數學史第七節(jié)課

中外數學發(fā)展史上海市市東中學楊鋒第七講希臘數學——之“阿波羅尼奧斯與圓錐曲線

”

1阿波羅尼奧斯生平簡介阿波羅尼奧斯(ApolloniusofPerga)，約公元前262一公元前l(fā)90年)大約是在阿基米德(Archimedes)誕生之后25年出生在小亞細亞西北部的城市別加(Perga)。由于在希臘叫阿波羅尼奧斯的學者較多，所以常稱他為別加的阿波羅尼奧斯。2據數學家帕波斯記載，他為森密斯的天文學家阿利斯塔克(AristarchusofSamos，約公元前310—前230)的聲望所吸收，在青年時代去亞里山大里亞城，向歐幾里得(Euclid)的學生們學習數學。3他曾訪問帕加馬王國(小亞細亞西北)的佩爾加蒙(Pergamum)。在那里有新建的大學和圖書館。在那兒他結識了亞里士多德(Aristotle)的學生、數學家歐德莫斯和國王阿塔拉斯(Attalus)一世。阿波羅尼奧斯將自己的著作《圓錐曲線》的前三卷和后五卷分別獻給了他們兩人。4阿波羅尼奧斯的主要著作是關于圓錐曲線的。我們知道在阿波羅尼奧斯之前早就有人研究圓錐曲線了。阿利斯塔克和歐幾里得都寫過這方面的書，在阿基米德的論著中也有這方面的一些結果。然而阿波羅尼奧斯做了去粗取精和使之系統化的工作。他的《圓錐曲線》除了綜合前人的成就之外，還包含有獨到的創(chuàng)見材料，而且寫得巧妙、靈活，組織得非常出色。5就成就而言，它在幾何發(fā)展史上是一個巍然屹立的豐碑，是古典希臘幾何的登峰造極之作?！秷A錐曲線》一問世，立即被奉為“權威”，常被后世作者所引用。在《圓錐曲線》一書中已見坐標制思想的端倪，他以圓錐體底面直徑作為橫坐標，過頂點的垂線作為縱坐標。這給后世坐標幾何的建立以很大的啟發(fā)。6阿波羅尼奧斯對圓錐曲線的幾何性質有深刻的理解，并將拋物鏡面能將平行于軸的光束聚集于焦點處的性質應用于光學而寫了一本《取火鏡》。他在天文學方面也頗有建樹，證明了求行星留點的方法，成功地將幾何學應用于天文學。7阿波羅尼奧斯和歐幾里得一樣，吸收了古典時期學者們數學工作的精華，并將自己研究的新成果融合于其中。他共寫了7本數學著作，其中最著名、最重要的是《圓錐曲線》一書。8《圓錐曲線》一書分8篇共含487個命題。這8篇著作，前4篇是從12一13世紀的希臘手稿復制出來的。復制時，由帕波斯增加了一條預備定理。而歐托基奧斯就前4篇進行了編輯和評論，其后3篇是從1290年的阿拉伯譯本轉譯的。第8篇已失傳，到17世紀則由哈雷根據帕波斯書中的啟示編寫成一個整理本。9

歐幾里得及阿基米德都像柏拉圖派學者萬奈赫莫斯最早所提出的那樣，把圓錐曲線看成是從3種正圓錐割出的曲線。(如圖1，用一個平面以垂直于某一母線的方向分別去截頂角是銳角、直角和鈍角的3種直圓錐，那么就會得出3種不同的圓錐曲線。)據悉，歐幾里得和阿基米德都知道，從直角與銳角的直圓錐也能割出橢圓，阿基米德還知道有些與斜圓錐上所有母線都相交的平面能在其上截出橢圓。10然而，阿波羅尼奧斯是第一個依據同一個(正的或斜的)圓錐的截面來討論圓錐曲線理論的人。阿波羅尼奧斯指出，同一個圓錐，只要改變截面的位置就可產生3種圓錐曲線(如圖2)。他也是第一個發(fā)現雙曲線有兩支的人。11/cnet/dynamic/maintain/item/accessory/1098403860906.swf1213圓錐曲線包括橢圓，雙曲線，拋物線

圓錐曲線的統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0<e<1時為橢圓：當e=1時為拋物線；當e>1時為雙曲線。14橢圓，雙曲線，拋物線的定義1.橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即：。2.雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線。即：。3.拋物線：到一個定點和一條定直線的距離相等的動點軌跡叫做拋物線。151.橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓。即：。162.雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線。即：173.拋物線：到一個定點和一條定直線的距離相等的動點軌跡叫做拋物線。18《圓錐曲線》的第1篇通過幾何作圖得到關于圓錐曲線的定義和基本性質，并首次引入齊曲線(現在稱之為拋物線)、虧曲線(現在稱之為橢圓)和超曲線(現在稱之為雙曲線)的新名稱，取代了之前的直角圓錐曲線、銳角圓錐曲線和鈍角圓錐曲線的叫法。第1篇中還論述了圓錐曲線的切線。19《圓錐曲線》的第2篇論述了雙曲線的漸近線的作法和性質，以及如何求一圓錐曲線的直徑、有心圓錐曲線的中心及拋物線、有心圓錐曲線的軸。20《圓錐曲線》的第3篇論述了關于切線與直徑所成圖形的面積的定理。其中有一定理是“圓的兩條相交弦各自被交點所分成的兩段相乘其積相等”的定理在非圓的一般圓錐曲線上的推廣：如圖3，OP與OQ是圓錐曲線的切線，若該圓錐曲線的一弦及名平行于OP，而另一弦RˊSˊ平行于OQ，且RS與RˊSˊ或其延長線相交于J，則有21《圓錐曲線》的第3篇還論述了圓錐曲線的極點與極線的所謂調和性質以及有心圓錐曲線的焦點的性質。22《圓錐曲線》第4篇論述了極點和極線的其他性質以及各種位置的圓錐曲線可能有的交點數目。阿波羅尼奧斯在此證明了兩圓錐曲線至多相交于四黑。23《圓錐曲線》的第5篇確有其新穎和獨到之處。它論述了從任一給定圓錐曲線所在平面上的點O到圓錐曲線所能作的最長和最短的線。阿波羅尼奧斯還證明了如若OP為O點到圓錐曲線的最長或最短線，P為該線與圓錐曲線的交點，則過P且與OP垂直的直線必為圓錐曲線的切線。24當O在圓錐曲線內時，延長OP到圓錐曲線外任一點Oˊ，則OˊP必為Oˊ點到該圓錐曲線的極小線。我們知道，現今稱切線在切點處的垂線為法線，故阿波羅尼奧斯所言極大、極小線均為法線。隨后，阿波羅尼奧斯考察了法線的性質，并指出從圓錐曲線內部或外部的給定點作法線的方法以及能作二、三或四條法線的點相對圓錐曲線的位置。25《圓錐曲線》的第6篇講述全等圓錐曲線、相似圓錐曲線及圓錐曲線弓形。這弓形也象圓的弓形一樣被定義為圓錐曲線的弦所割出的一部分面積。這一篇還給出怎樣在一給定的直角圓錐上作出與已知圓錐曲線相等的圓錐曲線。26《圓錐曲線》的第7篇講述了有心圓錐曲線兩共軛直徑的性質。

已失傳的第8篇，從帕波斯的書中所講的來看，也許是關于怎樣定出有心圓錐曲線的共軛直徑，使其長度的某些函數具有給定的值。27

帕波斯的書中還提到阿波歲尼奧斯的其他6部數學著作。其中《論切觸》，它的內容是由韋達重新整理出來。該書中含有著名的阿波羅尼奧斯問題：任給三點、三線或三圓，或點、線、圓共同集中的任意三者，求作一個圓過選定的點、而與選定的直線、圓相切。后來的許多數學家研究過這個問題，包括韋達和牛頓都給出了這個問題的解。28阿波羅尼奧斯在《論點火鏡》一書中，論述了拋物鏡面能把焦點處發(fā)出的光反射成平行于鏡面軸的光束的特性；反之，若射于鏡面的光線平行于軸，則光線由拋物鏡面反射后就聚