數(shù)學(xué)物理方法第一章第二講

1.2復(fù)變函數(shù)一、概念定義函數(shù)：從一個(gè)數(shù)域(定義域）到另一個(gè)數(shù)域（值域）的映射。實(shí)變函數(shù)：f:x→y復(fù)變函數(shù)：f:z→w。即復(fù)數(shù)z通過某種一定的規(guī)則和復(fù)數(shù)w聯(lián)系在一起，稱w為宗量z的函數(shù)。舉例f(n)=fn=(1+i)n,n∈Nf(z)=zn

f(z)=exp(z)f(z)=ln(z)分析與比較：①定義域和值域相同點(diǎn)：都是數(shù)集不同點(diǎn)：實(shí)數(shù)集是一維的，可以在(直)線上表示；復(fù)數(shù)集是二維的，必須在(平)面上表示。典型例子：|x|<2是連通的，1<|x|是不連通的；|z|<2是單連通的，1<|z|是復(fù)連通的。實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)②映射相同點(diǎn)在形式上：y=f(x),w=f(z)不同點(diǎn)在變量上：z=x+iy,w=u+iv在描述上：實(shí)變函數(shù)可以用兩個(gè)數(shù)軸組成的平面上的曲線表示；復(fù)變函數(shù)不能用一個(gè)圖形完全表示。聯(lián)系u=u(x,y),v=v(x,y)可以用兩個(gè)曲面分別表示復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部。③結(jié)構(gòu)相同點(diǎn)：復(fù)雜函數(shù)都可以分解為簡(jiǎn)單的基本函數(shù)組成。不同點(diǎn)：基本實(shí)變函數(shù)xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本復(fù)變函數(shù)zn,z1/n,exp(z),ln(z)原因cos(z)=(eiz+e-iz)/2,sin(z)=(eiz-e-iz)/2i1.2復(fù)變函數(shù)二、基本函數(shù)二次函數(shù)定義w=z2分析u+iv=(x+iy)2=x2+2ixy-y2u=x2-y2,v=2xy性質(zhì)對(duì)稱性無(wú)周期性無(wú)界性單值性1.2復(fù)變函數(shù)三次函數(shù)定義w=z3分析u+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3u=x3–3xy2,v=3x2y-y3

性質(zhì)對(duì)稱性無(wú)周期性無(wú)界性單值性1.2復(fù)變函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)

=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cos

y,v=exp(x)sin

y性質(zhì)不對(duì)稱性周期性：exp(z+2πi)=exp(z)無(wú)界性單值性1.2復(fù)變函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義w=Ln(z)分析u+iv=Ln(

reiφ)

=lnr+iφ

u=lnr,v=φ性質(zhì)對(duì)稱性非周期性無(wú)界性多值性1.2復(fù)變函數(shù)三角函數(shù)定義w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)

=sin(x)ch(y)+i

cos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性質(zhì)對(duì)稱性周期性無(wú)界性單值性1.2復(fù)變函數(shù)三、單值與多值函數(shù)單值函數(shù)：每一個(gè)自變量復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的復(fù)數(shù)w的值，則稱w=f(z)為單值函數(shù)。多值函數(shù)：每一個(gè)自變量復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)幾個(gè)或無(wú)窮多個(gè)復(fù)數(shù)w的值，則稱w=f(z)為多值函數(shù)。作業(yè)：P5:1(2)、（4）、（6）、（8）、（10）；（4）、（6）；（5）、（6）、（7）、（8）。P9：2（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；3.1.3導(dǎo)數(shù)一、基本概念...內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)界點(diǎn)Z2Z1區(qū)域不包括邊界點(diǎn)。（開集性）（連通性）（10）有界區(qū)域：如果一個(gè)區(qū)域D可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓內(nèi)部，即存在正數(shù)M,使得區(qū)域D的每一點(diǎn)z都滿足，那么D稱為有界區(qū)域.（11）無(wú)界區(qū)域：根據(jù)上面的定義，非有界區(qū)域即為無(wú)界區(qū)域.例：指出下列各式，哪些是區(qū)域，哪些不是？那些是有界區(qū)域？二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域B上的單值函數(shù)，若在B內(nèi)某點(diǎn)z0，極限存在，則稱函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處連續(xù)，如果w=f(z)在區(qū)域B上各點(diǎn)都連續(xù)，則稱在區(qū)域B上連續(xù)。1.3導(dǎo)數(shù)三、導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域B上的單值函數(shù)，若在B內(nèi)某點(diǎn)z0，極限存在，則稱函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限值為函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或微商，記為說明形式上類似于實(shí)變函數(shù)的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義。因此實(shí)變函數(shù)中一元函數(shù)的求導(dǎo)法則及初等函數(shù)的求導(dǎo)公式都可以照搬過來，只不過將實(shí)變量x改寫成復(fù)數(shù)z而已。說明但是，從復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的定義來看，極限存在要求于Δz→0的方式無(wú)關(guān)。這一限制，使得復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)要比實(shí)變函數(shù)限制嚴(yán)得多。為什么？？？?jī)蓚€(gè)例子：1.dzn/dz=nzn-12.w=z*在z平面上處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)?？蓪?dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo).因?yàn)檫@實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二重極限。與實(shí)變函數(shù)中二元函數(shù)極限相似。幾何意義導(dǎo)數(shù)f'(z0)的幅角Argf

'(z0)是曲線經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角.w=f(z)Argf

'(z0)導(dǎo)數(shù)f‘(z0)的模|f’(z0)|是經(jīng)過w=f(z)映射后通過z0的任何曲線在z0的伸縮率。四、Cauchy-Riemann條件設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定義在區(qū)域B內(nèi)的函數(shù)，如果f(z)在任一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，則一定有下式成立稱之為Cauchy-Riemann條件（方程）可導(dǎo)的必要條件設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域B內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，那么有逆命題不成立雖然滿足C-R條件，但f(z)在z=0處不可導(dǎo)可導(dǎo)的充分必要條件設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)處滿足：那么f(z)在z=x+iy處可導(dǎo)。證明過程導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式極坐標(biāo)下的Cauchy-Riemann條件設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)，那么舉例1.4解析函數(shù)一、定義設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域B上的單值函數(shù)，若在B內(nèi)某點(diǎn)z0及其鄰每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)處解析。若w=f(z)

在區(qū)域B上每一點(diǎn)都解析，則稱函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)解析?；蚍Q函數(shù)w=f(z)為區(qū)域B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)。說明2.稱函數(shù)的不解析點(diǎn)為奇點(diǎn)。1.解析與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)在某點(diǎn)解析，則必在該點(diǎn)可導(dǎo)；反之不然。在區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)在B內(nèi)可導(dǎo)。

例如：函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。二、

解析函數(shù)的充分條件設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B內(nèi)滿足那么f(z)在B內(nèi)解析。三、解析函數(shù)的主要性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B內(nèi)解析，則u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B內(nèi)的兩族正交曲線舉例紅:實(shí)部蘭:虛部性質(zhì)2：若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)，則u(x,y)和v(x,y)均為B內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即三、解析函數(shù)的主要性質(zhì)u(x,y)和v(x,y)又稱為共軛調(diào)和函數(shù)。1、保角變換的定義性質(zhì)3：保角性設(shè)表示C

、在點(diǎn)的切線與x軸正向夾角，而以表示在點(diǎn)的切線與x軸正向夾角，如下圖：CyxZ平面w平面根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，在時(shí)，有復(fù)數(shù)相除時(shí)，對(duì)應(yīng)的輻角相減，故上式表明兩曲線均旋轉(zhuǎn)相同的角。故在平面上兩曲線的交角不變，即變換具有保角性.可以說明，對(duì)附近任一給定的小線段，在w平面上附近有一與之對(duì)應(yīng)的小線段，其長(zhǎng)度被“放大”了倍，且旋轉(zhuǎn)了角,上述性質(zhì)稱為長(zhǎng)度伸縮性。另外，由上述性質(zhì)稱為方程不變性。具有以上性質(zhì)的變換稱為保角變換。

借助于保角變換所具有的特性，有可能把一個(gè)給定的、其場(chǎng)域幾何特征比較復(fù)雜的兩維場(chǎng)問題變換為另一個(gè)場(chǎng)域幾何特征比較簡(jiǎn)單的兩維場(chǎng)問題。如z平面上兩相互正交曲線對(duì)應(yīng)電場(chǎng)中的電力線和等勢(shì)線，則變換到平面上兩曲線仍相互正交，且其有相同的物理意義。2、保角變換的意義四、解析函數(shù)的求解方法例1：已知平面電場(chǎng)的電勢(shì)為u=x2-y2，求電力線方程。分析：等勢(shì)面與電力線相互正交，對(duì)應(yīng)的函數(shù)組成一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部與虛部，滿足C-R條件。解：方法1：曲線積分法設(shè)電力線為v(x,y)=C,由C-R條件得

vx=-uy=2y,v=∫(x,y)

vxdx+vydy=∫(x,y)

2ydx+2xdy=2xy+C注意：電力線方程的一般形式為f(2xy)=C四、解析函數(shù)的求解方法方法2：湊微分法由C-R條件得

vx=-uy=2y,vy=ux

=2x

dv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy+C方法3：不定積分法v=∫vxdx+φ(y)=∫2ydx+φ(y)

=2xy+φ(y)

vy=ux=2x=2x+φ’(y)

φ(y)=C1.4解析函數(shù)例2：已知平面電場(chǎng)的等勢(shì)線為x2+y2=C，求電勢(shì)u(x,y)。分析：等勢(shì)線方程的左邊不一定恰好是電勢(shì)表達(dá)式，電勢(shì)必須有調(diào)和性，可看成某個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部。解：設(shè)電勢(shì)為u=f(x2+y2)

ux=2xf’,uxx=2f’+4x2f”

uy=2yf’,uyy=2f’+4y2f”