大學(xué)物理第十四章波動光學(xué)課后習(xí)題答案及復(fù)習(xí)內(nèi)容

第十四章波動光學(xué)

一、基本要求

1.掌握光程的概念以及光程差和相位差的關(guān)系。

2.理解獲得相干光的方法，能分析確定楊氏雙縫干涉條紋及薄膜等厚干涉

條紋的位置，了解邁克爾遜干涉儀的工作原理。

3.了解惠更斯-菲涅耳原理；掌握用半波帶法分析單縫夫瑯和費(fèi)衍射條紋的

產(chǎn)生及其明暗紋位置的計(jì)算，會分析縫寬及波長對衍射條紋分布的影響。

4.掌握光柵衍射公式。會確定光柵衍射譜線的位置。會分析光柵常數(shù)及波

長對光柵衍射譜線分布的影響。

5.了解自然光和線偏振光。理解布儒斯特定律和馬呂斯定律。理解線偏振

光的獲得方法和檢驗(yàn)方法。

6.了解雙折射現(xiàn)象。

二、基本內(nèi)容

1.相干光及其獲得方法

只有兩列光波的振動頻率相同、振動方向相同、振動相位差恒定時(shí)才會發(fā)

生干涉加強(qiáng)或減弱的現(xiàn)象，滿足上述三個(gè)條件的兩束光稱為相干光。相應(yīng)的光源

稱為相干光源。

獲得相干光的基本方法有兩種：（1）分波振面法（如楊氏雙縫干涉、洛埃鏡、

菲涅耳雙面鏡和菲涅耳雙棱鏡等）；（2）分振幅法（如薄膜干涉、劈尖干涉、牛

頓環(huán)干涉和邁克耳遜干涉儀等）。

2.光程和光程差

（1）光程把光在折射率為"的媒質(zhì)中通過的幾何路程r折合成光在真空

中傳播的幾何路程x,稱x為光程。x=〃r

（2）光程差在處處采用了光程概念以后就可以把由相位差決定的干涉加

強(qiáng)，減弱等情況用光程差來表示，為計(jì)算帶來方便。即

當(dāng)兩光源的振動相位相同時(shí)，兩列光波在相遇點(diǎn)引起的振動的位相差

△e=Cx21（其中人為真空中波長，6為兩列光波光程差）

3.半波損失

光由光疏媒質(zhì)（即折射率相對小的媒質(zhì)）射到光密媒質(zhì)發(fā)生反射時(shí)，反射光

的相位較之入射光的相位發(fā)生了萬的突變，這一變化導(dǎo)致了反射光的光程在反射

過程中附加了半個(gè)波長，通常稱為“半波損失

4.楊氏雙縫干涉

經(jīng)楊氏雙縫的兩束相干光在某點(diǎn)產(chǎn)生干涉時(shí)有兩種極端情況：（1）位相差為

0或2萬的整數(shù)倍，合成振動最強(qiáng)；（2）位相差》的奇數(shù)倍，合成振動最弱或?yàn)?/p>

0。其對應(yīng)的光程差

八仕=0,1,2,...）最強(qiáng)

±（2k-l）—（左=1,2,...）最弱

-2

楊氏的雙縫干涉明、暗條紋中心位置：

x=±k^^-（k=0,1,2,???）亮條紋

d

x=+（2k-Y）—（k=1,2,???）暗條紋

2d

相鄰明紋或相鄰暗紋間距：

Ar=-2（D是雙縫到屏的距離,d為雙縫間距）

d

5.薄膜干涉

以々＜〃2為例，此時(shí)反射光要計(jì)“半波損失”，透射光不計(jì)“半波損失”。則

反射光干涉公式：（干涉條紋定域于薄膜上表面）

明紋8=2^2-?i2sin2z+1=U(Z=l,2,…)

___________01

暗紋8=2eJn；-n-sin2i+-=(2A:+1)-(%=0,1,2,…)

v22

透射光干涉公式為：(干涉條紋定域于薄膜下表面)

明紋3=2eqsin.=kA(k=1,2,-??)

暗紋8=2e-7?2-?.2sin2z=(2A:+1)1

%=0,1,2,…)

這里強(qiáng)調(diào)同學(xué)們要注意的是，一定要先分析反射光是否存在“半波損失”的情

況，不能死搬硬套，另外要明白反射光加強(qiáng)的位置一定是透射光減弱否則就違反

了能量守恒的定則。

特殊地，垂直入射時(shí)，=（）,則有

（明紋）

上表面8=2n2e-\——=<(2^+1)1

（暗紋）

顯然，對空氣劈尖，由于存在“半波損失”，所以上式適用于空氣劈尖的反射

光干涉的結(jié)論。而對牛頓環(huán)也是一空氣劈尖，同樣適用。只不過牛頓環(huán)的測量常

換成平凸透鏡中心的距離;?與透鏡的曲率半徑R來表示牛頓環(huán)的明暗紋

(2J)/U

%=1,2,…(明環(huán))

2

r=-JkR入Z=l,2,…(暗環(huán))

6.邁克爾遜干涉儀

利用分振幅法使兩個(gè)相互垂直的平面鏡形成一等效的空氣薄膜，產(chǎn)生雙光束

干涉。干涉條紋移動條數(shù)N與平面鏡移動距離〃之間的關(guān)系

.A

d=N—

7.惠更斯-菲涅耳原理

菲涅耳發(fā)展了惠更斯原理，他認(rèn)為波在傳播過程中，從同一波陣面上各點(diǎn)發(fā)

出的子波，經(jīng)傳播而在空間某點(diǎn)相遇時(shí)，產(chǎn)生相干疊加。這個(gè)發(fā)展了的惠更斯原

理稱為惠更斯-菲涅耳原理。

光的衍射是同一光束中無數(shù)子波在障礙物后疊加而相干的結(jié)果。

8.單縫衍射

用半波帶法處理單縫衍射問題，可以避免復(fù)雜的計(jì)算。

（1）衍射明紋中心位置3=asin*=±（2左+1）（（4=1,2,,…）

(2)衍射暗紋中心位置8=asmcp=+k2.(女=1,2,,…)

(3)其中在上=1的兩個(gè)第一級暗紋之間的區(qū)域，即

-A<asin(p<A范圍為中央明紋

中央明紋寬度”=紅人

a

9.光柵衍射

(1)光柵由大量等寬等間隔的平行狹縫構(gòu)成的光學(xué)元件稱為光柵。

(2)光柵常數(shù)如果光柵的一個(gè)狹縫寬為“，縫間不透光部分寬為分，則

把(a+加=d稱為光柵常數(shù)或光柵常量。

(3)光柵衍射如果把平行單色光垂直入射到光柵上，透過光柵每條縫的

光都會產(chǎn)生衍射，這N條縫的N套衍射條紋通過會聚透鏡后，又互相發(fā)生干涉,

會形成細(xì)又亮的干涉主極大(明條紋)，所以光柵衍射就是單縫衍射和多縫干涉

的總效果。

①光柵衍射主極大條件(光柵方程)

(a+b)sin(p=kA.(k=0,±1,±2,,---)

②缺級條件若某一位置滿足光柵方程的明紋條件，而單縫衍射在該處卻

正好為暗紋中心，則該級譜線便不會出現(xiàn)，這種現(xiàn)象稱為缺級，所滿足方程式為:

3+b)sin°=9即心伏，=±1,±2,,…)

③光譜重疊如果波長為4的第乙級譜線與波長為友的第七級譜線同時(shí)

出現(xiàn)在屏上的同一位置，這種現(xiàn)象稱為重疊，光譜級次越高，其重疊情況越復(fù)雜。

兩譜線重疊時(shí)必須滿足如下條件：

匕21k,九2

10.X射線衍射

X射線射到晶體上時(shí)產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象稱為X射線衍射。X射線在晶體上產(chǎn)

生強(qiáng)反射(形成亮斑)的條件為

2Jsin0=kA(k=0,1,2,...)

此式又叫布拉格方程。式中d為相鄰晶面間的距離。

11.自然光與偏振光

(1)自然光光矢量的振動在各個(gè)方向上的分布是對稱的，振幅也可看作

完全相等，這種光稱為自然光。

可以把自然光分解為兩個(gè)相互獨(dú)立的(無相位關(guān)系)，等振幅的，相互垂直

方向的振動。

(2)線偏振光

如果光矢量始終沿某一方向振動，這樣的光稱為線偏振光。

線偏振光的振動的方向與光的傳播方向構(gòu)成的平面稱為振動面。由于線偏

振光的光矢量保持在固定的振動面內(nèi)，所以又稱為平面偏振光或完全偏振光。

(3)部分偏振光

在一束光中，雖然光振動在各個(gè)方向都有，但各方向的振幅大小不同；或者

一束光中，如果某一振動方向的光振動較強(qiáng)，與之垂直的方向上光振動較弱，則

這一束光稱為部分偏振光。

12.馬呂斯定律

2

I=/()cosa

式中為入射到檢偏器的線偏振光的光強(qiáng)。/為通過檢偏器的透射光強(qiáng)(不

計(jì)檢偏器對透射光的吸收)，a為檢偏器的偏振化方向和入射線偏振光的光矢量

振動方向之間的夾角。

注意：(1)若是自然光入射到檢偏器，則通過檢偏器后，透射光強(qiáng)為入射光

強(qiáng)的一半。

(2)檢偏器對透射光有吸收，如吸收x%,則/=(l-x%"ocos2a。

13.布儒斯特定律

當(dāng)入射角，。滿足條件tani°=生時(shí)，反射光為振動方向與入射面垂直的

完全偏振光。式中々為入射空間媒質(zhì)折射率，散為折射空間媒質(zhì)折射率，4稱為

布儒斯特角。

對定律應(yīng)注意：當(dāng)，?，。入射時(shí)，折射光仍為部分偏振光(平行于入射面成

分占優(yōu)勢）。

14.雙折射現(xiàn)象

雙折射現(xiàn)象：一束光射入各向異性的晶體內(nèi)分成兩束折射光的現(xiàn)象。

光沿光軸方向在晶體內(nèi)傳播時(shí)不產(chǎn)生雙折射。光軸表示一個(gè)方向、不是指

某一條直線。

（1）尋常光，簡稱。光

在雙折射中，遵守折射定律的一束折射光稱為尋常光。尋常光為線偏振光。

晶體內(nèi)任一條光線和光軸所決定的平面稱為這條光線的主平面。。光的電

矢量（光矢量）的振動方向垂直于其主平面。

（2）非常光，簡稱e光

在雙折射中，另一束不遵循折射定律（即折射光線并不一定在入射面內(nèi)、而

且對不同入射角，入射角的正弦與折射角的正弦之比不是恒量）的光稱為非常光。

非常光為線偏振光。e光的電矢量（光矢量）振動方向總在其主平面內(nèi)。

。光和e光都是對某種晶體而言，離開了晶體我們只能說它們是線偏振光。

引起雙折射的原因是這兩種光線在晶體內(nèi)傳播速度不同。。光沿晶體內(nèi)各

個(gè)方向的傳播速度相同，其波面是球面，其折射率〃。為一常數(shù)；e光沿晶體內(nèi)各

個(gè)方向的傳播速度不同，它的波面為橢球面。沿光軸方向兩束光的速度相同，折

射率相同：%沿非光軸方向0"#4。

對于e光，沿各方向的傳播速率不同，不存在普遍意義的折射率。通常把

真空中光速c與e光沿垂直于光軸方向的傳播速率%之比，稱為e的主折射率，

即ne=c/veo

在垂直于光軸方向上％與。,相差最大。

若%>4,no<ne,該晶體稱為正晶體。石英是一種正晶體；若以〉鞏，

ne<no,這種晶體稱為負(fù)晶體。方解石是一種負(fù)晶體。

15.獲得偏振光的方法

獲得偏振光的方法有三種：（1）利用晶體的選擇性吸收；（2）利用介質(zhì)的

反射和折射；（3）利用晶體的雙折射。

三、習(xí)題選解

14-3如圖所示，在楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)

作如下調(diào)節(jié)時(shí)，屏幕上的干涉條紋將如何

變化？（扼要說明理由）

（1）使兩縫之間的距離逐漸減小；

（2）保持雙縫的距離不變，使雙縫與屏幕之間的距離逐漸變??；題14-3圖

（3）如圖所示，把雙縫中的一條狹縫遮住，并在兩縫的垂直平分線上放置一

塊平面反射鏡。

解：（1）令兩縫之間的距離為d,雙縫與屏之間的距離為。，屏上任意一條

干涉條紋到屏中央的距離為X。

楊氏雙縫干涉明、暗條紋的分布由光程差

z/r

S^—=dsmO

D

所確定dsin8=±H（干涉相長）

"sine=±（2Z+l）〃2（干涉相消）

其中。為干涉條紋的角距離

并一且sin。=x/D

即x明=+k?A

,.DA

Xng±（2Z+1）---

暗d2

據(jù)題意若d減小，在。和2不變的情況下，對應(yīng)級數(shù)的加、x暗均增大，

即d減小時(shí)，干涉條紋變疏，兩側(cè)條紋向遠(yuǎn)離中央的方向移動。

楊氏雙縫干涉的相鄰明條紋或暗條紋的間距為

A?x—DA,

d

所以在。和；I一定的情況下，減少"便使Ax增大，即干涉條紋的間距變寬。干

涉圖樣變得容易分辨。

（2）同理，若d和2保持不變，減少O,對應(yīng)級數(shù)的x明、/減少，Ac也變小,

即?？s短后干涉條紋變密，由兩側(cè)向中央靠攏，到一定程度時(shí)將分辨不清干涉條紋。

（3）此裝置是使經(jīng)跖一部分直接照射在屏上的入射光和一部分經(jīng)平面鏡反射的

反射光在空間形成干涉。反射光可認(rèn)為是由位于$2上的虛光源發(fā)出的。一個(gè)實(shí)光源

和一個(gè)虛光源相當(dāng)于楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)相干光源，但由于反射光在空氣和平面

鏡的分界面上反射時(shí)附加了半波損失，所以它的相干條件為

e/sin6?=（2^+1）2/2（干涉相長）

Jsin^=U（干涉相消）

或x=（2^+1）---（干涉相長）

llfld2

X暗=吟2（干涉相消）

此裝置的干涉條紋和楊氏雙縫干涉的條紋相比其明暗條紋的分布的狀況恰好相

反。

14-4如圖所示，雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中S&=SS2,用波長4的光照射跖和S2,通過

空氣后在屏幕上形成干涉條紋，已知P點(diǎn)處為第三級亮條紋，求加到P和52到P點(diǎn)

的光程差，若將整個(gè)裝置放在某種透明液體中，P點(diǎn)為第四級亮條紋，求該液體的

折射

率。

解：因?yàn)槭c(diǎn)處為第三級亮條紋，由定義：

3=西+歹-（西+麗=/-帝=3;1

放在某種透明液體中時(shí).，光波長會變?yōu)榉剑?/p>

此時(shí)有5=4元=34

3W4

所以=—A>但犬=—故〃=—=1.33。題14-4圖

4n3

14-5由弧光燈發(fā)出的光通過一綠色濾光片后，照射到相距為0.60加加的雙縫上,

在距雙縫2.5〃?遠(yuǎn)處的屏幕上出現(xiàn)干涉條紋?，F(xiàn)測得相鄰兩明條紋中心的距離為

2.21mm,求入射光的波長？

解：楊氏雙縫干涉條紋間距為

Ax=-A

d

其中，4為雙縫間距，。為屏幕到雙縫的距離，由此有

2=-Ax=°仞*1°—x2.27x10=5.5x107m=0.55um

D2.5

14-6在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，屏幕到雙縫的距離。遠(yuǎn)大于雙縫之間的距離d,對于

鈉光燈的黃光(589.3〃〃?)產(chǎn)生的干涉條紋，相鄰兩明紋的角距離(即相鄰兩明紋

對雙縫處的張角)為().20°：

(1)對什么波長的光，這個(gè)雙縫裝置所得相鄰兩條紋的角距離比用鈉黃光測得

的角距離大10%?

(2)假如將該裝置全部置于水中(水的折射率為1.33),用鈉黃光照射時(shí)相鄰

兩明紋角距離有多大？

解：由于￡>>>d,可以認(rèn)為是在無窮遠(yuǎn)處平行光的干涉，干涉相長的條件為

dsinO=kAk=0,±1,±2,---

相鄰的第4級和左+1級的干涉明條紋對應(yīng)的張角為

dsinq=kA.

dsmOM=(k+1)4

dsin4+1-dsmOk=A.

當(dāng)％較小時(shí)，可近似％用代替sina

d⑸+「*)=九

相鄰明紋角間距\。=三

d

(1)由題意，用波長，的光照射同樣狹縫時(shí)

△夕=(1+().1心6=1.必6

X-d\0=1.\d\Onm=l.lxA=l.lx589.3/7m=648.23/w?

(2)將該裝置置于水中時(shí)，干涉相長條件變?yōu)?/p>

ndsin0=kA

相應(yīng)的角分辨率為

nd\0=A\6=—

nd

此時(shí)光波長2和狹縫間距均未變

-=0.200

d

此時(shí)相鄰明紋角間距為

A6>=-1x0.20°=-0^20°-=0.15°

n1.33

14-7如圖所示，用單色光源照雙縫，在屏上形成,上

的干涉圖樣中央零級明條紋位于。點(diǎn)。若將縫光源s\

移至s',零級明紋將發(fā)生移動。欲使零級明紋回到原于三

點(diǎn)，必須在哪個(gè)縫覆蓋一薄云母片才有可能？若用波1I

長589〃加的單色光，欲使移動了4個(gè)明紋間距的零級

明紋回到。點(diǎn)，云母片的厚度應(yīng)為多少？

云母片的折射率為1.58。題14-7圖

解：可以看出光源由S移到S，后，S'StO<S'S2O.這時(shí)欲使零級條紋回到原點(diǎn),

應(yīng)在5,的狹縫處覆蓋云母片，以增加由S'經(jīng)3這一路光的光程使其等于5,0。

云母片折射率”=1.58,若覆蓋加云母片厚度為e,則插入云母片后引起的光程差為

8={n-l）e

由題意J=（n—l）e=42

444x589xIQ-9

m=4.06x10=4.06

n-11.58-1

14-8在楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中，用白光（波長范圍為400-700nm）垂直入射雙縫,

兩縫間距為0.2mm,在距縫1.5m處的屏幕上出現(xiàn)光譜。求:

（1）寫出各級光譜寬度計(jì)算式。

（2）第一級光譜寬度為多少？

（3）第一級光譜與第二級光譜是否重疊？

解：（1）在楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中，明紋中心位置為

x=+k——(k=0,1,2,…)

la

則各級光譜在屏幕上的寬度可表示為

Sx=k—A2

2a

2a=2x104m,￡)=1.5m,=3x107m代入得

Ax=2.25x10-3左小

(2)k=l得第一級光譜寬度為

Ax=2.25x103m

(3)第一級光譜中波長極大亮紋出現(xiàn)在屏上

處(入1=7()()nm)

12a

第二級光譜中波長極小亮紋出現(xiàn)在屏上

x2-2^—處(X2=400nm)

2a

由于24>4，所以々-%>0。即第一級光譜與第二級光譜沒有發(fā)生重疊。

14-9在兩塊折射率為1.55的平板玻璃構(gòu)成的空氣劈尖中充滿折射率〃2=138

的透明介質(zhì)，若已知A、B、C三點(diǎn)處的介質(zhì)厚度分別為

〃=0.15〃丸4=0.21〃W,分=0.25〃加，今用白光垂直入射，分別計(jì)算A、B、C三

點(diǎn)處的透射光中，哪種波長的可見光因干涉而獲得強(qiáng)度極大值。

解：由題知一束光線經(jīng)兩塊玻璃透射后，兩束光線之間的光程差中不計(jì)半波損

失,透射光的光程差為5=2%e。在強(qiáng)度極大條件下，光程差應(yīng)滿足

3-ln2e-kA,(k=l,2,…)

所以，因干涉而獲得極大的可見光中的波長為―

.2n-,e1方/一八I

2=——

7

(1)MeA=0.15///H=1.5X10-/?7

題14-9圖

,2xl.38xl.5xlO-74.14…

A=------------------------=-----x1()m

kk

此時(shí)k只能取1。所以，在〃=0.15〃〃處，波長為414nm的透射光有干涉極大。

(2)對外=0.21〃〃?=2.1x0?

,2xl.38x2.lxl0-75.80^_

X=------------------=-----x1()7m

kk

此時(shí)k仍只能取I。所以，在辦=021〃帆處，波長為580nm的透射光有干涉極大。

-7

(3)Xijec=0.25=2.5x10m

,2xl.38x2.5xl（）-76.90~

A.=-----------------=-----x10m

kk

此時(shí)k仍只能取1。所以，在=0.25〃帆處，波長為690nm的透射光有干涉極大。

14-10在空氣中垂直入射的白色光從肥皂膜上反射，在可見光光譜中630〃/〃處

有一干涉極大，而在525〃加處有一干涉極小，在這極大與極小之間沒有另外的極小。

假定膜的厚度是均勻的，求這膜的厚度。設(shè)肥皂水的折射率為1.38。

解：在垂直入射到肥皂膜的白光中，發(fā)生反射干涉的條件是：

1a（干涉極大）

C4

2ne-\——=<⑵+1）4（干涉極?。?/p>

2

2

依題意，若4=630〃機(jī)對應(yīng)的干涉極大為女級干涉極大，則;I?=525〃相對應(yīng)的是同

一級干涉極小

H--4-=k.A>t

21

2ne+—=Qk+

2

2ne=(k-=k%

k=________

2(4—4)

k入2

44=0.57pm

574〃（4-幾。）

14-11白光垂直照射到厚度為0.40〃〃的玻璃片上，玻璃的折射率為1.50,試問

在可見光范圍內(nèi)(4=400~700〃加)哪些波長的光在反射中增強(qiáng)？哪些波長的光在

透射中增強(qiáng)？

解：白光垂直照射在玻璃片上，發(fā)生反射干涉增強(qiáng)的光波長需滿足

2ne+-=kA(%=1,2,3???)

(2ne

K----

2

只有々=3時(shí),，A2=480nm,落在(4()0~700〃加)可見光范圍之內(nèi)。

發(fā)生反射干涉相消的光波波長應(yīng)滿足

AA

2ne-\——=(2k+1)—

22

i2ne

A=-卜一

當(dāng)％=2,4=600〃"，當(dāng)左=3,4=400〃,〃時(shí)落在可見光范圍內(nèi)。由能量守恒知反射

干涉相消對應(yīng)著透射光增強(qiáng)的狀況。

所以波長為480〃〃?的光波在反射中增強(qiáng)，而波長為600〃加和400〃/〃的光波在透

射中增強(qiáng)。

14-12(1)在白光的照射下，我們通常看到呈彩色花紋的肥皂膜或肥皂泡，并

且當(dāng)發(fā)現(xiàn)有黑色斑紋出現(xiàn)時(shí)，就預(yù)示著泡膜將破裂，試解釋這一現(xiàn)象。

(2)在單色光照射下觀察牛頓環(huán)的裝置中，如果在垂直平板的方向上移動平凸

透鏡，那么當(dāng)透鏡離開或接近平板時(shí)，牛頓環(huán)將發(fā)生什么變化？為什么？

答：(1)肥皂泡膜是肥皂水(〃=1.33)形成厚度一般并不均勻的薄膜，在可

見單色光照射下便可產(chǎn)生等厚干涉花紋，而且不同波長的單色光所形成的干涉花紋

分布是不同的。由于白光是包含各種波長可見光的復(fù)色光，因此肥皂泡膜在白光照

射下就可觀察到呈現(xiàn)彩色的干涉花紋。至于當(dāng)肥皂泡膜上出現(xiàn)黑色斑紋時(shí)，預(yù)示著

泡膜即將破裂可解釋如下：

泡膜上的黑斑這一局部區(qū)域可近似看作厚度e均勻的薄膜，由于它的兩表面與

空氣相接觸，因此在薄膜反射的干涉相消條件中須代入半波損失，其為

—sii?,+-=(4+,)九/=(),1,2…)

其中4為入射波長，i為光線入射角。在白光照射下出現(xiàn)黑斑這一現(xiàn)象，說明對于任

何波長的可見光在該處均產(chǎn)生干涉相消，此時(shí)唯有女=0,厚度e->0時(shí)，才能成立,

因而黑斑的出現(xiàn)即是肥皂泡膜即將破裂的先兆。

(2)在牛頓環(huán)裝置中，若平凸透鏡球面與平板玻璃相接觸，干涉明暗條紋的條

件為

S=2e+g=Z2(k—1,2,???)明條紋

3=2e+-={k+-^伏=0,1,2,…)暗條紋

22

2

上兩式中，空氣厚度e與環(huán)半徑r間滿足關(guān)系式e=匚，R為透鏡球面的半徑。

2R

將平凸透鏡沿垂直于平板方向向上移動一距離〃，各處的空氣層厚度均增加同

一量值〃，而各處的光程差也增加同一量值2萬，為6=2(e+〃)+〃2,因此各處的干

涉條紋的級數(shù)都增加相等數(shù)。每當(dāng)力增加〃4時(shí)，干涉條紋向里收縮，明暗交替變

化一次。而當(dāng)〃增加〃2時(shí)?，干涉條紋又變得與原來相同，但干涉條紋的級數(shù)增加lo

所以當(dāng)透鏡離開平板時(shí)，干涉條紋向中心收縮。當(dāng)透鏡接近平板時(shí)，干涉條紋向外

擴(kuò)張。各處將整體地同步發(fā)生明暗交替的變化，而且干涉條紋間距保持不變。

14-13白光垂直照到空氣中一厚度為380〃加的肥皂膜上，設(shè)肥皂膜的折射率為

1.33。問該膜的正面呈現(xiàn)什么顏色？背面呈現(xiàn)什么顏色？

解：在垂直入射到肥皂膜的白光中，發(fā)生反射干涉相長的光波波長滿足下面的

公式：

H—=kA,（女二12…）

2

4ne

因而4=

2k—1

將Z=1,2,…相繼代入上式，可知當(dāng)

,._4x1.33x380/rrc,仆H、

k=2,兀=---------nm=6739run（紅色）

2x2-1

?Qj4x1.33x380/夢后、

攵=3,4=------------nm-404.3〃/%(紫色)

"2x3-1

恰好落在白光的波長組成范圍內(nèi)，而對其它左值的波長在白光波長組成范圍之外。

由此可見，肥皂膜的正面呈現(xiàn)紫紅色。

在垂直入射到肥皂膜的白光中，發(fā)生透射干涉相長的波長須滿足：

2rle=kA(2=1,2,…)

.2ne

A=—-—

只有％=2,%=兇三a〃%=505.4〃機(jī)(藍(lán)綠光)落在白光的波長組成范圍內(nèi)，

2

故肥皂膜的背面呈藍(lán)綠色。

14-14在棱鏡(4=1.52)表面涂一層增透膜(%=1.30),為使此增透膜適用

于550〃加波長的光，膜的厚度應(yīng)取何值？

解：光垂直入射可增透膜上，為了增強(qiáng)光的透射，須使光在膜的兩表面上反射

后光滿足干涉相消條件，此時(shí)由于棱鏡折射率大于膜的折射率，不存在半波損失引

起的附加光程差，所以有

2&e=(攵+g)Z伏=0,1,2,…)

Z.25507550一°°、

e=---kH-----=-------knm-\--------nm=(211.5k+105.H)mn

2%4%2x1.304x1.30

當(dāng)攵=0時(shí)、可求得增透膜最小厚度為105.8〃加，當(dāng)左取其它整數(shù)值時(shí)，從上式算出

得厚度對波長4=550〃加的光也都滿足要求。

14-15彩色電視機(jī)常用的三基色的分光系統(tǒng)采用鍍膜的方法進(jìn)行分色。現(xiàn)要求

紅光的波長為600〃〃?，綠光的波長為520〃〃?，設(shè)基片玻璃的折射率為〃=1.50,膜

材料的折射率〃'=2.12,試求膜的厚度。

解：設(shè)薄膜厚度為e,薄膜反射干涉相長條件為

__________2

f22

2e^n-sinzH——=kA(%=1,2,…)

2

其中〃，=2.12為薄膜的折射率，7=45。為入射角，薄膜的厚度應(yīng)滿

足

(%」)％

e=—=

2ylnf2-sin2i2

—I=*——)A=(k—)-y題14-15圖

2y1nr2-sin2z224

于是對應(yīng)紅光4=600〃，〃的薄膜厚度為

e,=/一；）呼〃機(jī)=（左一；）xl50〃m

對應(yīng)綠光4=520〃加的薄膜厚度為

6=（左一；）苧=（左一;）x130/?m

當(dāng)人=1時(shí)，薄膜的厚度分別為

ex—15nme2=65mn

當(dāng)左取2,3,或其它值時(shí)所算出的厚度也能滿足分色的要求。本題的答案不是唯一的。

14-16波長為680〃〃?的平行光垂直地照射到12c加長的兩塊玻璃片上，兩玻璃片

一邊相互接觸，另一邊被厚0.048機(jī)帆的紙片隔開，試問這12cm中呈現(xiàn)多少條明條

紋？

解：劈尖干涉中兩條光線光程差如圖a為

A

8e=2neH——

2

干涉明條紋條件為

伏=1,2,…)

若兩條相鄰明條紋之間的間距為Ax,如圖b,則題14-16圖

當(dāng)e<v1時(shí),sin。e2。

L

在長為L的距離中干涉明條紋條數(shù)為

、，L2D2x0.048x10-3

N--=---=-------------=141耒

ArA680x10-9

14-17有一劈尖折射率”=1.4,尖角，=107rad。在某一單色光的垂直照射下,

可測得相鄰明條紋間的距離為0.25c打，試求：

(1)此單色光的波長。

(2)如果劈尖長為3.5cm,那么總共可出現(xiàn)多少條明條紋？

解：(1)劈尖干涉的條紋間距為

入Av12-n，A____

sin02nd

因而光波長2=2適xAx=2x1.4x1(Lx().25x1(產(chǎn)〃?=0.7x1()?m=700〃〃？

(2)在長為3.5c〃?劈尖上，明條紋總數(shù)為

浦L3.5x10-2

N=—=----------=14條

M0.25x10-2

14-18如圖所示：檢查一玻璃平晶(標(biāo)準(zhǔn)的N

光學(xué)玻璃平板)兩表面的平行度時(shí).，用波長

4=632.8〃m的氮-就激光器垂直照射，得到L/----

題14-18圖

20條干涉條紋，且兩端點(diǎn)M與N都是明條紋，設(shè)玻璃的折射率〃=1.50,求平晶

兩端的厚度差。

解：設(shè)玻璃的寬度為/，厚度差為d,則sin。ad//。

劈尖干涉的條紋間距為

2/2?AI

=—；——?---

sin02nd

由于端點(diǎn)〃與N都是明條紋，間隔數(shù)目為(N-1)個(gè)。由題意：—=2V-1

Ar

于是玻璃厚度差為

」2IA(7V-1)4328xlQ-|Ox(20-1)

a=------=--------m=4.01x10~6/n=4.01/jm

2〃Ax2n2x1.5

14-19（1）若用波長不同的光觀察牛頓環(huán)，\=6（X）nm,A2=450nmo觀察到用

4照射時(shí)第％級暗環(huán)與用照射時(shí)的第左+1級暗環(huán)重合，已知透鏡的曲率半徑為

190cm。求用4時(shí)第4個(gè)暗環(huán)的半徑；

（2）又在牛頓環(huán)中用波長500〃〃?照射，其第5個(gè)明環(huán)與用波長不時(shí)的第6

個(gè)明環(huán)重合，求波長九2。

解：（1）牛頓環(huán)中第上級暗條紋半徑為

rk=j2Re?=y/kRA.

式中R為透鏡球面的曲率半徑，2為照射光波長。依提意，波長為4時(shí)的第％級暗

條紋與波長為4時(shí)的第k+1級暗條紋在r處重合時(shí),滿足

r==d（k+1）/?九）

左二工_

于是

4—4

119()X1(尸X60()X1()-9X45()X1()-9

=1.85xl(T3AM

V4-4\(600—450)x10-9

（2）牛頓環(huán)中第左級明條紋的半徑為

用波長4=500〃〃?的光照射時(shí)匕=5的明條紋與用波長乙的光照射時(shí)&=6級明條

紋重合，這時(shí)有關(guān)系式

1(2尤-1)除_32-I)/

V2-V2

所以A,=——-4=2*5_1x5(X)nm=409Anm

22心-12x6-1

14-20如圖所示，平面玻璃板是由兩部分組

成（冕牌玻璃〃=1.50,火石玻璃”=1.75）,透

鏡是用冕牌玻璃制成，而透鏡和玻璃之間充滿

二硫化碳（〃=1.62）。問由此而成的牛頓環(huán)的

花樣如何？為什么?

解：在裝置的左側(cè)，由于火石玻璃折射率大于二硫化碳的折射率。當(dāng)光波由冕

牌玻璃射向二硫化碳，以及由二硫化碳射向火石玻璃時(shí)，上下表面的反射光線都有

半波損失。因而沒有額外的光程差，牛頓環(huán)中心為亮斑。

在裝置的右側(cè)，光線從冕牌玻璃射向二硫化碳時(shí)，反射光線有半波損失。而由

二硫化碳射向冕牌玻璃時(shí)，反射光線沒有半波損失，因而上下表面的反射光線有“2

的額外光程差，牛頓環(huán)中心為暗斑。而且在左側(cè)為明條紋的位置，在右側(cè)是暗條紋。

14-21如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，平面玻璃片上放一滴油，當(dāng)油滴展開成圓

形油膜時(shí)，在波長4=600〃帆的單色光的垂直入射下，從反射光中觀察油膜所形成

的干涉條紋。已知玻璃的折射率〃?=1.50,油膜的折射率〃2=1.20,問：

（1）當(dāng)油膜中心最高點(diǎn)與玻璃片上表面相距。=1200〃加時(shí)，看到的條紋情況如

何？可看到幾條明條紋？明條紋所在處的油膜厚度為多少？中心點(diǎn)的明暗程度如

何？

（2）當(dāng)油膜繼續(xù)擴(kuò)展時(shí)，所看到的條紋情況將如何變化？中心點(diǎn)的情況如何變

化？

解：（1）在空氣-油以及油-玻璃反射界面上均有半波損失，因此明條紋的位置

須滿足2n2e=U（左=0,1,2…）

從讀數(shù)弟微院觀察

式中e為油膜的厚度

當(dāng)上=0,=0

k=1=250nm

k=2e2=500nm

k=3-750nm

k=4=1000/?m題14-21圖

k=505=1250nm

由此可見，在圓形條紋區(qū)域內(nèi)，可觀察到明暗相間的同心圓條紋，且油膜邊緣

處為0級明環(huán)。

當(dāng)e=/?=1200〃m,可看到五條明條紋(女=0,1,2,3,4)。而中心點(diǎn)的明暗程度介

于明條紋與暗條紋之間。

(2)此時(shí)油膜半徑擴(kuò)大，油膜厚度減少。圓形條紋級數(shù)減少、間距增大。中心

點(diǎn)由半明半暗向暗、明、暗、明……依次變化，直至整個(gè)油膜呈現(xiàn)一片明亮區(qū)域。

14-23在復(fù)色光照射下的單縫衍射圖樣中，其中某一波長的第3級明紋位置恰與

波長；1=600〃加的單色光的第2級明紋位置重合，求這光波的波長。

解：設(shè)單縫寬度為。，衍射明條紋的衍射角滿足：

asin(p-±(2k+1)g(k=1,2,-??)

由題意，波長/L=60(km時(shí)的第2級明條紋與波長為4時(shí)的第3級明條紋重合

?sin^=(2x2+l)—=—2

o?7

asin^>=(2x3+1)—=

=—A=—x600nm=428.6〃/〃

77

14-24在單縫衍射實(shí)驗(yàn)中，如果縫寬。等于入射單色光的(1)1個(gè)波長；(2)10

個(gè)波長；(3)IO2個(gè)波長；(4)IO4個(gè)波長時(shí)，分別計(jì)算其中央明條紋邊沿的衍射角，

結(jié)果說明什么問題？

,2

解：中央明條紋邊沿衍射角為sin°=一

a

(1)當(dāng)a=4時(shí)，sin°=\\(p=90。

sin^>=^;^>=5o44r

(2)當(dāng)a=10。時(shí),

(3)當(dāng)a=時(shí)，sin。==10~2;^=34，

(4)當(dāng)a=時(shí)，sin^>==104;/=20.6"

結(jié)果說明縫寬越寬時(shí)，衍射條紋越密，而且當(dāng)縫寬遠(yuǎn)大于波長時(shí)OfO,光線沿軸

向傳播，這是光線直線傳播的經(jīng)典極限。

14-25在寬度a=0.6mm的狹縫后D=40cm處有一與狹縫平行的屏，如以平行

單色光垂直入射，在屏上形成衍射條紋。若在離0點(diǎn)為x=L4mm的P點(diǎn)，看到的

是明條紋，試求：

(1)該入射光的波長；

(2)p點(diǎn)條紋的級數(shù)；

(3)從P點(diǎn)看來對該波而言，狹縫處的波陣面可看作半波帶的數(shù)目。

解：由題知x=1.4*10"根,a=6.0x1。7九/=。=0.40根代入單縫衍射明紋位

置公式x?+(2k+(左=1,2,3,…)得

2ax2x6.0x104xl.4xl0-3,?,

(2k+lU=---=---------------------=42x107m

f0.4

(1)X的取值范圍為(4x10-7機(jī),7X]O-7m)

左=3時(shí)4=6.0x10-7根

左=4時(shí)4=4.67x10-7/〃

都在合理的取值范圍內(nèi)，所以該入射光的波長可以是6.0x10-7〃?，也可以是

4.67xlCT，

(2)由(1)知％=6.0x10-7/〃時(shí)，P點(diǎn)條紋為3級；

%=4.67x10-7根時(shí)，p點(diǎn)條紋為4級。

(3)從P點(diǎn)來看，對4=6.0x10-7m的光波而言，狹縫處的波陣面可以分為

2x3+l=7個(gè)半波帶；對4=467x10-7機(jī)的光波而言，狹縫處的波陣面可以分為

2X4+1=9個(gè)半波帶。

14-26(1)在單縫衍射中，為什么衍射角。越大(級數(shù)越大)的那些明條紋的

亮度就越小？

(2)當(dāng)把全部裝置放入水中時(shí)，單縫衍射的圖樣將發(fā)生怎樣的變化？在此情況

下，如果用公式

asin0=±(2%+l)g{k-1,2,3,,,,)

來測定光的波長，問所測出的波長是水中的波長，還是空氣中的波長？

答：(1)衍射角越大，則asin?？煞值陌氩◣?shù)目asin“g越多，分成波帶的

面積以及相應(yīng)的光能量越小。再因?yàn)榧墧?shù)越高的明條紋，相消的半波帶的數(shù)目也越

多，留下未相消的一個(gè)半波帶形成明條紋，因此它的亮度就越小了。

（2）當(dāng)把全部裝置放在水中時(shí)，由于光波在水中的波長變短了，變?yōu)檎婵罩?/p>

的〃分之一，因此單縫衍射條紋變密了“倍。如在此情況下，用公式

asin°=±（2k+1）—（k-1,2,3,…）

來測定光的波長，應(yīng)是光在水中的波長。

14-27波長為500，〃〃的平行光線垂直入射于一寬為加機(jī)的狹縫，若在縫的后面

有一焦距為的薄透鏡，使光線聚焦于一屏幕上，試問從衍射圖樣的中心點(diǎn)到

下列各點(diǎn)的距離如何？

（1）第一極??；（2）第二級明紋的極大處；（3）第三極小。

解：（1）單縫衍射各級極小的條件為：asm（p^+kA,（左=1,2,3,…）

衍射圖形的第一級極小，可令左=1求得：?sin^=2

它離中心點(diǎn)距離

500xl<)-4

x,=/tan^?/sin^=/-=lx^,ffl=5X10/?=0.50〃”〃

a1x10

（2）單縫衍射明紋各級極大的條件為:

45畝°=±(2女+1)(

(女=1,2,3,…)

osin夕=2.52

第二級明條紋的位置為：

x[=ftan(p

它離中心點(diǎn)距離

x；B/sin°=/21=1x2.5x500x1。:-=]&xIO、m=125mm

a1x10

4sin夕=34

（3）第三級極小的位置為：

當(dāng)=ftan(p

寸小皿方產(chǎn)=lx鄴變平^=L5xl0'=i5加

a1x10"

14-28有一單縫，寬a=0.10“n,在縫后放一焦距為50c機(jī)的會聚透鏡。用平行

綠光（幾=546〃加）垂直照射單縫，求位于透鏡焦平面處的屏幕上的中央明條紋的

寬度。如把此裝置浸入水中，中央明條紋角寬度如何變化？

解：(1)中央明條紋角寬度滿足公式：

—A<”々sin。v4

空氣中，n=lf=50cm

又/?a，所以sin夕《tan夕

中央明條紋寬度

Ar=2/tan0?2/—=2x0.50xm=5.5x103m=5.5mm

naO.lOxlO-3

(2)浸入水中時(shí)1.33

CUA/[r\—9

Ax=2/---=2x0.50x---------------??=4.1x103m—^Amm

n'a1.33x0.10x10-3

浸入水中，〃增大，角寬度減小。

14-30一束具有兩種波長4和;I2的平行光垂直照射到一衍射光柵上，測得波長

4的第三級主極大衍射角和乙的第四級主級大衍射角均為30。，已知4=560〃加，

試問

(1)光柵常數(shù)。+匕=?

(2)波長4=?

解：(1)光柵衍射公式為

(a+/?)sin0=±以(左=0,1,2,,…)

由題意4=560〃加,Q=30°時(shí)，k=3

光柵常數(shù)a+Z?=-M=64=6x560x10-9m=3.36x10-6加

sin30"1

(2)由題意有(a+勿sin30°=44

.(?+h)sin300343

Z,=------------=--=—x560nm=420nm

244