5米/秒的速度跑了20秒，那么他跑了多遠(yuǎn)？5米/秒是這個(gè)人的速度v，20秒是他一共跑的時(shí)間t，求他跑的距離也就是路程s，我們就可以直接利用這3個(gè)數(shù)量的關(guān)系s=vt來計(jì)算出路程：

s=vt=5x20=100(米〕。例2，從A地到B地的直線距離是100米，有一個(gè)人從A地到B地去，每秒走2米，那么他需要多久可以到達(dá)B地？

首先100米是路程s，每秒走2米就是速度v〔2米/秒〕，要求的就是需要用的時(shí)間t

所以我們就可以利用t=s/v來計(jì)算出時(shí)間：

t=s/v=100÷2=50〔秒〕例3，小明從家上學(xué)的路程是500米，他只用了10分鐘就走到了學(xué)校，那么他走路的速度是多少？

這道題目里給出的500米是上學(xué)的路程s，10分鐘是上學(xué)去需要的時(shí)間t，求的是走這段路的速度v，我們就可以利用這3個(gè)數(shù)量的關(guān)系v=s/t得出：

v=s/t=500÷10=50〔米/分〕

以上是學(xué)習(xí)行程問題必須要懂的根本知識(shí)。

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在上面的內(nèi)容中所提到的行程問題都是速度不變的情況，那么如果在走的過程中速度發(fā)生了改變，那么我們就不能再用s=vt來解決了。

變速的過程中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)就是——平均速度

平均速度=總路程÷總時(shí)間

平均速度的計(jì)算方法和平均數(shù)不同，我們不可以將各個(gè)不同的速度加在一起取平均值。例4，某貨車往返于相距60千米的AB兩地之間，從A地到B地時(shí)速度是6千米/小時(shí)，從B地返回時(shí)，速度是12千米/小時(shí)，那么貨車往返的平均速度是多少？

首先我們先算出往返的總路程就是60X2=120〔千米〕

然后算出往返的總時(shí)間，去時(shí)的是是60÷6=10〔小時(shí)〕，回來的時(shí)間是60÷12=5〔小時(shí)〕，那么總共用時(shí)是10+5=15〔小時(shí)〕

這時(shí)再計(jì)算平均速度=總路程÷總時(shí)間=120÷15=8〔千米/小時(shí)〕

【將兩個(gè)速度加起來求平均〔6+12〕÷2=9〔千米/小時(shí)〕是錯(cuò)誤的?！?/p>

在上一道題目中，如果將AB兩地之間的距離改成120千米，那么平均速度變成了多少呢？

我們來實(shí)際操作一下：

總路程=120X2=240〔千米〕

總時(shí)間=120÷6+120÷12=20+10=30〔小時(shí)〕

所以平均速度=總路程÷總時(shí)間=240÷30=8〔千米/小時(shí)〕

我們發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)過程中路程變成了2倍，但是平均速度沒有變化，同學(xué)們?cè)囅聦⒖偮烦谈某善渌麛?shù)字，再計(jì)算一次平均速度。

結(jié)論：往返運(yùn)動(dòng)中，平均速度不受總路程影響，之跟往返的速度有關(guān)。

于是這道題目可以改成：

例5，某貨車往返于AB兩地之間，從A地到B地時(shí)速度是6千米/小時(shí)，從B地返回時(shí)，速度是12千米/小時(shí)，那么貨車往返的平均速度是多少？

題目中并沒有給我們AB之間的路程，并且我們又知道AB之間的距離不影響往返的平均速度的計(jì)算，所以我們可以選擇自己設(shè)一個(gè)距離。比方我們?cè)O(shè)AB之間的距離是60千米，那么計(jì)算的時(shí)候就跟例4一樣，得到平均速度是8千米/小時(shí)。我們還可以不設(shè)一個(gè)具體的數(shù)，設(shè)AB之間的路程是“1〞。

解：設(shè)AB之間的路程是“1〞。

那么貨車往返的總路程就是1X2=2

往返的總時(shí)間是1÷6+1÷12=1/4

于是往返的平均速度就是2÷1/4=8〔千米/小時(shí)〕

答：火車往返于AB之間的平均速度是8千米/小時(shí)。

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小結(jié)：行程問題的根底，重點(diǎn)是懂得行程問題中三個(gè)量的關(guān)系、以及理解平均速度的概念。行程問題〔二〕〔知識(shí)篇〕本貼主要針對(duì)行程問題中最常用的相遇與追及問題進(jìn)行講解★相遇問題

學(xué)了一個(gè)人的行程問題之后我們就可以開始說一下兩個(gè)人的相遇問題.(當(dāng)然也包括兩輛車,飛機(jī)之類),第一種形式就是相遇問題,相遇問題的主要公式就是:路程=時(shí)間X速度和

----------s=t(v1+v2)例1,甲乙二人分別從AB兩地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,經(jīng)過20秒后兩人相遇,那么AB兩地的距離是多少?

解:這是相遇問題中最簡(jiǎn)單的例子,首先我們先分別考慮甲乙二人,甲的速度是5米/秒,他走了20秒,所以他走的距離是5X20=100米.乙的速度是4米/秒,他走了20秒所以一共走了4X20=80米.

兩人從AB兩地相遇,所以他們一共走的路程就是AB,所以AB之間的路程就是100+80=180米.

我們還可以使用相遇問題的公式直接來解決這個(gè)問題：

s=t(v1+v2)=20X(5+4)=180(米)

這個(gè)公式的意義就是,將相遇過程中的兩人速度看做一個(gè)整體,因?yàn)樗麄兯叩臅r(shí)間是相同的,所以總的相遇過程里可以把兩個(gè)人的速度和當(dāng)成一個(gè)速度來利用s=vt計(jì)算.

這個(gè)公式還有幾個(gè)變形:

t=s/(v1+v2)

v1+v2=s/t

(在這個(gè)公式中,當(dāng)我們知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度)

例2,甲乙二人分別從相距180米的AB兩地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,過了多久兩人相遇?

這道題目中給了兩人的速度,還有路程,要求時(shí)間,我們可以利用第2條公式計(jì)算出時(shí)間:

t=s/(v1+v2)=180÷(4+5)=20(秒)例3,甲乙二人分別從相距180米的AB兩地相向而行,經(jīng)過20秒后兩人相遇,甲的速度是5米/秒,那么乙的速度是多少?

題目中給了路程和時(shí)間,因此我們可以計(jì)算出速度和:

v1+v2=s/t=180÷20=9米/秒

然后利用速度和減去其中一個(gè)人的速度求出另一人的速度:

9-5=4米/秒

注意:相遇問題不單是兩個(gè)人相向行走最后相遇的問題,只要兩人的前進(jìn)方向是相反的,都叫做相遇問題.例4,甲乙兩人同時(shí)從某地出發(fā),甲以每秒5米的速度向東走,乙用每秒4米的速度向西走,那么20秒之后兩人相距多遠(yuǎn)?

這道題目中兩人并沒有相遇的過程,但是他們的行進(jìn)方向是相反的,因此這個(gè)問題也屬于相遇問題,依然適用公式:

s=t(v1+v2)=20X(5+4)=180(米)例5，甲乙二人在距離200米的AB兩地，向?qū)Ψ剿诘牡胤阶呷ィ椎乃俣仁?米/秒，乙的速度是4米/秒，那么10秒后兩人的距離是多遠(yuǎn)？題目中給了我們時(shí)間和兩個(gè)人的速度，因此我們可以求出兩人在10秒內(nèi)一共走了多遠(yuǎn)：

s=t(v1+v2)=10X(5+4)=90(米)

兩人原本距離是200米，經(jīng)過10秒后縮短了90米，所以這時(shí)兩人的距離是200-90=110〔米〕

—————————————————————————------★追及問題

追及問題就是兩人同向而行，一個(gè)人從后面追上另一人的過程，它的公式是：

路程=時(shí)間X速度差----s=t(v1-v2)

變形公式：t=s/(v1-v2)；

v1-v2=s/t(在這個(gè)公式中,當(dāng)我們知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度)

實(shí)際上在相遇問題與追及問題中，唯一的區(qū)別就是兩人的速度不再是求和而是求差，兩人的行進(jìn)方向不再是相向，而是同向。例6，甲乙二人沿著一條公路跑步，甲以5米/秒的速度追趕前方30米處以2米/秒的速度跑步的乙，他需要多少時(shí)間可以追上乙？

解：這道題給了我們兩人的距離，和速度，這樣我們可以求出總路程和速度差，所以時(shí)間就是

t=s/(v1-v2)=30÷〔5-2〕=10〔秒〕

注意:只要兩個(gè)人的行進(jìn)方向是相同的，都是追及問題。例7，甲乙兩人同時(shí)同向從同地出發(fā)，甲的速度是5米/秒，乙的速度是2米/秒，那么過了10秒后，兩人的距離是多少？這道題中并沒有一個(gè)人追上另一個(gè)人的過程，但是兩人的前進(jìn)方向相同，因此也屬于追及問題，依然可以使用公式：

s=t(v1-v2)=10X〔5-2〕=30〔米〕

小結(jié)：

行程問題中的相遇與追及，重點(diǎn)是理解“反向=相遇〞“同向=追及〞這2個(gè)概念，以及相遇、追及問題的公式。更多的拓展知識(shí)將在下一講里繼續(xù)討論。行程問題〔三〕〔提高篇1〕本貼主要針對(duì)行程問題中錯(cuò)車問題〔火車過橋〕問題進(jìn)行講解★錯(cuò)車問題

例1，兩列火車在兩條平行的鐵軌上相向行駛，它們的長(zhǎng)度分別是40米和50米，速度分別是3米/秒和6米/秒，那么兩車從車頭相遇到車尾離開一共用了多久？看這道例題之前我們先要弄明白一件事，兩車從車頭相遇到車尾離〔錯(cuò)車〕到底是一個(gè)什么樣的過程。

如圖我們看到兩車長(zhǎng)度分別是l1和l2他們車頭相遇的時(shí)候車頭之間的距離是0，當(dāng)他們車尾離開的瞬間，他們的車頭之間的距離剛好是兩車的總長(zhǎng)度，因此在錯(cuò)車的過程中，兩車的車頭一共拉開了l1+l2的距離，根據(jù)上一講的知識(shí)，這是一個(gè)相遇問題，所以兩車走的路程和是l1+l2。

我們知道兩車一共走的路程，又知道分別的速度，那么時(shí)間就是〔40+50〕÷〔3+6〕=10〔秒〕

從這里我們可以得出一個(gè)結(jié)論，兩車相向行駛時(shí)的錯(cuò)車問題公式：兩車長(zhǎng)度和÷兩車速度和=錯(cuò)車時(shí)間------〔l1+l2〕÷〔v1+v2〕=t

我們來解讀一下這個(gè)公式，它跟我們上一講的相遇問題公式：路程÷速度和=時(shí)間〔s÷(v1+v[sub]2[/sub)=t)，是完全一樣的，只不過這里的路程就是兩車的長(zhǎng)度和，因此求其他的量的過程也跟上一講一樣，這里不再重復(fù)，只給出相應(yīng)公式：兩車長(zhǎng)度和=兩車速度和×錯(cuò)車時(shí)間-------〔l1+l2〕=〔v1+v2〕×t兩車速度和=兩車長(zhǎng)度和÷錯(cuò)車時(shí)間-------〔v1+v2〕=〔l1+l2〕÷t

例2、甲乙兩車在兩條平行鐵軌上相向行駛，他們的長(zhǎng)度分別是40米和50米，甲車的速度是3米/秒，兩車從車頭相遇到車尾離開一共用了10秒，那么乙車的速度是多少？解：我們知道了兩車的長(zhǎng)度和是90米，時(shí)間是10秒，那么速度和就可以用公式：〔v1+v2〕=〔l1+l2〕÷t=〔40+50〕÷10=9〔米/秒〕有了速度和，我們要求其中一個(gè)速度：9-3=6〔米/秒〕

即可求出乙車的速度是6米/秒。

★火車過橋問題

火車過橋問題其實(shí)就是錯(cuò)車問題的一個(gè)特例，我們只需要把橋想象成一列火車，橋是不會(huì)動(dòng)的，所以它的速度是0，于是公式就變成了

〔火車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)〕÷車速=時(shí)間

--------〔l1+l2〕÷v1=t

-〔因?yàn)関2=0〕

我們來做一下例題：例3、一列100米長(zhǎng)的火車過一座150米長(zhǎng)的橋，火車的速度是25米/秒，它過橋需要多少時(shí)間？

解：〔火車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)〕÷車速=時(shí)間

〔l1+l2〕÷v1

=〔100+150〕÷25=10〔秒〕

同時(shí)我們根據(jù)速度×?xí)r間=路程

〔vt=s〕的關(guān)系可以得出另外幾個(gè)公式：車速=〔火車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)〕÷時(shí)間---------v1=〔l1+l2〕÷t

火車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=車速×?xí)r間---------l1+l2=v1×t例4、一列長(zhǎng)100米的火車過一座橋，火車的速度是25米/秒，它過橋一共用了10秒，那么橋的長(zhǎng)度是多少？

解：

l1+l2=v1×t

=25×10=250〔米〕

那么橋長(zhǎng)就是：

250-100=150〔米〕

到這里我們所學(xué)的內(nèi)容都是相向行駛時(shí)的錯(cuò)車問題，當(dāng)其中一輛車的速度是0〔變?yōu)闃颉车臅r(shí)候，它就是一個(gè)火車過橋問題的公式。

事實(shí)上錯(cuò)車問題的公式就是相遇問題的公式，只不過它的路程就是兩車的長(zhǎng)度和。

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★追車問題

例5，兩列火車在兩條平行的鐵軌上同向行駛乙車在前，甲車在后。兩車的長(zhǎng)度分別是甲車80米乙車50米，甲車的速度是35米/秒，乙車的速度是25米/秒，那么甲車從追上甲車到完全超過乙車需要多少時(shí)間？

我們?nèi)匀皇窍扰宄@個(gè)從追上到超過的過程是一個(gè)什么過程。

我們發(fā)現(xiàn)剛開始追上的時(shí)候，甲車的車頭與乙車的車尾是在一起的，距離是0，而當(dāng)甲車完全超過乙車的時(shí)候，他的車頭與乙車的車尾已經(jīng)拉開了l1+l2的距離，也就是說，在這個(gè)過程甲車比乙車多走了l1+l2的路程，那么根據(jù)上一講的內(nèi)容我們知道這是一個(gè)追及問題。

這道題目中有兩車的長(zhǎng)度和兩車的速度求時(shí)間，因此我們得出這個(gè)過程的公式兩車長(zhǎng)度和÷兩車速度差=追車時(shí)間------〔l1+l2〕÷〔v1-v2〕=t

那么這道題目就可以：

〔l1+l2〕÷〔v1-v2〕

=〔80+50〕÷〔35-25〕

=130÷10=13〔秒〕同樣我們還可以得到2個(gè)變形公式：

兩車長(zhǎng)度和=兩車速度差×追車時(shí)間----〔l1+l2〕=〔v1-v2〕×t

兩車速度差=兩車長(zhǎng)度和÷追車時(shí)間---〔v1-v2〕=〔l1+l2〕÷t

與錯(cuò)車問題相同，追車問題的公式事實(shí)上就是追及問題的公式，只不過路程變成了兩車的長(zhǎng)度和，其他都是完全一樣的。

如果是一個(gè)人追車的問題，或者車超過人的問題時(shí)，我們只需要將其中一個(gè)人看做是長(zhǎng)度是0的車就可以了。解：〔1〕75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220〔米/分〕.〔2〕在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈〔一個(gè)周長(zhǎng)〕，因此需要的時(shí)間是500÷〔220-180〕＝12.5〔分〕.220×12.5÷500＝5.5〔圈〕.答：〔1〕小張的速度是220米/分；〔2〕小張跑5.5圈后才能追上小王.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長(zhǎng)；第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3＝240〔米〕.240-60=180〔米〕.180×2＝360〔米〕.答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360米.解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是40×3÷60＝2〔小時(shí)〕.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-2＝10〔千米〕.小王已走了6＋2=8〔千米〕.因此，他們的速度分別是小張10÷2＝5〔千米/小時(shí)〕，小王8÷2=4〔千米/小時(shí)〕.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5×3＝10.5〔千米〕.從圖上可看出，第二次相