專題08 多邊形性質(zhì)證明及應用問題（復習講義）（原卷版）-二輪要點歸納與典例解析

專題08多邊形性質(zhì)證明及應用問題復習講義【要點歸納|典例解析】類型一：多邊形性質(zhì)考點01多邊形的內(nèi)角和1．多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。2．多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。3．多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫多邊形的外角。4．多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。5．正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。6．多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°7．多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。8.多邊形對角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n-3）條對角線，把多邊形分成（n-2）個三角形。（2）n邊形共有條對角線。類型二：三角形的性質(zhì)與判定考點02三角形全等1．全等三角形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2．全等三角形的表示全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應角相等、對應邊相等。4．三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）考點03等腰三角形1.定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角.2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．4.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．5.等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.考點04等邊三角形1.定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形．2.性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°；性質(zhì)2：等邊三角形是軸對稱圖形，并且有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線。3.判定（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（3）有兩個角是60°的三角形是等邊三角形?？键c05含30的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它對的等于的一半.【解題方法要領】1.等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當添加輔助線，使之構成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關性質(zhì)，快捷地證出結論。2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關中線的問題。3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對已知的邊和角進行討論，分類的標準一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類。考點06勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。2．勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。

3.定理：經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。

4.我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5.

直角三角形的性質(zhì)：(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。6.直角三角形的判定：(1)有一個角等于90°的三角形是直角三角形(2)兩銳角互余的三角形是直角三角形(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形類型三：平行四邊形的性質(zhì)與判定考點07平行四邊形1．平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。2．平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形的對邊平行且相等；（2）平行四邊形的對角相等；（3）平行四邊形的對角線互相平分。3．平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（5）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。4．平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長×高=ah考點08矩形1．矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2．矩形的性質(zhì)：（1）矩形的四個角都是直角；（2）矩形的對角線平分且相等。3．矩形判定定理：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；

（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。4．矩形的面積：S矩形=長×寬=ab考點09菱形菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

3.菱形的判定定理：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（3）四條邊相等的四邊形是菱形。4．菱形的面積：S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半考點10正方形1．正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2．正方形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；（4）正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；（5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。3．正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形先證它是菱形，再證有一個角是直角。即有一個角是直角的菱形是正方形。4．正方形的面積：設正方形邊長為a，對角線長為b，S正方形=類型一：多邊形的性質(zhì)1．（2021湖南岳陽）已知正多邊形的一個外角等于40°，那么這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．92.（2021江西）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，則∠BAE的度數(shù)為何？（）A．115 B．120 C．125 D．1303.（經(jīng)典題）一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是________.類型二：三角形4.（2019?甘肅）如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，過點A作AG⊥ED交DE于點F，交CD于點G．（1）證明：△ADG≌△DCE；（2）連接BF，證明：AB＝FB．5.（2019山東棗莊）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D．（1）如圖1，點M，N分別在AD，AB上，且∠BMN＝90°，當∠AMN＝30°，AB＝2時，求線段AM的長；（2）如圖2，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求證：BE＝AF；（3）如圖3，點M在AD的延長線上，點N在AC上，且∠BMN＝90°，求證：AB+AN＝AM．6.（2019?河北）如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側，I為△APC的內(nèi)心．（1）求證：∠BAD＝∠CAE；（2）設AP＝x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值．7.（2019?杭州）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．（2）以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數(shù)．8．（2019?攀枝花）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD＝CE．求證：（1）點D在BE的垂直平分線上；（2）∠BEC＝3∠ABE．9.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點F，BH⊥AB于點B，點M是BC的中點，連接FM并延長交BH于點H．（1）如圖①所示，若∠ABC＝30°，求證：DF＋BH＝BD；（2）如圖②所示，若∠ABC＝45°，如圖③所示，若∠ABC＝60°（點M與點D重合），猜想線段DF，BH，BD之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明．圖① 圖② 圖③類型三：平行四邊形10．（2019湖南郴州）如圖，平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，連接AC，DF．求證：四邊形ACDF是平行四邊形．11.(湖南省永州市)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．(1)求證：BE=CD．(2)連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．12．（2019湖南懷化）已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F(xiàn)分別為垂足．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）求證：四邊形AECF是矩形．13．（2019湖南岳陽）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為AD、CD邊上的點，DE＝DF，求證：∠1＝∠2．14.(2019海南)如圖,在邊長為1的正方形ABCD中,E是邊CD的中點,點P是邊AD上一點(與點A,D不重合),射線PE與BC的延長線交于點Q.(1)求證:△PDE≌△QCE;(2)過點E作EF∥BC交PB于點F,連接AF,當PB＝PQ時,①求證:四邊形AFEP是平行四邊形;②請判斷四邊形AFEP是否為菱形,并說明理由.類型四：多邊形綜合15．（2019湖南郴州）如圖1，矩形ABCD中，點E為AB邊上的動點（不與A，B重合），把△ADE沿DE翻折，點A的對應點為A1，延長EA1交直線DC于點F，再把∠BEF折疊，使點B的對應點B1落在EF上，折痕EH交直線BC于點H．（1）求證：△A1DE∽△B1EH；（2）如圖2，直線MN是矩形ABCD的對稱軸，若點A1恰好落在直線MN上，試判斷△DEF的形狀，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點G為△DEF內(nèi)一點，且∠DGF＝150°，試探究DG，EG，F(xiàn)G的數(shù)量關系．16.（2019?海南省）如圖，在邊長為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點Q．（1）求證：△PDE≌△QCE；（2）過點E作EF∥BC交PB于點F，連結AF，當PB＝PQ時，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；②請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由．17．（2019湖南株洲）如圖所示，已知正方形OEFG的頂點O為正方形ABCD對角線AC、BD的交點，連接CE、DG．（1）求證：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的邊長為2，線段AD與線段OG相交于點M，AM＝，求