江西省宜春市豐城中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測試題含解析

江西省宜春市豐城中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末檢測試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，且，則()A． B． C． D．2．已知且，則為（）A． B． C． D．3．已知是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．4．已知，，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，（且），且數(shù)列是遞增數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列，又，則A． B． C． D．7．在正三棱錐中，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足下列條件：①定義域為；②當(dāng)時；③.若關(guān)于x的方程恰有3個實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是A． B． C． D．9．已知向量，，若，則銳角α為()A．45° B．60° C．75° D．30°10．同時拋擲三枚硬幣，則拋擲一次時出現(xiàn)兩枚正面一枚反面的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________.12．已知，，，的等比中項是1，且，，則的最小值是______.13．如圖所示，梯形中，，于，，分別是，的中點(diǎn)，將四邊形沿折起（不與平面重合），以下結(jié)論①面；②；③．則不論折至何位置都有_______．14．在中，分別是角的對邊，已知成等比數(shù)列，且，則的值為________.15．某公司調(diào)查了商品的廣告投入費(fèi)用（萬元）與銷售利潤（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，如下表：廣告費(fèi)用（萬元）銷售利潤（萬元）由表中的數(shù)據(jù)得線性回歸方程為，則當(dāng)時，銷售利潤的估值為___．（其中：）16．一條河的兩岸平行，河的寬度為560m，一艘船從一岸出發(fā)到河對岸，已知船的靜水速度，水流速度，則行駛航程最短時，所用時間是__________（精確到）．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在多面體中，為等邊三角形，,點(diǎn)為邊的中點(diǎn).（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證:平面平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.18．定理：若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且方程有個根，則這個根之和為.利用上述定理，求解下列問題：（1）已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求的值及方程的所有根之和；（2）若關(guān)于的方程在實數(shù)集上有唯一的解，求的值.19．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且垂直于軸，連結(jié)并延長交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè).（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程及的值；（2）若，求橢圓的離心率的取值范圍.21．已知函數(shù)，且，.（1）求，的值及的定義域；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

利用二倍角的正弦公式和與余弦公式化簡可得.【題目詳解】∵，∴，∵，所以，∴，∴.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】由題意得，因為，即，所以，又，又，且，所以，故選B．3、A【解題分析】

在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，依題意可得，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合圖象即可得答案．【題目詳解】解：，在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，

設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，

則，即，

又，

所以，，即，

所以①；

又，故，即②，由①②得：，

故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，依題意可得是關(guān)鍵，考查作圖能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題．4、A【解題分析】在方向上的投影為，選A.5、C【解題分析】

寫出變換后的函數(shù)解析式，，，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可分析得：要使函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，只需，即可得解.【題目詳解】由題，根據(jù)變換關(guān)系可得：，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)，，，根據(jù)正弦函數(shù)圖象可得：，解得：.故選：C【題目點(diǎn)撥】此題考查函數(shù)圖象的平移和伸縮變換，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.6、A【解題分析】

根據(jù)已知條件可以推出，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，因此去絕對值可以得到，，利用累加法繼而算出結(jié)果．【題目詳解】，即，或，又，．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，．．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了通過遞推式求數(shù)列的通項公式，數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，以及并項求和法的應(yīng)用。7、B【解題分析】

利用正三棱錐的性質(zhì)，作出側(cè)棱與底面所成角，利用直角三角形進(jìn)行計算.【題目詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因為是正三棱錐，所以面，所以為側(cè)棱與底面所成角，因為，所以，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.8、D【解題分析】

分析：先根據(jù)條件確定函數(shù)圖像，再根據(jù)過定點(diǎn)（1，0）的直線與圖像關(guān)系確定實數(shù)k的取值范圍.詳解：因為，當(dāng)時；所以可作函數(shù)在上圖像，如圖，而直線過定點(diǎn)A（1，0）,根據(jù)圖像可得恰有3個實數(shù)解時實數(shù)k的取值范圍為,選D.點(diǎn)睛：對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．9、D【解題分析】

根據(jù)向量的平行的坐標(biāo)表示，列出等式，即可求出．【題目詳解】因為，所以，又為銳角，因此，即，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示．10、B【解題分析】

根據(jù)二項分布的概率公式求解.【題目詳解】每枚硬幣正面向上的概率都等于，故恰好有兩枚正面向上的概率為：.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項分布.本題也可根據(jù)古典概型概率計算公式求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

如圖設(shè)設(shè)棱長為1，則，因為底面邊長和側(cè)棱長都相等，且所以，所以，，，設(shè)異面直線的夾角為，所以.12、4【解題分析】

，的等比中項是1，再用均值不等式得到答案.【題目詳解】，的等比中項是1當(dāng)時等號成立.故答案為4【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比中項，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.13、①②【解題分析】

根據(jù)題意作出折起后的幾何圖形，再根據(jù)線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，異面直線的判定定理等知識即可判斷各選項的真假．【題目詳解】作出折起后的幾何圖形，如圖所示：．因為，分別是，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以．而面，所以面，①正確；無論怎樣折起，始終有，所以面，即有，而，所以，②正確；折起后，面，面，且，故與是異面直線，③錯誤．故答案為：①②．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，異面直線的判定定理等知識的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

利用成等比數(shù)列得到，再利用余弦定理可得，而根據(jù)正弦定理和成等比數(shù)列有，從而得到所求之值.【題目詳解】∵成等比數(shù)列，∴.又∵，∴.在中，由余弦定理，因，∴.由正弦定理得，因為，所以，故.故答案為.【題目點(diǎn)撥】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.15、12.2【解題分析】

先求出，的平均數(shù)，再由題中所給公式計算出和，進(jìn)而得出線性回歸方程，將代入，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：，，所以，所以，故回歸直線方程為，所以當(dāng)時，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性回歸方程，需要考生掌握住最小二乘法求與，屬于基礎(chǔ)題型.16、6【解題分析】

先確定船的方向，再求出船的速度和時間.【題目詳解】因為行程最短，所以船應(yīng)該朝上游的方向行駛，所以船的速度為km/h,所以所用時間是.故答案為6【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解題分析】

(I)取中點(diǎn),連結(jié),利用三角形中位線定理可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（Ⅱ）先證明，，可得平面，從而可得平面，由面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（Ⅲ）取中點(diǎn),連結(jié)，直線與平面所成角等于直線與平面所成角,過作,垂足為,連接，為直線與平面所成角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】(I)取中點(diǎn),連結(jié)，是平行四邊形，平面，平面,平面.(II)，又平面平面，又為等邊三角形，為邊的中點(diǎn)，平面由(I)可知，平面，平面平面平面．(III)取中點(diǎn),連結(jié)，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,過作,垂足為,連接.平面平面,平面，平面.為斜線在面內(nèi)的射影，為直線與平面所成角，在中，直線與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面平行、面面垂直的證明以及線面角的求解方法，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.18、（1），；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)定義域和對稱性即可得出的值，求出的解的個數(shù)，利用定理得出所有根的和；（2）令，則為偶函數(shù)，于是的唯一零點(diǎn)為，于是，即可解出的值．【題目詳解】解：（1）在上的圖象關(guān)于直線對稱，，令得，，即，．在上有7個零點(diǎn)，方程的所以根之和為．（2）令，則，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對稱，即關(guān)于直線對稱，只有1解，的唯一解為，即，，解得．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象對稱性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）見解析（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先由面面垂直性質(zhì)定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．試題解析：證明：（1）在平面內(nèi)，因為AB⊥AD，，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因為平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因為平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC.點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．20、（1）；（2）【解題分析】

（1）把的坐標(biāo)代入方程得到，結(jié)合解出后可得標(biāo)準(zhǔn)方程.求出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程和直線方程后可求的坐標(biāo)，故可得的值.（2）因，故可用表示的坐標(biāo)，利用它在橢圓上可得與的關(guān)系，化簡后可得與離心率的關(guān)系，由的范圍可得的范圍.【題目詳解】（1）因為垂直于軸，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，解得，，所以橢圓的方程為.所以，直線的方程為，將代入橢圓的方程，解得，所以.（2）因為軸，不妨設(shè)在軸上方，，.設(shè)，因為在橢圓上，所以，解得，即.（方法一）因為，由得，，，解得，，所以.因為點(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，從而.因為，所以.解得，所以橢圓的離心率的取值范圍.【題目點(diǎn)撥】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.圓錐曲線中的離心率的計算或范圍問題，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個等式關(guān)系或不等式關(guān)系，其中不等式關(guān)系的構(gòu)建需要利用題設(shè)中的范圍、坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的