2024屆北京市第十二中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2024屆北京市第十二中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)被圓C:截得的弦長(zhǎng)是，則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．2．設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．3．函數(shù)的圖像大致為（）A． B． C． D．4．在等差數(shù)列an中，a1+a2A．2n B．2n+1 C．2n-1 D．2n+25．如果直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（2，1），且在y軸上的截距的取值范圍為（﹣1，2），那么l的斜率k的取值范圍是（）A．（，1） B．（﹣1，1）C．（﹣∞，）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位7．設(shè)是△所在平面上的一點(diǎn)，若，則的最小值為A． B． C． D．8．記為實(shí)數(shù)中的最大數(shù).若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則的最大值為（）A． B．1 C． D．9．把正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，二面角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．已知，則的值為（）A． B．1 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．______.12．一船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔的南偏西距塔64海里的處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的處,則這只船的航行速度為_(kāi)_________海里/小時(shí)．13．已知線(xiàn)段上有個(gè)確定的點(diǎn)（包括端點(diǎn)與）.現(xiàn)對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行往返標(biāo)數(shù)（從…進(jìn)行標(biāo)數(shù)，遇到同方向點(diǎn)不夠數(shù)時(shí)就“調(diào)頭”往回?cái)?shù)）.如圖：在點(diǎn)上標(biāo)，稱(chēng)為點(diǎn)，然后從點(diǎn)開(kāi)始數(shù)到第二個(gè)數(shù)，標(biāo)上，稱(chēng)為點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)開(kāi)始數(shù)到第三個(gè)數(shù)，標(biāo)上，稱(chēng)為點(diǎn)（標(biāo)上數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)），……，這樣一直繼續(xù)下去，直到，，，…，都被標(biāo)記到點(diǎn)上，則點(diǎn)上的所有標(biāo)記的數(shù)中，最小的是_______.14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_____15．在直角梯形.中，，分別為的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中，則的最大值是________.16．已知，向量的夾角為，則的最大值為_(kāi)____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為；數(shù)列是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為．已知，，，．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．已知函數(shù)，數(shù)列中，若，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.19．已知正項(xiàng)數(shù)列，滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)=++…+，如果對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．已知，，且向量與的夾角為．（1）若，求；（2）若與垂直，求．21．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為線(xiàn)段BC，PB，AD的中點(diǎn)．（1）證明：EF∥平面PAC；（2）證明：平面PCG∥平面AEF；（3）在線(xiàn)段BD上找一點(diǎn)H，使得FH∥平面PCG，并說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由已知利用垂徑定理求得，得到圓的半徑，畫(huà)出圖形，由扇形面積減去三角形面積求解．【題目詳解】解：直線(xiàn)方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓心到直線(xiàn)的距離．則，解得．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1．如圖，，則，．，，圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查扇形面積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．2、C【解題分析】

首先比較自變量與的大小，然后利用單調(diào)性比較函數(shù)值與的大小.【題目詳解】因?yàn)椋瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以.故選C.【題目點(diǎn)撥】已知函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小，可以借助自變量的大小來(lái)比較函數(shù)值的大小.3、A【解題分析】

先判斷函數(shù)為偶函數(shù)排除；再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，排除得到答案.【題目詳解】，偶函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)，，排除故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，通過(guò)函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)點(diǎn)可以排除選項(xiàng)快速得到答案.4、C【解題分析】

直接利用等差數(shù)列公式解方程組得到答案.【題目詳解】aaa1故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解題分析】

利用直線(xiàn)的斜率公式，求出當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的斜率，即可得到結(jié)論.【題目詳解】設(shè)要求直線(xiàn)的斜率為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，斜率為，故所求直線(xiàn)的斜率為.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】試題分析：記函數(shù)，則函數(shù)∵函數(shù)f（x）圖象向右平移單位，可得函數(shù)的圖象∴把函數(shù)的圖象右平移單位，得到函數(shù)的圖象,故選B.考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．7、C【解題分析】分析：利用向量的加法運(yùn)算，設(shè)的中點(diǎn)為D，可得，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可將原式化簡(jiǎn)為，為AD中點(diǎn)，從而得解.詳解：由，可得.設(shè)的中點(diǎn)為D，即.點(diǎn)P是△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，為AD中點(diǎn).∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最小值.故選C.點(diǎn)睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．8、B【解題分析】

先利用判別式法求出|x|,|y|,|z|的取值范圍，再判斷得解.【題目詳解】因?yàn)椋?，整理得：，解得，所以，同理?故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查新定義和判別式法求范圍，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9、D【解題分析】

當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時(shí)體積最大，得到答案.【題目詳解】取中點(diǎn)，連接當(dāng)平面ACD垂直于平面BCD時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)二面角為90°故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐體積的最大值，確定高的值是解題的關(guān)鍵.10、B【解題分析】

化為齊次分式，分子分母同除以，化弦為切，即可求解.【題目詳解】.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查已知三角函數(shù)值求值，通過(guò)齊次分式化弦為切，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先令，得到，兩式作差，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果.【題目詳解】令，則，兩式作差得：所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的求和，熟記錯(cuò)位相加法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型.12、【解題分析】由，行駛了4小時(shí)，這只船的航行速度為海里/小時(shí)．【題目點(diǎn)撥】本題為解直角三角形應(yīng)用題，利用直角三角形邊角關(guān)系表示出兩點(diǎn)間的距離，在用輔助角公式變形求值，最后利用速度公式求出結(jié)果.13、【解題分析】

將線(xiàn)段上的點(diǎn)考慮為一圓周，所以共有16個(gè)位置，利用規(guī)則，可知標(biāo)記2019的是，2039190除以16的余數(shù)為6，即線(xiàn)段的第6個(gè)點(diǎn)標(biāo)為2019，則，令，即可得．【題目詳解】依照題意知，標(biāo)有2的是1+2，標(biāo)有3的是1+2+3，……，標(biāo)有2019的是1+2+3+……+2019，將將線(xiàn)段上的點(diǎn)考慮為一圓周，所以共有16個(gè)位置，利用規(guī)則，可知標(biāo)記2019的是，2039190除以16的余數(shù)為6，即線(xiàn)段的第6個(gè)點(diǎn)標(biāo)為2019，，令，，解得，故點(diǎn)上的所有標(biāo)記的數(shù)中，最小的是3.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用合情推理，分析解決問(wèn)題的能力．意在考查學(xué)生的邏輯推理能力，14、1．【解題分析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出的值．【題目詳解】解：∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，

．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，表示出，結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)即可求得最大值.【題目詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：，分別為的中點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的圓交于，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，即，，所以，兩式相加：，即，要取得最大值，即當(dāng)時(shí)，故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查平面向量線(xiàn)性運(yùn)算，處理平面幾何相關(guān)問(wèn)題，涉及三角換元，轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問(wèn)題.16、【解題分析】

將兩邊平方，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求得的最大值.【題目詳解】將兩邊平方并化簡(jiǎn)得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查平面向量模的運(yùn)算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列,分別設(shè)公比與公差再用基本量法求解即可.(2)由(1)有再錯(cuò)位相減求解,利用不等式恒成立的方法求解即可.【題目詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由,,可得．∵,可得．故；設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由,得,由,得,∴．故；（2）根據(jù)題意知,①②①—②得∴,對(duì)任意的恒成立,∴【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差等比數(shù)列的基本量求解方法以及錯(cuò)位相減和不等式恒成立的問(wèn)題.屬于中檔題.18、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）將代入到函數(shù)表達(dá)式中，得，兩邊都倒過(guò)來(lái)，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得出an的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)不等式＜在求和時(shí)進(jìn)行放縮法的應(yīng)用，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算，即可證出．【題目詳解】（1）由函數(shù)，在數(shù)列中，若，得：，上式兩邊都倒過(guò)來(lái)，可得：＝＝﹣2，∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣1＝1（﹣1）．∵﹣1＝1．∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），可知：＝1n，∴an＝，n∈N*．∵當(dāng)n∈N*時(shí)，不等式＜成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣?＜．∴．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推公式，由遞推公式推出通項(xiàng)公式與放縮法的應(yīng)用是解決本題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．19、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1【解題分析】

（Ⅰ）由已知得，即，由2b1=a1+a2=25，得b1=，由a22=b1b2，得b2=18，∴{}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，因?yàn)?，，成等比?shù)列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化為，即f（n）=恒成立，當(dāng)a–1＞0即a＞1時(shí)，不合題意；當(dāng)a–1=0即a=1時(shí)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)a–1＜0即a＜1時(shí)，f（n）的對(duì)稱(chēng)軸為，f（n）單調(diào)遞減，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；綜上，a≤1.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算的值；（2）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出cosθ的值和對(duì)應(yīng)角θ的值．【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以?）因?yàn)榕c垂直，所以即，所以又，所以【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)和夾角的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．21、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）證明，EF∥平面PAC即得證；（2）證明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得證；（3）設(shè)AE，GC與BD分別交于M，N兩點(diǎn)，證明N點(diǎn)為所找的H點(diǎn)．【題目詳解】（1）證明：∵E、F分別是BC，BP中點(diǎn)，∴，∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）證明