專題3.1 解一元一次方程（六大類型）（解析版）

專題3.1解一元一次方程（六大類型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1解一元一次方程-合并同類與移項(xiàng)】【題型2解一元一次方程-去括號(hào)與去分母】【題型3新定義運(yùn)算-解一元一次方程】【題型4判斷解一元一次方程的過程】【題型5運(yùn)用一元一次方程-無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)】【題型6含絕對(duì)值的一元一次方程】【題型1解一元一次方程-合并同類與移項(xiàng)】【典例1】解方程：4（x﹣2）﹣1＝3（x﹣1）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：去括號(hào)，得4x﹣8﹣1＝3x﹣3，移項(xiàng)，得4x﹣3x＝﹣3+8+1，合并同類項(xiàng)，得x＝6．【變式1-1】解方程：x﹣7＝10﹣4（x+0.5）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）去括號(hào)得：x﹣7＝10﹣4x﹣2，移項(xiàng)合并得：5x＝15，解得：x＝3；【變式1-2】解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：4x﹣1＝2x+5，4x﹣2x＝5+1，2x＝6，x＝3．【變式1-3】解方程：（1）10x﹣3（x﹣4）＝2（x+1）．【答案】（x＝﹣2；【解答】解：（1）10x﹣3（x﹣4）＝2（x+1），去括號(hào)，得10x﹣3x+12＝2x+2，移項(xiàng)，得10x﹣3x﹣2x＝2﹣12，合并同類項(xiàng)，得5x＝﹣10，系數(shù)化為1，得x＝﹣2．【變式1-4】解方程：3（2x+3）＝11x﹣6．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：3（2x+3）＝11x﹣6，6x+9＝11x﹣6，9+6＝11x﹣6x，15＝5x，x＝3．【變式1-5】解方程：5x﹣2＝7x+8．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：移項(xiàng)得：5x﹣7x＝8+2合并同類項(xiàng)得：﹣2x＝10方程兩邊同除以﹣2得：x＝﹣5【題型2解一元一次方程-去括號(hào)與去分母】【典例2】解下列方程：（1）6﹣3x＝2（4﹣x）；（2）【答案】（1）x＝﹣2；（2）x＝﹣．【解答】解：（1）去括號(hào)得：6﹣3x＝8﹣2x，移項(xiàng)得：﹣3x+2x＝8﹣6，合并同類項(xiàng)得：﹣x＝2，系數(shù)化為1得：x＝﹣2；（2）方程兩邊同時(shí)乘以6得：2（1﹣x）﹣（x﹣2）＝6，去括號(hào)得：2﹣2x﹣x+2＝6，移項(xiàng)得：﹣2x﹣x＝6﹣2﹣2，合并同類項(xiàng)得：﹣3x＝2，系數(shù)化為1得：x＝﹣．【變式2-1】解方程：（1）3（20﹣y）＝6y﹣4（y﹣11）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）3（20﹣y）＝6y﹣4（y﹣11），去括號(hào)得60﹣3y＝6y﹣4y+44，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得5y＝16，系數(shù)化為1得；（2），去分母得2（2x﹣1）﹣（2x+1）＝﹣6，去括號(hào)得4x﹣2﹣2x﹣1＝﹣6，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得2x＝﹣3，系數(shù)化為1得．【變式2-2】解方程：（1）2（x﹣1）＝6；（2）．【答案】（1）x＝4；（2）．【解答】解：（1）2（x﹣1）＝6，去括號(hào)得：2x﹣2＝6，移項(xiàng)得：2x＝6+2，合并同類項(xiàng)得：2x＝8，系數(shù)化為1得：x＝4；（2），去分母得：3（x+1）＝8x+6，去括號(hào)得：3x+3＝8x+6，移項(xiàng)得：3x﹣8x＝6﹣3，合并同類項(xiàng)得：﹣5x＝3，系數(shù)化為1得：．【變式2-3】解方程．（1）﹣3（x+1）＝9；（2）．【答案】（1）x＝﹣4；（2）．【解答】解：（1）﹣3（x+1）＝9，x+1＝﹣3，x＝﹣3﹣1，x＝﹣4；（2），2（2x﹣1）﹣4＝x﹣2，4x﹣2﹣4＝x﹣2，4x﹣x＝﹣2+2+4，3x＝4，．【變式2-4】解下列方程：（1）4（x+3）＝2﹣5（x+1）；（2）．【答案】（1）x＝﹣；（2）x＝．【解答】解：（1）4（x+3）＝2﹣5（x+1），4x+12＝2﹣5x﹣5，4x+5x＝2﹣5﹣12，9x＝﹣15，x＝﹣；（2）+＝2﹣，×12+×12＝2×12﹣×12，4（5x+4）+3（x﹣1）＝24﹣（5x﹣5），20x+16+3x﹣3＝24﹣5x+5，20x+3x+5x＝24+5﹣16+3，28x＝16，x＝．【變式2-5】解方程：（1）3x+5＝6x﹣1；（2）x+＝3﹣．【答案】（1）x＝2；（2）x＝．【解答】解：（1）移項(xiàng)，得3x﹣6x＝﹣1﹣5，合并同類項(xiàng)，得﹣3x＝﹣6，系數(shù)化為1，得x＝2；（2）去分母，得6x+3（x﹣1）＝18﹣2（2x﹣1），去括號(hào)，得6x+3x﹣3＝18﹣4x+2，移項(xiàng)，得6x+3x+4x＝18+2+3，合并同類項(xiàng)，得13x＝23，系數(shù)化為1，得x＝．【題型3新定義運(yùn)算-解一元一次方程】【典例3】（2023春?巴州區(qū)期中）定義一種新運(yùn)算“※”：a※b＝ab﹣a+b．例如3※1＝3×1﹣3+1＝1，（2a）※2＝（2a）×2﹣2a+2＝2a+2．（1）計(jì)算：5※（﹣1）的值為﹣11；（2）已知（2m）※3＝2※m，求m的值．【答案】（1）﹣11；（2）m＝﹣5．【解答】解：（1）由題意得：5※（﹣1）＝5×（﹣1）﹣5+（﹣1）＝﹣5﹣5﹣1＝﹣11；（2）∵（2m）※3＝2※m，∴6m﹣2m+3＝2m﹣2+m，解得m＝﹣5．【變式3-1】定義一種新運(yùn)算“⊕”，其運(yùn)算規(guī)則為：a⊕b＝﹣2a+3b，如：1⊕5＝（﹣2）×1+3×5＝13．在以上運(yùn)算規(guī)則下，解決下列問題，（1）計(jì)算：2⊕（﹣3）；（2）解方程：x⊕2＝10．【答案】（1）﹣13；（2）x＝﹣2．【解答】解：（1）∵a⊕b＝﹣2a+3b，∴2⊕（﹣3）＝（﹣2）×2+3×（﹣3）＝﹣4﹣9＝﹣13；（2）∵a⊕b＝﹣2a+3b，x⊕2＝10，∴﹣2x+3×2＝10，∴﹣2x+6＝10，∴﹣2x＝4，∴x＝﹣2．【變式3-2】（興化市期末）用“*”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a*b＝b2+2ab，如：1*4＝42+2×1×4＝24．（1）求2*（﹣5）的值；（2）若（3x﹣2）*1＝x，求x的值．【答案】（1）5；（2）．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝（﹣5）2+2×2×（﹣5）＝25﹣20＝5；（2）根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：1+2（3x﹣2）＝x，去括號(hào)得：1+6x﹣4＝x，移項(xiàng)合并得：5x＝3，解得：x＝．【變式3-3】（2023春?英德市期中）規(guī)定一種新運(yùn)算法則：x*y＝x2﹣2xy．（1）求（﹣3）*1的值；（2）若2*（t+1）＝8，求（1﹣t）*t的值．【答案】（1）15；（2）21．【解答】解：（1）由題意可得：（﹣3）*1＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）×1＝9+6＝15；（2）由題意得：22﹣2（t+1）×2＝8，解得：t＝﹣2，∴（1﹣t）*t＝3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．【變式3-4】（2023春?石獅市校級(jí)月考）若規(guī)定，如．（1）計(jì)算：的值；（2）當(dāng)，求x的值．【答案】（1）22；（2）x＝1．【解答】解：（1）；（2）∵，∴，去括號(hào)得x﹣2+2x+4＝5，解得x＝1．【變式3-5】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）定義一種新運(yùn)算“*”：M*N＝3M﹣2N，解方程．【答案】x＝﹣2．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：x﹣（x﹣1）＝3﹣4，去分母得：9x﹣4（x﹣1）＝﹣6去括號(hào)得：9x﹣4x+4＝﹣6，移項(xiàng)合并得：5x＝﹣10，系數(shù)化為1得：x＝﹣2．【變式3-6】我們常用符號(hào)[x]表示小于或者等于x的最大整數(shù)．例如[0]＝0，[2.3]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，[π]＝3．由此可以知道，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，[x]＝x．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）[1.2]＝1，[﹣3.8]＝﹣4，[2π]＝6．（2）計(jì)算并找規(guī)律：[1]+[﹣1]＝0，[200]+[﹣200]＝0；[1.5]+[﹣1.5]＝﹣1，[3.14]+[﹣3.14]＝﹣1．根據(jù)以上計(jì)算，可歸納出：①當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，[x]+[﹣x]＝0．②當(dāng)x不為整數(shù)時(shí)，[x]+[﹣x]＝﹣1．（3）計(jì)算：[﹣20]+[﹣19]+[﹣19]+[﹣18]+[﹣18]+…+[﹣1]+[﹣]+[0]+[]+[1]+…+[18]+[18]+[19]+[19]+[20]；（4）解關(guān)于x的方程：x+[2x]+[4x]+[6x]+…+[18x]+[20x]＝1332．【答案】（1）1，﹣4，6；（2）0，0，﹣1，﹣1，0，﹣1；（3）﹣20；（4）方程無解．【解答】解：由題意得，（1）[1.2]＝1，[﹣3.8]＝﹣4，[2π]＝6．故答案為：1，﹣4，6；（2）[1]+[﹣1]＝0，[200]+[﹣200]＝0，[1.5]+[﹣1.5]＝﹣1，[3.14]+[﹣3.14]＝﹣1．根據(jù)以上計(jì)算，可歸納出：①當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，[x]+[﹣x]＝0．②當(dāng)x不為整數(shù)時(shí)，[x]+[﹣x]＝﹣1．故答案為：0，0，﹣1，﹣1，0，﹣1；（3）+[1]+…+[18]+[18]+[19]+[19]+[20]＝﹣20+（﹣20）+（﹣19）+（﹣19）+（﹣18）+…+（﹣1）+（﹣1）+0+0+1+…+18+18+19+19+20＝﹣20；（4）由題意，①當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，x+[2x]+[4x]+[6x]+…+[18x]+[20x]＝1332，∴x+2x+3x+…+20x＝1332．∴x＝1332．∴x＝．∵x為整數(shù)，∴x不合題意；②當(dāng)x是不是整數(shù)時(shí)，∵[2x]+[4x]+[6x]+…+[18x]+[20x]結(jié)果必為整數(shù)，∴x+[2x]+[4x]+[6x]+…+[18x]+[20x]結(jié)果必然包含小數(shù)，原方程不成立；綜上所述，方程無解．【題型4判斷解一元一次方程的過程】【典例4】用好錯(cuò)題本可以有效地積累解題策略，減少再錯(cuò)的可能．下面是小凱錯(cuò)題本上的一道題，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)，﹣＝解：2×2x﹣（4﹣3x）＝2（5x+8）第一步4x﹣4+3x＝10x+16第二步4x+3x﹣10x＝16﹣4第三步﹣3x＝12第四步x＝﹣4第五步任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形的；第二步去括號(hào)時(shí)用到的運(yùn)算律是乘法分配律；②第三步開始出錯(cuò)，這一步錯(cuò)誤的原因是移項(xiàng)沒有變號(hào)；③請(qǐng)直接寫出該方程的正確解：x＝﹣；任務(wù)二：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程還需要注意的事項(xiàng)給同學(xué)們提一條建議．【答案】任務(wù)一：①等式的基本性質(zhì)，乘法分配律；②三，移項(xiàng)沒有變號(hào)；③x＝﹣；任務(wù)二：答案不唯一，如：去分母時(shí)要防止漏乘；或括號(hào)前面是“﹣”號(hào)，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)里面各項(xiàng)都要變號(hào)等．【解答】解：任務(wù)一：①以上解題過程中，第一步的依據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形得；第二步去括號(hào)時(shí)用到的運(yùn)算律是乘法分配律；②第三步開始出錯(cuò)，這一步錯(cuò)誤的原因是移項(xiàng)沒有變號(hào)；③該方程的正確解是x＝﹣；故答案為：①等式的基本性質(zhì)，乘法分配律；②三，移項(xiàng)沒有變號(hào)；③x＝﹣；任務(wù)二：答案不唯一，如：去分母時(shí)要防止漏乘；或括號(hào)前面是“﹣”號(hào)，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)里面各項(xiàng)都要變號(hào)等．【變式4-1】以下是圓圓解方程的解答過程．解：去分母，得2（2x﹣1）﹣5（x+1）＝10……①去括號(hào)，得4x﹣2﹣5x+5＝10……②移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得﹣x＝13……③系數(shù)化為1，得x＝﹣13……④圓圓的解答是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】x＝﹣17．【解答】解：圓圓的解答過程有錯(cuò)誤，正確的解答過程是：，去分母，得2（2x﹣1）﹣5（x+1）＝10，去括號(hào)，得4x﹣2﹣5x﹣5＝10，移項(xiàng)，得4x﹣5x＝10+2+5，合并同類項(xiàng)，得﹣x＝17，系數(shù)化為1，得x＝﹣17．【變式4-2】用好錯(cuò)題本可以有效地積累解題策略，減少再錯(cuò)的可能．下面是小嚴(yán)同學(xué)錯(cuò)題本上的一道題，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．﹣＝解：2×3x﹣（6﹣3x）＝4（3x+1）第一步6x﹣6+3x＝12x+4第二步6x+3x﹣12x＝4﹣6第三步﹣3x＝﹣2第四步x＝第五步任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)等式的性質(zhì)2進(jìn)行變形的；第二步去括號(hào)時(shí)用到的運(yùn)算律是乘法分配律；②第三步開始出錯(cuò)，這一步錯(cuò)誤的原因是﹣6從左邊移項(xiàng)至右邊未變號(hào)；③請(qǐng)直接寫出該方程的正確解：；任務(wù)二：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程還需要注意的事項(xiàng)給同學(xué)們提一條建議．【答案】①等式的性質(zhì)2；乘法分配律；②三；﹣6從左邊移項(xiàng)至右邊未變號(hào)；③；任務(wù)二：見解析．【解答】解：任務(wù)一：填空：①等式的性質(zhì)2；乘法分配律；②三；﹣6從左邊移項(xiàng)至右邊未變號(hào)；③﹣＝，2×3x﹣（6﹣3x）＝4（3x+1），6x﹣6+3x＝12x+4，6x+3x﹣12x＝4+6，﹣3x＝10，；故答案為：①等式的性質(zhì)2；乘法分配律；②三；﹣6從左邊移項(xiàng)至右邊未變號(hào)；③；任務(wù)二：開放性答案：如“注意去分母時(shí)出現(xiàn)的“漏乘”現(xiàn)象”；“去括號(hào)時(shí)，沒有變號(hào)”；“去括號(hào)時(shí)沒有正確運(yùn)用乘法分配律”；“移項(xiàng)忘記變號(hào)”等．【變式4-3】下圖是小明同學(xué)解方程的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答所提出的問題．解：去分母，得18x+3（x﹣1）＝18﹣2（2x﹣1），①去括號(hào)，得18x+3x﹣3＝18﹣4x﹣2，②移項(xiàng)，得18x+3x+4x＝18﹣2+3，③合并同類項(xiàng)，得25x＝19，④系數(shù)化為1，得，⑤（1）聰明的你知道小明的解答過程在②（填序號(hào)）處出現(xiàn)了錯(cuò)誤．（2）請(qǐng)寫出正確的解答過程．【答案】（1）②；（2）見解析．【解答】解：（1）小明的解答過程中第②步去括號(hào)時(shí)等號(hào)的右邊為+2，即18x+3x﹣3＝18﹣4x+2，故答案為：②．（2）解：去分母，得：18x+3（x﹣1）＝18﹣2（2x﹣1），去括號(hào)，得：18x+3x﹣3＝18﹣4x+2移項(xiàng)，得：18x+3x+4x＝18+2+3合并同類項(xiàng)，得：25x＝23，系數(shù)化為1，得【變式4-4】下面是小穎同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：＝1．解：去分母，得5x﹣2（x﹣1）＝1，?第一步去括號(hào)，得5x﹣2x+2＝1，?第二步移項(xiàng)，得5x﹣2x＝1﹣2，?第三步合并同類項(xiàng)，得3x＝﹣1，?第四步方程兩邊同除以3，得x＝﹣．，?第五步（1）以上求解步驟中，第三步進(jìn)行的是移項(xiàng)，這一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；（2）以上求解步驟中，第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體的錯(cuò)誤原因是等式的右邊未乘分母的最小公倍數(shù)10；（3）請(qǐng)寫出正確解方程的過程．【答案】（1）移項(xiàng)，等式的基本性質(zhì)；（2）一，等式的右邊未乘分母的最小公倍數(shù)10；（3）x＝．【解答】解：（1）以上求解步驟中，第三步進(jìn)行的是移項(xiàng)，這一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1，故答案為：移項(xiàng)，等式的基本性質(zhì)；（2）以上求解步驟中，第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體的錯(cuò)誤原因是等式的右邊未乘分母的最小公倍數(shù)10，故答案為：一，等式的右邊未乘分母的最小公倍數(shù)10；（3）＝1，解：兩邊同乘6得：5x﹣2（x﹣1）＝10，去括號(hào)得：5x﹣2x+2＝10，移項(xiàng)得：5x﹣2x＝10﹣2，合并同類項(xiàng)得：3x＝8，兩邊同除以3，得x＝．【變式4-5】下面是小明同學(xué)解方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：去分母，得3（x+3）﹣（5x﹣3）＝1．……第一步去括號(hào)，得3x+9﹣5x+3＝1．…………第二步移項(xiàng)，得3x﹣5x＝﹣9﹣3+1．…………第三步合并同類項(xiàng)，得﹣2x＝﹣11．…………第四步系數(shù)化為1，得………………第五步任務(wù)：①第一步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是等式的右邊沒乘6②第三步變形的依據(jù)（填寫具體內(nèi)容）是等式的兩邊都減去9和3．③該一元一次方程的解是x＝3．④寫出一條解一元一次方程時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng)．【答案】①一，等式的右邊沒乘6，②等式的兩邊都減去9和3，④x＝3，④方程的兩邊都乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘（答案不唯一）．【解答】解：①第一步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是等式的右邊沒乘6，②第三步變形的依據(jù)是等式的兩邊都減去9和3，③﹣＝1，去分母，得3（x+3）﹣（5x﹣3）＝6，去括號(hào)，得3x+9﹣5x+3＝6，移項(xiàng)，得3x﹣5x＝﹣9﹣3+6，合并同類項(xiàng)，得﹣2x＝﹣6，系數(shù)化為1，得x＝3，即該方程的解是x＝3，④解一元一次方程時(shí)應(yīng)注意的一條事項(xiàng)是去分母時(shí)，方程的兩邊都乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘．故答案為：一，等式的右邊沒乘6，等式的兩邊都減去9和3，x＝3．【題型5運(yùn)用一元一次方程-無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)】【典例5】（2022秋?禹城市期末）問題解決：是小學(xué)大家都承認(rèn)的事實(shí)，但你能推理說明其中的道理嗎？小明有如下的探究：解：所以設(shè)，則10x＝，所以10x﹣x＝9，解得x＝1，于是．（1）實(shí)踐探究：請(qǐng)你仿照小明的方法把下列兩個(gè)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，要求寫出利用一元一次方程進(jìn)行解答的過程：①②（2）拓展延伸：直接寫出將化成分?jǐn)?shù)的結(jié)果為．【答案】（1）①；②；（2）．【解答】解：（1）①＝0.7777……，∴設(shè)＝x，則10x＝7.7777……，∴10x﹣x＝7，解得x＝，∴＝；②＝0.121212……，設(shè)＝x，則100x＝12.1212……，∴100x﹣x＝12，解得x＝＝；（2）＝0.43222……，設(shè)＝x，則100x＝43.2222……，1000x＝432.222……，∴1000x﹣100x＝389，解得x＝，故答案為：．【變式5-1】（2022秋?龍亭區(qū)校級(jí)期末）我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)、有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，事實(shí)上，所有的有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)形式（整數(shù)可看作分母為1的分?jǐn)?shù)），那么無限循環(huán)小數(shù)如何表示為分?jǐn)?shù)形式呢？請(qǐng)看以下示例：例：將0.化為分?jǐn)?shù)形式，由于0.＝0.777…，設(shè)x＝0.777…，①得10x＝7.777…，②②﹣①得9x＝7，解得x＝，于是得0.＝．同理可得0.＝＝，1.＝1+0.＝1+＝．根據(jù)以上閱讀，回答下列問題：（以下計(jì)算結(jié)果均用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【類比應(yīng)用】（1）4.＝4；（2）將0.化為分?jǐn)?shù)形式，寫出推導(dǎo)過程；【遷移提升】（3）0.2＝，2.0＝；（注0.2＝0.225225…，2.0＝2.01818…）【拓展發(fā)現(xiàn)】（4）若已知0.1428＝，則2.8571＝．【答案】（1）4；（2）；（3），；（4）．【解答】解：（1）4.＝4＝4；（2）設(shè)x＝0.272727…，①∴100x＝27.272727…，②②﹣①得：99x＝27，解得：，∴，∴0.＝；（3）0.2＝＝，∵，∴，∴；（4）∵0.1428＝，∴等號(hào)兩邊同時(shí)乘以1000得：714..8571＝，∴2.8571＝714.8571﹣712＝﹣712＝．故答案為：4；，；．【變式5-2】（2022秋?蕪湖期末）閱讀材料：如何將化為分?jǐn)?shù)形式．探究過程：步驟①設(shè)；步驟②；步驟③，則；步驟④10x＝7+x，解得．請(qǐng)你根據(jù)上述閱讀材料，解答下列問題：（1）步驟①到步驟②的依據(jù)是等式的性質(zhì)2；（2）仿照上述探究過程，請(qǐng)你把化為分?jǐn)?shù)形式：步驟①設(shè)，步驟②；步驟③，則；步驟④100x＝37+x，解得x＝；（3）請(qǐng)你將化為分?jǐn)?shù)形式，并說明理由．【答案】（1）等式的性質(zhì)2；（2），則；100x＝37+x；；（3），理由見解析．【解答】解：（1）步驟①到步驟②相當(dāng)于等號(hào)兩邊同時(shí)乘以10，變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2，故答案為：等式的性質(zhì)2；（2）③，則，④100x＝37+x，解得；故答案為：，則；100x＝37+x；；（3）設(shè)，，，，∴10x＝8+x，解得；設(shè)，，，，∴，解得．【題型6含絕對(duì)值的一元一次方程】【典例6】（2022秋?梁山縣期末）閱讀理解：在解形如3|x﹣2|＝|x﹣2|+4這一類含有絕對(duì)值的方程時(shí)，可以根據(jù)絕對(duì)值的意義分x＜2和x≥2兩種情況討論：當(dāng)x＜2時(shí)，原方程可化為﹣3（x﹣2）＝﹣（x﹣2）+4，解得：x＝0，符合x＜2．當(dāng)x≥2時(shí)，原方程可化為3（x﹣2）＝（x﹣2）+4，解得：x＝4，符合x≥2．∴原方程的解為：x＝0或x＝4．解題回顧：本題中，2為（x﹣2）的零點(diǎn)，它把數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分成了x＜2和x≥2兩部分，所以分x＜2和x≥2兩種情況討論．嘗試應(yīng)用：（1）仿照上面方法解方程：|x﹣3|+8＝3|x﹣3|．遷移拓展：（2）運(yùn)用分類討論先去絕對(duì)值符號(hào)的方法解方程：|x﹣3|﹣3|x+2|＝x﹣9．（提示：本題中有兩個(gè)零點(diǎn)，它們把數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分成了幾部分呢？）【答案】（1）原方程的解為：x＝﹣1或x＝7；（2）原方程的解為：x＝﹣18或x＝．【解答】解：（1）分兩種情況：當(dāng)x＜3時(shí)，原方程可化為：3﹣x+8＝3（3﹣x），解得：x＝﹣1，符合x＜3，當(dāng)x≥3時(shí)，原方程可化為：x﹣3+8＝3（x﹣3），解得：x＝7，符合x≥3，∴原方程的解為：x＝﹣1或x＝7；（2）分三種情況討論：當(dāng)x＜﹣2時(shí)，原方程可化為：3﹣x+3（x+2）＝x﹣9，解得：x＝﹣18，符合x＜﹣2，當(dāng)﹣2≤x＜3時(shí)，原方程可化為：3﹣x﹣3（x+2）＝x﹣9，解得：x＝，符合﹣2≤x＜3，當(dāng)x≥3時(shí)，原方程可化為：x﹣3﹣3（x+2）＝x﹣9，解得：x＝0，不符合x≥3，∴原方程的解為：x＝﹣18或x＝．【變式6-1】（2022秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）某班數(shù)學(xué)興趣小組探索絕對(duì)值方程的解法．例如解絕對(duì)值方程：|2x|＝1．解：分類討論：當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為2x＝1，它的解是x＝．當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為﹣2x＝1，它的標(biāo)是x＝﹣．∴原方程的解為x＝或x＝﹣．（1）依例題的解法，方程|x|＝3的解是x＝6或x＝﹣6．（2）在嘗試解絕對(duì)值方程|x﹣2|＝3時(shí)，小明提出想法可以繼續(xù)依例題的方法用分類討論的思想把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值方程，試按小明的思路完成解方程過程；（3）在嘗試解絕對(duì)值方程|x﹣3|＝5時(shí)，小麗提出想法，也可以利用數(shù)形結(jié)合的思想解絕對(duì)值方程，在前面的學(xué)習(xí)中我們知道，|a﹣b|表示數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)A、B之間的距離，則|x﹣3|＝5表示數(shù)x與3在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，結(jié)合數(shù)軸可得方程的解是x＝8或x＝﹣2；（4）在理解上述解法的基礎(chǔ)上，自選方法解關(guān)于x的方程|x﹣2|+|x﹣1|＝m（m＞0）；（如果用數(shù)形結(jié)合的思想，簡(jiǎn)要畫出數(shù)軸，并加以必要說明）．【答案】（1）x＝6或x＝﹣6；（2）x＝5或x＝﹣1；（3）x＝8或x＝﹣2；（4）當(dāng)m＝1時(shí)，方程有無數(shù)解；當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程無解；當(dāng)m＞1時(shí)，x＝或x＝．【解答】解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，原方程可化為x＝3，它的解是x＝6，當(dāng)x＜0時(shí)，原方程可化為﹣x＝3，它的解是x＝﹣6，∴原方程的解為x＝6或x＝﹣6，故答案為：x＝6或x＝﹣6；（2）當(dāng)x≥2時(shí)，原方程可化為x﹣2＝3，它的解是x＝5，當(dāng)x＜2時(shí)，原方程可化為﹣x+2＝3，它的解是x＝﹣1，∴原方程的解為x＝5或x＝﹣1，故答案為：x＝5或x＝﹣1；（3）數(shù)軸上與3的點(diǎn)