遼寧省丹東市第七中學2024屆高一數學第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

遼寧省丹東市第七中學2024屆高一數學第二學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于()A．π B．πC．16π D．32π2．設數列是公差不為零的等差數列，它的前項和為，且、、成等比數列，則等于（）A． B． C． D．3．已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．4．（）A．4 B． C．1 D．25．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出（）A．13 B．15 C．40 D．466．(2016高考新課標III，理3)已知向量,則ABC=A．30 B．45 C．60 D．1207．已知：平面內不再同一條直線上的四點、、、滿足，若，則（）A．1 B．2 C． D．8．在中，，點是內（包括邊界）的一動點，且，則的最大值是（）A． B． C． D．9．以分別表示等差數列的前項和，若，則的值為A．7 B． C． D．10．設滿足約束條件,則的最大值為（）A．7 B．6 C．5 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若x、y滿足約束條件，則的最大值為________.12．已知等差數列中，，則_______13．已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為____。14．已知是內的一點，，，則_______；若，則_______.15．圓與圓的公共弦長為________.16．如圖，正方體中，的中點為，的中點為，為棱上一點，則異面直線與所成角的大小為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取名中學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．組號分組頻數頻率第1組5第2組①第3組30②第4組20第5組10（1）請先求出頻率分布表中位置的相應數據，再完成頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學生，高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試；（3）在（2）的前提下，學校決定在名學生中隨機抽取名學生接受考官進行面試，求：第組至少有一名學生被考官面試的概率．18．已知，是平面內兩個不共線的非零向量，，，且，，三點共線．（1）求實數的值；（2）若，，求的坐標；（3）已知，在（2）的條件下，若，，，四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點的坐標．19．某校為了了解學生每天平均課外閱讀的時間（單位：分鐘)，從本校隨機抽取了100名學生進行調查，根據收集的數據，得到學生每天課外閱讀時間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天課外閱讀時間不超過30分鐘的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根據頻率分布直方圖，估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數及平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表).20．自變量在什么范圍取值時，函數的值等于0?大于0呢?小于0呢?21．已知，.（1）求；（2）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓，由圖可得球的半徑與圓錐的關系．【題目詳解】如圖，作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，的外接圓是球的大圓，設該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B．【題目點撥】本題考查球的體積，關鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關系，即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯系，而這個聯系在其軸截面中正好體現．2、A【解題分析】

設等差數列的公差為，根據得出與的等量關系，即可計算出的值.【題目詳解】設等差數列的公差為，由于、、成等比數列，則有，所以，，化簡得，因此，.故選：A.【題目點撥】本題考查等差數列前項和中基本量的計算，解題的關鍵就是結合題意得出首項與公差的等量關系，考查計算能力，屬于基礎題.3、A【解題分析】

本題根據交集、補集的定義可得.容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.【題目詳解】，則【題目點撥】易于理解集補集的概念、交集概念有誤.4、A【解題分析】

分別利用和差公式計算，相加得答案.【題目詳解】故答案為A【題目點撥】本題考查了正切的和差公式，意在考查學生的計算能力.5、A【解題分析】

模擬程序運行即可．【題目詳解】程序運行循環(huán)時，變量值為，不滿足；，不滿足；，滿足，結束循環(huán)，輸出．故選A．【題目點撥】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構．解題時可模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷是否符合循環(huán)條件即可．6、A【解題分析】試題分析：由題意，得，所以，故選A．【考點】向量的夾角公式．【思維拓展】（1）平面向量與的數量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數量積的性質知，，，因此，利用平面向量的數量積可以解決與長度、角度、垂直等有關的問題．7、D【解題分析】

根據向量的加法原理對已知表示式轉化為所需向量的運算對照向量的系數求解.【題目詳解】根據向量的加法原理得所以，，解得且故選D.【題目點撥】本題考查向量的線性運算，屬于基礎題.8、B【解題分析】

根據分析得出點的軌跡為線段，結合圖形即可得到的最大值.【題目詳解】如圖：取，，，點是內（包括邊界）的一動點，且，根據平行四邊形法則，點的軌跡為線段，則的最大值是，在中，，，，，故選：B【題目點撥】此題考查利用向量方法解決平面幾何中的線段長度最值問題，數形結合處理可以避免純粹的計算，降低難度.9、B【解題分析】

根據等差數列前n項和的性質，當n為奇數時，，即可把轉化為求解.【題目詳解】因為數列是等差數列，所以，故,選B.【題目點撥】本題主要考查了等差數列前n項和的性質，屬于中檔題.10、A【解題分析】

考點：簡單線性規(guī)劃．專題：計算題．分析：首先作出可行域，再作出直線l0：y=-3x，將l0平移與可行域有公共點，直線y=-3x+z在y軸上的截距最大時，z有最大值，求出此時直線y=-3x+z經過的可行域內的點A的坐標，代入z=3x+y中即可．解：如圖，作出可行域，作出直線l0：y=-3x，將l0平移至過點A（3，-2）處時，函數z=3x+y有最大值1．故選A．點評：本題考查線性規(guī)劃問題，考查數形結合思想．解答的步驟是有兩種方法：一種是：畫出可行域畫法，標明函數幾何意義，得出最優(yōu)解．另一種方法是：由約束條件畫出可行域，求出可行域各個角點的坐標，將坐標逐一代入目標函數，驗證，求出最優(yōu)解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、18【解題分析】

先作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再觀察圖像即可得解.【題目詳解】解：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由圖可得：目標函數所在直線過點時，取最大值，即，故答案為：.【題目點撥】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，重點考查了作圖能力，屬基礎題.12、【解題分析】

設等差數列的公差為，用與表示等式，再用與表示代數式可得出答案。【題目詳解】設等差數列的公差為，則，因此，，故答案為：?！绢}目點撥】本題考查等差數列中項的計算，解決等差數列有兩種方法：基本性質法（與下標相關的性質）以及基本量法（用首項和公差來表示相應的量），一般利用基本量法來進行計算，此外，靈活利用與下標有關的基本性質進行求解，能簡化計算，屬于中等題。13、【解題分析】

根據球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據正弦定理求得的長，再根據圓內三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【題目詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【題目點撥】本小題主要考查外接球有關計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.14、【解題分析】

對式子兩邊平方，再利用向量的數量積運算即可；式子兩邊分別與向量，進行數量積運算，得到關于的方程組，解方程組即可得答案.【題目詳解】∵，∴；∵，∴解得：，∴.故答案為：；.【題目點撥】本題考查向量數量積的運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意將向量等式轉化為數量關系的方法.15、【解題分析】

先求出公共弦方程為，再求出弦心距后即可求解.【題目詳解】兩圓方程相減可得公共弦直線方程為，圓的圓心為，半徑為，圓心到的距離為，公共弦長為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了圓的一般方程以及直線與圓位置關系的應用，屬于基礎題.16、【解題分析】

根據題意得到直線MP運動起來構成平面，可得到面，進而得到結果.【題目詳解】取的中點O連接，，根據題意可得到直線MP是一條動直線，當點P變動時直線就構成了平面，因為MO均為線段的中點，故得到，四邊形為平行四邊形，面，故得到，又面，進而得到.故夾角為.故答案為.【題目點撥】這個題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內，轉化為平面角的問題；或者證明線面垂直進而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的時候.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）人，，直方圖見解析；（2）人、人、人；（3）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖能求出第組的頻數，第組的頻率，從而完成頻率分布直方圖．（2）根據第組的頻數計算頻率，利用各層的比例，能求出第組分別抽取進入第二輪面試的人數．（3）設第組的位同學為，第組的位同學為，第組的位同學為，利用列舉法能出所有基本事件及滿足條件的基本事件的個數，利用古典概型求得概率．【題目詳解】（1）①由題可知，第2組的頻數為人，②第組的頻率為，頻率分布直方圖如圖所示，

（2）因為第組共有名學生，所以利用分層抽樣在名學生中抽取名學生進入第二輪面試，每組抽取的人數分別為：第組：人，第組：人，第組：人，所以第組分別抽取人、人、人進入第二輪面試．（3）設第組的位同學為，第組的位同學為，第組的位同學為，則從這六位同學中抽取兩位同學有種選法，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，其中第組的位同學中至少有一位同學入選的有種，分別為：，，，∴第組至少有一名學生被考官面試的概率為．【題目點撥】本題考查頻率分直方圖、分層抽樣的應用，考查概率的求法，考查數據處理能力、運算求解能力，是基礎題．18、（1）；（2）；（3）．【解題分析】

（1）根據，，三點共線，列出向量與共線的表達式，然后根據坐標求解即可；（2）根據，列坐標即可求解；（3）根據平行四邊形可以推出對邊的向量相等，根據向量相等代入坐標求解即可求出點的坐標.【題目詳解】（1），∵，，三點共線，∴存在實數，使得，即，得，∵，是平面內兩個不共線的非零向量，∴，解得，；（2）；（3）∵，，，四點按逆時針順序構成平行四邊形，∴，設，則，∵，∴，解得，即點的坐標為．【題目點撥】本題主要考查了平面向量共線，平面向量的線性運算，平面向量的相等，屬于一般題.19、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位數估計值為32，平均數估計值為32.5.【解題分析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質列出方程組，能求出，；（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計該校學生每天課外閱讀時間的中位數及平均值．【題目詳解】（Ⅰ)由題意得，解得（Ⅱ)設該校學生每天課外閱讀時間的中位數估計值為，則解得：.該校學生每天課外閱讀時間的平均數估計值為：.答：該校學生每天課外閱讀時間的中位數估計值為32，平均數估計值為32.5.【題目點撥】本題考查頻率、中位數、平均數的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．20、當或時，函數的值等于0；當時，函數的值大于0；當或時，函數的值小于0.【解題分析】

將問題轉化為解方程和解不等式，以及，分別求解即可.【題目詳解】由題