2024屆湖北省八校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆湖北省八校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高度是60m，則河流的寬度等于（）A．m B．m C．m D．m2．在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù).則的值介于0到之間的概率為（）.A． B． C． D．3．在中，角所對的邊分別為，若，，，則等于（）A．4 B． C． D．4．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，則該人第五天走的路程為（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（）A． B． C． D．6．若變量，滿足條件，則的最大值是（）A．-4 B．-2 C．0 D．27．已知點(diǎn)和點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（）A．5或-1 B．5或1 C．2或-6 D．-2或68．一個(gè)圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，該圓錐的母線長為（）A． B．4 C． D．9．．若且，直線不通過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，10．已知實(shí)數(shù)，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線與圓交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則______．12．函數(shù)的最小正周期是________．13．從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為________．14．已知球的一個(gè)內(nèi)接四面體中，，過球心，若該四面體的體積為，且，則球的表面積的最小值為_________．15．已知，，，則在方向上的投影為__________．16．已知函數(shù)，它的值域是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：組號分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計(jì)1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．18．已知，，且向量與的夾角為．（1）若，求；（2）若與垂直，求．19．在中，，且邊上的中線長為，(1)求角的大??；(2)求的面積.20．已知的三個(gè)內(nèi)角的對邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長．21．如圖，求陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)求出的長，在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)求出的長，最后利用進(jìn)行求解即可.【題目詳解】在直角三角形中，.在直角三角形中，.所以有.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、D【解題分析】

由，得.由函數(shù)的圖像知，使的值介于0到之間的落在和之內(nèi).于是，所求概率為.故答案為D3、B【解題分析】

根據(jù)正弦定理，代入數(shù)據(jù)即可?！绢}目詳解】由正弦定理，得：，即，即：解得：選B?！绢}目點(diǎn)撥】此題考查正弦定理：，代入數(shù)據(jù)即可，屬于基礎(chǔ)題目。4、C【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式列方程，求得首項(xiàng)的值，進(jìn)而求得的值.【題目詳解】設(shè)第一天走，公比，所以，解得，所以.故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查中國古典數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

由題意和余弦定理可得，再由余弦定理可得，可得角的值．【題目詳解】在中，，由余弦定理可得，，，又，．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用余弦定理解三角形，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

由約束條件畫出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距最小，通過平移可知當(dāng)過時(shí)，取最大值，代入可得結(jié)果.【題目詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：當(dāng)取最大值時(shí)，在軸截距最小平移直線可知，當(dāng)過時(shí)，在軸截距最小又本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃中的最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過直線平移來進(jìn)行求解，屬于常考題型.7、A【解題分析】

根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式建立方程求得結(jié)果.【題目詳解】解得：或本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，利用扇形面積公式和圓錐表面積公式，求出圓錐的底面圓半徑和母線長．【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形又圓錐的表面積為，解得：母線長為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用扇形面積公式和圓錐表面積公式，是基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

因?yàn)榍遥?，，又直線可化為，斜率為，在軸截距為，因此直線過一二三象限，不過第四象限.故選：D.10、C【解題分析】

先得出，，，然后利用在上的單調(diào)性即可比較出的大小.【題目詳解】因?yàn)樗?，，因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增所以故選：C【題目點(diǎn)撥】利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小的時(shí)候，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解題分析】

根據(jù)題意可得圓心到直線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程解出即可.【題目詳解】圓，即，圓的圓心為，半徑為，∵直線與圓交于兩點(diǎn)且為等邊三角形，∴，故圓心到直線的距離為，即，解得或，故答案為或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線和圓相交的弦長公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．12、【解題分析】

根據(jù)周期公式即可求解.【題目詳解】函數(shù)的最小正周期故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦型函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

基本事件總數(shù)n，利用列舉法求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有4種情況，由此能求出這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率．【題目詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中，任取兩張，基本事件總數(shù)n，這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4種情況，∴這兩張卡片上的數(shù)字之差的絕對值等于1的概率為p．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

求出面積的最大值，結(jié)合棱錐的體積可得到平面距離的最小值，進(jìn)一步求得球的半徑的最小值得答案．【題目詳解】解：在中，由，且，

得，得．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值1．

過球心，且四面體的體積為1，

∴三棱錐的體積為．

則到平面的距離為．

此時(shí)的外接圓的半徑為，則球的半徑的最小值為，

∴球O的表面積的最小值為．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體外接球表面積最值的求法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，考查空間想象能力，是中檔題．15、【解題分析】

根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計(jì)算．【題目詳解】在方向上的投影為．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的投影，掌握投影的概念是解題基礎(chǔ)．16、【解題分析】

由反余弦函數(shù)的值域可求出函數(shù)的值域.【題目詳解】，，因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查反三角函數(shù)值域的求解，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)反余弦函數(shù)的值域進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)35，0.30;(2).【解題分析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學(xué)生數(shù)，利用列舉法寫出從中任意抽取2人的所有方法種數(shù)，查出2人至少1人來自第四組的事件個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應(yīng)分別抽取3人、2人、1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1、A2、A3，第4組的2位同學(xué)為B1、B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學(xué)至少有1位同學(xué)入選的概率為＝點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算的值；（2）根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出cosθ的值和對應(yīng)角θ的值．【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以?）因?yàn)榕c垂直，所以即，所以又，所以【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長和夾角的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

(1)本題可根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式將化簡為，然后根據(jù)即可求出角的大小；(2)本題首先可設(shè)的中點(diǎn)為，然后根據(jù)向量的平行四邊形法則得到，再然后通過化簡計(jì)算即可求得，最后通過三角形面積公式即可得出結(jié)果．【題目詳解】(1)由正弦定理邊角互換可得，所以.因?yàn)?，所以，即，即，整理?因?yàn)?，所以，所以，即，所?因?yàn)椋?，即?2)設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)向量的平行四邊形法則可知所以，即，因?yàn)?，，所以，解得（?fù)值舍去）.所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角恒等變換公式及解三角形相關(guān)公式的應(yīng)用，考查了向量的平行四邊形法則以及向量的運(yùn)算，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題．20、(1)；(2)【解題分析】

（1）通過正弦定理得，進(jìn)而求出，再根據(jù)，進(jìn)而求得的大??；（2）由正弦定理中的三角形面積公式求出，再根據(jù)余弦定理，求得，進(jìn)而求得的周長．【題目詳解】（1）由題意知，由正弦定理得，又由，則，所以，又因?yàn)?，則，所以．（2）由三角形的面積公式，可得，解得，又因?yàn)?，解得，即，所以，所以的周長為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理