專題05 算式變化類（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問(wèn)題專題訓(xùn)練

專題05算式變化類【規(guī)律總結(jié)】1．需要熟記的數(shù)字規(guī)律：（1）正整數(shù)：1,2,3，···，n（n≥1，且n為整數(shù)），前個(gè)數(shù)的和為；（2）奇數(shù)：1,3,5,7,9，··．，2n-1（n≥1，且n為整數(shù)），前n個(gè)數(shù)的和為；（3）偶數(shù)：2,4,6,8，···，2n（n≥1，且n為整數(shù)），前n個(gè)數(shù)的和為n（n＋1）．2．解決數(shù)字規(guī)律題的策略：具體策略：①分別觀察分子、分母的特征；②注意相鄰項(xiàng)的變化特征，如遞增時(shí)可考慮以an＋b（a，b為常數(shù)）的形式遞增或以，等形式遞增；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值的特征；⑤對(duì)于分式可考慮化異分母為同分母，還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；⑥對(duì)于正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用或（n為正整數(shù)）來(lái)處理．3．等式變化規(guī)律題：（1）先找到等式左邊變化特點(diǎn)；（2）再找打等式右邊變化特點(diǎn)；（3）最后看看等式左右兩邊的內(nèi)在聯(lián)系；【典例分析】例1．（2020·河南洛陽(yáng)市·九年級(jí)月考）請(qǐng)先在草稿紙上計(jì)算下列四個(gè)式子的值：①；②；③；④．觀察計(jì)算的結(jié)果，由發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的值為（）A．351 B．350 C．325 D．300【答案】C【分析】通過(guò)計(jì)算前面4個(gè)式子的值，得到規(guī)律為從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)整數(shù)的立方和的算術(shù)平方根等于這幾個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，然后利用此規(guī)律求解．【詳解】①＝1；②＝3＝1+2；③＝6＝1+2+3；④＝10＝1+2+3+4；∴＝1+2+3+…+25＝325．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題，解題關(guān)鍵是先計(jì)算題干中的4個(gè)簡(jiǎn)單算式，得出規(guī)律后再進(jìn)行復(fù)雜算式的求解．例2．（2020·浙江杭州市·七年級(jí)期末）觀察下列算式：第1個(gè)算式：；第2個(gè)算式：；第3個(gè)算式：……按照上面的規(guī)律則第4個(gè)算式為：_________．第1個(gè)算式到第個(gè)算式結(jié)果的乘積是________．（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】（1）根據(jù)已知算式得出第4個(gè)算術(shù)即可；（2）將結(jié)果乘積列式計(jì)算即可．【詳解】（1）第4個(gè)算式為：，故答案為：；（2）由題意得：=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查代數(shù)式的計(jì)算規(guī)律探究，有理數(shù)的混合運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)式子的運(yùn)算規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．例3．（2020·浙江金華市·七年級(jí)期末）觀察下列各式：；；；請(qǐng)根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）觀察題中所給的三個(gè)等式，可知等式右邊第一項(xiàng)的次數(shù)等于左邊第二個(gè)括號(hào)內(nèi)最高次項(xiàng)的次數(shù)加1，等式右邊第二項(xiàng)均為1，據(jù)此可解；

（2）根據(jù)（1）中所得的規(guī)律，可將原式左邊乘以（2-1），再按照（1）中規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和多項(xiàng)式乘法公式在計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·太原市育英中學(xué)校七年級(jí)期中）觀察下列等式：，，，…．按照此規(guī)律，式子可變形為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知等式歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】，，，歸納類推得：，其中n為正整數(shù)，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算的規(guī)律型問(wèn)題，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2020·趙集中學(xué)七年級(jí)期中）“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思維，觀察下面的圖形和算式；解答下列問(wèn)題：請(qǐng)用上面得到的規(guī)律計(jì)算：（）A．901 B．900 C．961 D．625【答案】B【分析】觀察圖形和算式的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而根據(jù)得到的規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】觀察以下算式：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，∵2n-1=59解得n=30，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——圖形的變化類，有理數(shù)的乘方．解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形和算式的變化尋找規(guī)律．二、填空題3．（2021·全國(guó)八年級(jí)）閱讀下文，尋找規(guī)律，并填空：已知x≠1，計(jì)算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5觀察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝___．【答案】1﹣xn+1【分析】根據(jù)平方差公式和已知條件特點(diǎn)，便可歸納出來(lái)即可．【詳解】解：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1；故答案為：1﹣xn+1．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、規(guī)律型：數(shù)字的變化類、平方差公式，關(guān)鍵是根據(jù)題目找出規(guī)律是關(guān)鍵．4．（2020·甘肅張掖市·大成中學(xué)七年級(jí)期末）觀察下列各式：1-=，1-=，1-=，根據(jù)上面的等式所反映的規(guī)律（1-）（1-）（1-）=________【答案】【分析】先根據(jù)已知等式探索出變形規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律進(jìn)行變形，計(jì)算有理數(shù)的乘法運(yùn)算即可．【詳解】解：由已知等式可知：，，，歸納類推得：，其中n為正整數(shù)，則，因此，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是有理數(shù)運(yùn)算的規(guī)律題，根據(jù)已知等式探索出運(yùn)算規(guī)律并應(yīng)用是解題關(guān)鍵．三、解答題5．（2020·四川省宜賓市第二中學(xué)校九年級(jí)月考）閱讀下列簡(jiǎn)化過(guò)程：；；；……解答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)用n（n為正整數(shù)）表示化簡(jiǎn)過(guò)程規(guī)律________；（2）計(jì)算；（3）設(shè)，，，比較a，b，c的大小關(guān)系．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】(1)根據(jù)已知可得：兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)算術(shù)平方根的和的倒數(shù)，等于分子分母都乘以這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)算術(shù)平方根的差，化簡(jiǎn)得這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)算術(shù)平方根的差；(2)利用分母有理化分別化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式得解；(3)將a、b、c分別化簡(jiǎn)，比較結(jié)果即可．【詳解】（1）．（2）．（3），，，，，又，，．【得解】此題考查代數(shù)式計(jì)算規(guī)律探究，分母有理化計(jì)算，根據(jù)例題掌握計(jì)算的規(guī)律并解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．6．（2021·廣東潮州市·八年級(jí)期末）有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：第一個(gè)數(shù)是；第二個(gè)數(shù)是；第三個(gè)數(shù)是；對(duì)任何正整數(shù)，第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)的和等于（1）經(jīng)過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)：，，設(shè)這列數(shù)的第個(gè)數(shù)為，那么①；②，③，則正確（填序號(hào)）．（2）請(qǐng)你觀察第個(gè)數(shù)、第個(gè)數(shù)、第個(gè)數(shù)，猜想這列數(shù)的第個(gè)數(shù)可表示（用含的式子表示），并且證明：第個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)的和等于；（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：的值．【答案】（1）②；（2），證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題干知道即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題干中的規(guī)律總結(jié)出第個(gè)數(shù)表示為，再分別表示出第n個(gè)和第n+1個(gè)數(shù)求和即可；

（3）根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)兩分母之差為2，即通分后分子為2，故每一項(xiàng)乘以即可，再提取公因數(shù)合并各項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，

∴；

故填：（2）第個(gè)數(shù)表示為：，