江西省“三新”協(xié)同教研共同體2023-2024學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試卷 （含答案解析）

2023年“三新”協(xié)同教研共同體高二聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號深黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊第一章至第五章計數(shù)原理中的排列組合（不考二項式定理）．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】有直線傾斜角和斜率的關(guān)鍵即可得解.【詳解】由題意直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：A.2.已知，，，若P，A，B，C四點共面，則（）A.3 B. C.7 D.【答案】C【解析】分析】利用空間向量四點共面性質(zhì)求解即可.【詳解】由P，A，B，C四點共面，可得，，共面，設(shè)，則，解得．故選：C.3.已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，P為拋物線C上一點，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，利用拋物線的定義求得點P的橫坐標，進而求得縱坐標，然后由求解.【詳解】因為拋物線C：，故由，解得，所以，所以的面積為．故選：D4.已知正方體的棱長為，點是平面內(nèi)的動點，若點P到直線的距離與到直線的距離相等，則點的軌跡為（）A.拋物線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓【答案】A【解析】【分析】分析可知，點到直線的距離等于點到點的距離，結(jié)合拋物線的定義可得出結(jié)論.【詳解】過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，在正方體中，平面，平面，則，因為點P到直線的距離與到直線的距離相等，即，即點到直線的距離等于點到點的距離，由拋物線的定義可知，點的軌跡為拋物線.故選：A.5.手工課可以提高學生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力．某小學生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個正方體的組合體．其直觀圖如圖所示，，，、、、分別是棱、、、的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為原點建立空間直角坐標系，求出、，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】在正方體中，以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，因為，，則、、、，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是.故選：B.6.某學校派出五名教師去三所鄉(xiāng)村學校支教，其中有一對教師夫婦參與支教活動．根據(jù)相關(guān)要求，每位教師只能去一所學校參與支教，并且每所學校至少有一名教師參與支教，同時要求教師夫婦必須去同一所學校支教，則不同的安排方案有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】先按要求將五個人分為三組，要求將教師夫婦放在一組，確定分組方法種數(shù)，然后將所分的三組分配給三所不同的學校，利用分步乘法原理可求得結(jié)果.【詳解】先將五個人分為三組，每組的人數(shù)分別為、、或、、，若三組的人數(shù)分別為、、，則教師夫婦必在三人的一組，則教師夫婦這組還需從剩余的三人中抽人，此時，不同的分組方法數(shù)為種；若三組人數(shù)分別為、、，則兩人一組的有一組是教師夫婦，只需將剩余三人分為兩組，且這兩組的人數(shù)分別為、，此時，不同的分組方法種數(shù)為種.接下來，將所分的三組分配給三所不同的學校，因此，不同的安排方案種數(shù)為種.故選：C.7.如圖，正方體的棱長為2，點分別是的中點，過點的平面截該正方體所得的截面記為，則截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出輔助線，得到五邊形即為截面，根據(jù)三角形全等或相似得到各邊長度，求出截面面積.【詳解】延長，與直線相交于，連接與分別交于點，連接，則五邊形即為截面，正方體的棱長為2，點分別是的中點，由≌≌得，，，故，因為⊥平面，平面，所以⊥，⊥，由勾股定理得，取的中點，連接，則⊥，且，由勾股定理，其中，由相似關(guān)系可知，，故.故選：D8.曲率半徑可用來描述曲線在某點處的彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點處的彎曲程度越小，已知橢圓上任意一點處的曲率半徑公式為．若橢圓上任意一點相應(yīng)的曲率半徑的最大值為，最小值為，則橢圓的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，將表示為的函數(shù)，結(jié)合橢圓的范圍求出的最大值、最小值的表達式即可計算作答.【詳解】依題意，，即，則，因，則當時，，，當時，，，因此，且，解得，，所以橢圓的標準方程為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列排列組合數(shù)中，正確的是（）A. B.C.（m，，） D.（m，，，）【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式與性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】A選項，，故A錯誤；B選項，，故B正確；C選項，由于，故C正確；D選項，左邊，右邊，即左邊＝右邊，所以（m，，），故D正確．故選：BCD.10.已知圓，直線，下列說法正確的是（）A.無論取何值，直線與圓相交B.直線被圓截得的最短弦長為C.若，則圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為D.直線的方程能表示過點的所有直線的方程【答案】AC【解析】【分析】求出直線所過定點的坐標，判斷定點與圓的位置關(guān)系，可判斷A選項；求出圓心到直線距離的最大值，結(jié)合勾股定理可判斷B選項；當時，求出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程，可判斷C選項；【詳解】對于A選項，直線的方程可變形為，由可得，所以，直線過定點，因為，所以，點在圓內(nèi)，故無論取何值，直線與圓相交，A對；對于B選項，圓心為坐標原點，半徑為，當時，點到直線的距離取最大值，且其最大值為，此時，直線被圓截得的弦長最短，且最短弦長為，B錯；對于C選項，當時，直線的方程為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則線段的中點在直線上，則①，直線，且直線的斜率為，則②，聯(lián)立①②可得，，故若，則圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，C對；對于D選項，若直線表示直線，則，無解，且直線過點，故直線不能表示直線，D錯.故選：AC.11.在棱長為的正方體中，、兩點在線段上運動，且，在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.在平面內(nèi)存在點，使得平面C.點在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，且直線與直線成角，則線段長度的最小值為D.與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項；當點與點重合時，利用線面平行的判定定理可判斷B選項；求出點的軌跡，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項；利用線面角的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，連接交于點，因為四邊形為正方形，則，且，因為、兩點在線段上運動，且，則，又因為平面，所以，，A錯；對于B選項，當點與點重合時，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以，平面，即平面，所以，在平面內(nèi)存在點，使得平面，B對；對于C選項，因為，則異面直線與所成角等于或其補角，因為平面，平面，則，所以，，且，可得，所以點的軌跡是以點為圓心，半徑為，且圓心角為的圓弧，當時，即當為的中點且為線段與圓弧的交點時，此時，線段長度取最小值，C錯；對于D選項，因為且，則四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以，平面，因為，點到平面的距離等于點到平面的距離，設(shè)點到平面的距離為，，則，易知是邊長為的等邊三角形，則，由，解得，因為在線段上運動，則當點為線段的中點時，取最小值，當點與點或點重合時，取最大值，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，D對.故選：BD.【點睛】方法點睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，①作，在直線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.12.已知拋物線上任意一點處的切線方程可以表示為．直線、、分別與該拋物線相切于點、、，、相交于點，與、分別相交于點、，則下列說法正確的是（）A.點落在一條定直線上B.若直線過該拋物線的焦點，則C.D.【答案】BCD【解析】【分析】求出點、、的坐標，可判斷A選項；設(shè)直線的方程為，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合直線斜率的關(guān)系可判斷B選項；利用兩點間的距離公式可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，由題意可知，直線的方程為，即①，同理可知，直線的方程為②，聯(lián)立①②可得，，即點，同理可得、，無法確定點橫坐標與縱坐標之間的關(guān)系，A錯；對于B選項，若直線過該拋物線的焦點，若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，所以，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，直線的斜率為，直線的斜率為，因為，則，B對；對于C選項，由拋物線的定義可得，，由A選項可知點，易知點，所以，，C對；對于D選項，，，所以，，D對.故選：BCD.【點睛】方法點睛：拋物線定義的兩種應(yīng)用：（1）實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線的定義可以實現(xiàn)點與點之間的距離與點到準線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.圓與圓的位置關(guān)系是_____．【答案】相交【解析】【分析】首先將兩圓的方程化為標準方程，得出圓心坐標、半徑，由兩點間的距離公式算出圓心距，比較圓心距與半徑之和、半徑之差的大小關(guān)系即可求解.【詳解】由題意圓與圓的標準方程分別為，所以圓與圓的圓心坐標、半徑分別為，所以，所以圓與圓的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.14.已知空間向量、、的模長分別為、、，且兩兩夾角均為，點為的重心，則_____．【答案】##【解析】【分析】利用重心的幾何性質(zhì)結(jié)合空間向量的減法可得出，再利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：因為為的重心，則，可得，則，所以，，故.故答案為：.15.2023年10月11日，習近平總書記在江西省上饒市考察，他來到婺源縣秋口鎮(zhèn)王村石門自然村了解推進鄉(xiāng)村振興等情況．其中婺源“曬秋”展開的是一幅鄉(xiāng)村振興新圖景．當?shù)匕傩詹粌H要晾曬農(nóng)產(chǎn)品使其得到更好的保存和售賣，更要考慮曬出獨一無二的“中國最美的符號”．當?shù)匕傩宅F(xiàn)將“金色南瓜”“白色扁豆”“紅色辣椒”“黃色皇菊”四種農(nóng)產(chǎn)品全部曬入如圖所示的5個小區(qū)域中，規(guī)定每個區(qū)域只能曬一種農(nóng)產(chǎn)品，且相鄰區(qū)域的農(nóng)產(chǎn)品不能相同，則不同的晾曬方案種數(shù)為____．（用數(shù)字作答）【答案】48【解析】【分析】按照分步計數(shù)原理，結(jié)合排列組合知識進行求解.【詳解】中間區(qū)域可從四種農(nóng)產(chǎn)品中選一種，有種選擇，剩余的4個區(qū)域只能選擇剩余的3種農(nóng)產(chǎn)品，故會有1種農(nóng)產(chǎn)品重復(fù)，將重復(fù)的農(nóng)產(chǎn)品選出，有種選擇，且將重復(fù)的農(nóng)產(chǎn)品放入相對的兩個區(qū)域內(nèi)晾曬，有2種選擇，剩余的農(nóng)產(chǎn)品放入剩余的兩個區(qū)域，有種選擇，故有種方案.故答案：4816.已知直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于點，（不重合）線段的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為_________．【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系和直線過的點根據(jù)直線的點斜式方程得出線段的垂直平分線的方程，即可聯(lián)立兩直線得出的中點坐標為，設(shè)，，分別代入雙曲線方程后作差整理得出，再根據(jù)線段中點與端點坐標關(guān)系與兩點的斜率公式得出，，，即可得出，在根據(jù)雙曲線離心率公式變形后代入即可得出答案.【詳解】直線與線段的垂直平分線垂直，則線段的垂直平分線的斜率為，線段的垂直平分線過點線段的垂直平分線為：，即，聯(lián)立，解得：即的中點坐標為，設(shè)，，則，兩式作差可得，的中點坐標為，的斜率為1，，，，則，所以雙曲線C的離心率．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.用數(shù)字、、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)．（1）偶數(shù)不能相鄰，則不同的六位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)字表示）（2）若數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)，則不同的六位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先將三個奇數(shù)進行排序，然后從三個奇數(shù)形成的個空位中選出個空位插入三個偶數(shù)，利用插空法可求得結(jié)果；（2）在數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，然后將這個整體與其余三個數(shù)字進行排列，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【小問1詳解】解：若六位數(shù)中，偶數(shù)不能相鄰，則先將三個奇數(shù)進行排序，然后從三個奇數(shù)形成的個空位中選出個空位插入三個偶數(shù)，所以，不同的六位數(shù)個數(shù)為.【小問2詳解】解：在數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，有種，將這個整體與其余三個數(shù)字進行排列，滿足條件的六位數(shù)的個數(shù)為.18.已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點．（1）求圓的標準方程；（2）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)直線與直線垂直，根據(jù)直線的斜率關(guān)系可求出的值，可得出圓心的坐標，進而可求得圓的半徑，由此可得出圓的標準方程；（2）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，直接驗證即可；在直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，解出的值，綜合可得出直線的方程.【小問1詳解】解：因為圓心在直線上，設(shè)圓心，則與直線垂直，且直線的斜率為，則，可得，解得，所以，圓心的坐標為，則圓的半徑為，所以，圓標準方程為.【小問2詳解】解：由題意可知，圓心到直線的距離為，若直線軸，則直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合乎題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，可得，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.19.如圖，在四棱錐中，平面，，為線段的中點，已知，，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，分析可知，為的中點，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點且與垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接交于點，連接，因為，，則四邊形是平行四邊形，因為，則為的中點，所以，，又因為平面，平面，故平面.【小問2詳解】解：因為平面，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點且與垂直的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為，，，則、、、，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.20.已知雙曲線的漸近線方程為，實軸長為2．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）直線l與雙曲線C相切，且與雙曲線C的兩條漸近線相交于兩點，求（O為坐標原點）的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合漸近線方程以及實軸長即可求出，進一步可得雙曲線方程.（2）設(shè)出直線方程為，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，結(jié)合直線與雙曲線相切即可得，進一步聯(lián)立直線與漸近線方程，求出，由點到直線距離公式求出原點到直線的距離，結(jié)合三角形面積公式、即可得解.【小問1詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，實軸長為2，所以，解得，所以雙曲線C的標準方程為.【小問2詳解】如圖所示：不妨設(shè)直線l與雙曲線C相切于點，由題意直線的斜率不為0，故設(shè)直線方程為，將其與雙曲線方程聯(lián)立，消去并整理得，從而，即，不妨設(shè)，而雙曲線的漸近線方程可統(tǒng)一寫成，將其與直線方程聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，，由得，所以，原點到直線的距離為，所以（O為坐標原點）的面積為，結(jié)合以及得，即（O為坐標原點）的面積為.21.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．（1）證明：．（2）棱上是否存在一點E，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）棱上存在點，且滿足題意【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)題意證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得；（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，分別求出兩平面的法向量，由平面夾角公式、二面角的定義即可列出方程求解.【小問1詳解】如圖所示：連接，因為為棱臺，所以四點共面，又因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又因，且平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】取中點，連接，因為底面是菱形，且，所以是正三角形，所以