高數(shù)(上)試題及答案

南昌大學(xué)2007?2008學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷

一、填空題(每空3分，共15分)

sin4%八

-----,%>0,—一工

1.設(shè)/(x)=<ax在％=0處連續(xù)，

9ex-cosx,%<0

則常數(shù)〃=o

2.設(shè)尸(〃)存在，貝！)limo

X-0%----------

3.函數(shù)/(x)=(x2-l)3+l的極小值等于,

單調(diào)增加區(qū)間為。

b

4.設(shè)/(%)是可導(dǎo)函數(shù),則f'(2x)dx=

二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)

Inx,%>0,

1.%=。是函數(shù)/(%)=,的()。

廠，x<0

(A)可去間斷點(diǎn)；(B)無窮間斷點(diǎn);

(C)跳躍間斷點(diǎn)；(D)振蕩間斷點(diǎn)。

2.設(shè)函數(shù)y=arctan,則辦=().

收6

(A)——------dx,(B)——-----—

2Vx(l+e2y/x)2?(1+/人)

(C)------dx；(D)—-------dx。

(1+/勺2石(1+8)

3.函數(shù)/(x)引sin%|在區(qū)間-事，上()。

(A)滿足羅爾定理?xiàng)l件，但無法求小

(B)滿足羅爾定理?xiàng)l件，且J=0；

(C)不滿足羅爾定理?xiàng)l件；

(D)不滿足羅爾定理?xiàng)l件，但有J能滿足此定理的結(jié)論。

4.在積分曲線族y=Jsin3%6k中，

過點(diǎn)的曲線方程是()o

1c

(A)y=——cos3x；(B)y=—cos3x；

33

1c,

(C)y——cos3x+1；(D)j=cos3x4-Co

3

,'Int

5.已知/(%)二——力，則尸(幻=()

Jiot0

(A)x；(B)，；(C)e；(D)Inxo

三、計(jì)算題(共2小題，每小題8分，共16分)

/XX

「(x+a}

1.已知lim------=9,求常數(shù)。.

x^\x-aJ

(11、

2.求極限lim-———.

ex

四、求下列導(dǎo)數(shù)(共2小題，每小題7分，共14分)

1.設(shè)y=%arcsin(lnx),求y'.

2.求由方程y/7cosf+i=0所確定的隱函數(shù)

y=y(%)在％=。處的導(dǎo)數(shù)y'(0).

五、解下列各題(共2小題，每小題7分，共14分)

1.計(jì)算由參數(shù)方程卜二巾71+?

所確定的函數(shù)的二階

\y=arctant

d2y

導(dǎo)數(shù)

dx2

2.求不定積分

Je+1

六、計(jì)算下列積分(共2小題，每小題7分，共14分)

1.求不定積分Jcos(ln%)d%.

2.計(jì)算定積分匚(1

七、解下列各題

(共2小題，第1小題7分，第2小題5分，共12分)

2cx

1.設(shè)/(%)二」一「/⑺流，其中/(%)為連續(xù)函數(shù),

X-aJa

求limF(x).

Xia

2.設(shè)不恒等于常數(shù)的函數(shù)/(%)在閉區(qū)間［Q,切上連續(xù)，在開區(qū)

間(a,力)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b),證明在(a,。)內(nèi)至少存在一

點(diǎn)點(diǎn)使得/C)〉0.

南昌大學(xué)2007~2008學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷及答案

一、填空題(每空3分，共15分)

sin4%八

-----,%>0,—一工

1.設(shè)/(x)=<ax在％=0處連續(xù)，

9ex-cosx,%<0

則常數(shù)4=-o

2

2.設(shè)尸①)存在，貝!Ilim/(-+~/(---)=2尸⑷o

xfO%----------

3.函數(shù)/(%)=(/—1)3+1的極小值等于L(0)=0,

單調(diào)增加區(qū)間為(0,+8)O

4.設(shè)/(%)是可導(dǎo)函數(shù)，

則f/(2%心=1[/(2/?)-/(2?)]o

二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)

finx,X〉0,

1.x=0是函數(shù)/(x)=9的(B)。

[尤2,X<0

(A)可去間斷點(diǎn)；(B)無窮間斷點(diǎn)；

(C)跳躍間斷點(diǎn)；(D)振蕩間斷點(diǎn)。

2.設(shè)函數(shù)y=arctan,則辦=(A).

產(chǎn)

(A)------------dx?(B)

2&1+N)風(fēng)26(l+M)'

——~!...-cbco

(C)------i=-dx\(D)

(1+/?)2?(1+/心)

3.函數(shù)/(%)=卜in%|在區(qū)間g1上(C)o

(A)滿足羅爾定理?xiàng)l件，但無法求

(B)滿足羅爾定理?xiàng)l件，且《=0；

(C)不滿足羅爾定理?xiàng)l件；

(D)不滿足羅爾定理?xiàng)l件，但有J能滿足此定理的結(jié)論。

4.在積分曲線族=Jsin3xdx中，

(兀)

過點(diǎn)1的曲線方程是(C)。

(A)y=——cos3x；(B)y=—cos3x；

3

(C)y——cos3x+1；(D)j=cos3x+Co

3

r"]nt

5.已知/(%)=——力，則/'(%)=(A)0

Jiot

(A)%；(B)ex\(C)e；(D)Inx。

三、計(jì)算題(共2小題，每小題8分，共16分)

1.已知limC上x+qaY=9,求常數(shù)。.

/x+a、不(2aY

解:「lim=lim1+

Xf8^x-a)x-a)

e2(l=9,故a=ln3.

C1iA

2.求極限lim-———.

ex-I)

解：原式=lim^2K———1—X

xfox{ex-1)

exex

二lim-------------二lim----------------

—oex-1+xexa。ex+ex+xex

-2,

四、求下列導(dǎo)數(shù)(共2小題，每小題7分，共14分)

1、設(shè)y=xarcsin(lnx),求y'.

解：y'=arcsin(lnx)+%??—

=arcsin(ln%)+-,=.

2、求由方程y*-%cos%2+]=0所確定的隱函數(shù)

y=y(%)在％=。處的導(dǎo)數(shù)y'(0).

解：方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，有

y'exy+yexy(y+y'x)-cosd+x?(sin/).2%=0.

當(dāng)無=0時(shí)，從原方程得y=—1.

代入上式得：y'(0)=Q

五、解下列各題(共2小題，每小題7分，共14分)

1、計(jì)算由參數(shù)方程[%=inVT73,所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

y=arctant

屋y

公-

2?

電

1立

，

解2

-力-

力,2

1f

1辦r

+r力11+

一

區(qū)7

力

一

A-8"-

一

出

故

2.求不定積分fCzl公.

Je+1

解：原式:［紀(jì)I：'Wdx:—。+￡1)公

Je*+1Je*+1

=2-------dx-dx

Jex+lJ

-2Ine*+1—x+C.

六、計(jì)算下列積分（共2小題，每小題7分，共14分）

1、求不定積分Jcos(ln%)(ir.

sin(lnx).

解:Jcos(lnx)dx=xcos(lnx)+J%------——ax

X

=xcos(ln%)+Jsin(lnx)dx

=xcos(ln%)+xsin(ln%)-Jcos(lnx)dx.

sin(lnx)+cos(lnx)]+C.

2.計(jì)算定積分工(|九|+力6小公.

解:?.?國/W為偶函數(shù)，X"同為奇函數(shù)，所以

「202

],%|+x)/"dx=2^xe~xdx+O

=2-xe~x-+fe~xdx

L°JoJ

=-4e~2-2e~x2=2--^r.

°e2

七、解下列各題供2小題，第1小題7分，第2小題5分，共

12分)

X21

1.設(shè)廠(為=——[于⑴出,其中/(%)為連續(xù)函數(shù)，求

X-aJa

limF(x).

x—>a

解：根據(jù)洛必達(dá)法則和/(%)為連續(xù)函數(shù)，有

x2\"f(t)d