專題訓練：方案設計

1/10專題訓練：方案設計1．(2011中考預測題)如圖，點C是線段AB上的一個動點，AB＝1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個正方形的面積之和，下列判斷正確的是()A．當C是AB的中點時，S最小B．當C是AB的中點時，S最大C．當C為AB的三等分點時，S最小D．當C為AB的三等分點時，S最大2．(2011中考預測題)一賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團20人準備同時租用這三種客房共7間，且每個房間都住滿，租房方案有()A．4種B．3種C．2種D．1種3．如圖所示，AB為⊙O的直徑，DC⊥AB，現(xiàn)有的長方形長、寬分別為AC、CB，若要設計一個正方形，使其面積等于長方形面積，則正方形的邊長應為________．4．某乳制品廠，現(xiàn)有鮮牛奶10噸，若直接銷售，每噸可獲利500元；若制成酸奶銷售，每噸可獲利1200元；若制成奶粉銷售，每噸可獲利2000元．本工廠的生產(chǎn)能力是：若制成酸奶，每天可加工鮮牛奶3噸；若制成奶粉，每天可加工鮮牛奶1噸(兩種加工方式不能同時進行)．受氣溫條件限制，這批鮮牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完成．為此該廠設計了以下兩種可行方案：方案一：4天時間全部用來生產(chǎn)奶粉，其余直接銷售鮮奶；方案二：將一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．你認為哪種方案獲利最多，為什么？5．某校為迎接縣中學生籃球比賽，計劃購買A、B兩種籃球共20個供學生訓練使用．若購買A種籃球6個，則購買兩種籃球共需費用720元；若購買A種籃球12個，則購買兩種籃球共需費用840元．(1)求A、B兩種籃球單價各多少元？(2)若購買A種籃球不少于8個，所需費用總額不超過800元．請你按要求設計出所有供學校參考的購買方案，并分別計算出每種方案購買A、B兩種籃球的個數(shù)及所需費用．6．鄭老師想為希望小學四年級(3)班的同學購買學習用品，了解到某商店每個書包價格比每本詞典多8元，用124元恰好可以買到3個書包和2本詞典．(1)每個書包和每本詞典的價格各是多少元？(2)鄭老師計劃用1000元為全班40位學生每人購買一件學習用品(一個書包或一本詞典)后，余下不少于100元且不超過120元的錢購買體育用品．共有哪幾種購買書包和詞典的方案？7．(2011中考預測題)某乒乓球訓練館準備購買10副某種品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)個乒乓球，已知A、B兩家超市都有這個品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的標價都為20元，每個乒乓球的標價都為1元，現(xiàn)兩家超市正在促銷，A超市所有商品均打九折(按原價的90%付費)銷售，而B超市買1副乒乓球拍送3個乒乓球，若僅考慮購買球拍和乒乓球的費用，請解答下列問題：(1)如果只在某一家超市購買所需球拍和乒乓球，那么去A超市還是B超市更合算？(2)當x＝12時，請設計最省錢的購買方案．8．(2011中考預測題)甲、乙兩超市(大型商場)同時開業(yè)，為了吸引顧客，都舉行有獎酬賓活動：凡購物滿100元，均可得到一次摸獎的機會．在一個紙盒里裝有2個紅球和2個白球，除顏色外其他都相同，摸獎者一次從中摸出兩個球，根據(jù)球的顏色決定送禮金券(在他們超市使用時，與人民幣等值)的多少(如下表)．甲超市：乙超市：(1)用樹狀圖表示得到一次摸獎機會時中禮金券的所有情況；(2)如果只考慮中獎因素，你將會選擇去哪個超市購物？請說明理由．9．為了扶持農(nóng)民發(fā)展農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，國家對購買農(nóng)機的農(nóng)戶給予農(nóng)機售價13%的政府補貼．某市農(nóng)機公司籌集到資金130萬元，用于一次性購進A、B兩種型號的收割機共30臺．根據(jù)市場需求，這些收割機可以全部銷售，全部銷售后利潤不少于15萬元．其中，收割機的進價和售價見下表：設公司計劃購進A型收割機x臺，收割機全部銷售后公司獲得的利潤為y萬元．(1)試寫出y與x的函數(shù)關系式；(2)市農(nóng)機公司有哪幾種購進收割機的方案？(3)選擇哪種購進收割機的方案，農(nóng)機公司獲利最大？最大利潤是多少？此種情況下，購買這30種收割機的所有農(nóng)戶獲得的政府補貼總額W為多少萬元？10．(2011中考預測題)如圖，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角A、B、C、D處均種有一棵大核桃樹．田村準備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴大一倍，又想保持核桃樹不動，并要求擴建后的池塘成平行四邊形的形狀，請問田村能否實現(xiàn)這一設想？若能，請你設計并畫出圖形；若不能，請說明理由(畫圖要保留痕跡，不寫畫法)．11．某廠為新型號電視機上市舉辦促銷活動，顧客每購買一臺新型號電視機，可獲得一次抽獎機會，該廠擬按10%設大獎，其余90%設為小獎．廠家設計的抽獎方案是：在一個不透明的盒子中，放入10個黃球和90個白球，這些球除顏色外其他都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，摸到黃球的顧客獲得大獎，摸到白球的顧客獲得小獎．(1)廠家請教了一位數(shù)學老師，他設計的抽獎方案是：在一個不透明的盒子中，放入2個黃球和3個白球，這些球除顏色外其他都相同，攪勻后從中任意摸出2個球，摸到的2個球都是黃球的顧客獲得大獎，其余的顧客獲得小獎，該抽獎方案符合廠家的設獎要求嗎？請說明理由；(2)下圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，請你將轉(zhuǎn)盤分為2個扇形區(qū)域，分別涂上黃、白兩種顏色，并設計抽獎方案，使其符合廠家的設獎要求．(友情提醒：①在轉(zhuǎn)盤上用文字注明顏色和扇形的圓心角的度數(shù)；②結(jié)合轉(zhuǎn)盤簡述獲獎方式，不需說明理由)12.國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，某環(huán)保節(jié)能設備生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)品供不應求．若該企業(yè)的某種環(huán)保設備每月的產(chǎn)量保持在一定的范圍，每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元．已知這種設備的月產(chǎn)量x(套)與每套的售價y1(萬元)之間滿足關系式y(tǒng)1＝170－2x，月產(chǎn)量x(套)與生產(chǎn)總成本y2(萬元)存在如圖所示的函數(shù)關系．(1)直接寫出y2與x之間的函數(shù)關系式；(2)求月產(chǎn)量x的范圍；(3)當月產(chǎn)量x(套)為多少時，這種設備的利潤W(萬元)最大？最大利潤是多少？13.．某商場購進一批單價為50元的商品，規(guī)定銷售時單價不低于進價，每件的利潤不超過40%，其中銷售量y(件)與所售單價x(元)的關系可以近似的看作如圖所表示的一次函數(shù)．(1)求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出x的取值范圍；(2)設該公司獲得的總利潤(總利潤＝總銷售額－總成本)為W元，求W與x之間的函數(shù)關系式，當銷售單價為何值時，所獲利潤最大？最大利潤是多少？14．學校計劃用地面磚鋪設教學樓前矩形廣場的地面ABCD，已知矩形廣場地面的長為100米，寬為80米．圖案設計如圖所示：廣場的四角為小正方形，陰影部分為四個矩形，四個矩形的寬都為小正方形的邊長，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚．(1)要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，那么矩形廣場四角的小正方形的邊長為多少米？(2)如果鋪白色地面磚的費用為每平方米30元，鋪綠色地面磚的費用為每平方米20元，當廣場四角小正方形的邊長為多少米時，鋪廣場地面的總費用最少？最少費用是多少？

參考答案1.【解析】設AC＝x，則BC＝1－x，∴S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)，∴當x＝eq\f(1,2)時，S有最小值，此時C為AB的中點．【答案】A2.【解析】設租二人間x間，三人間y間，四人間z間，則2x＋3y＋4z＝20，且x＋y＋z＝7.解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，,z＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝2.))【答案】C3.【解析】連結(jié)AD、BD，因為AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.易證△ACD∽△DCB，得eq\f(AC,DC)＝eq\f(DC,CB)，即DC2＝AC·CB.故正方形的面積若等于長方形的面積，則邊長為DC.【答案】DC4.解：方案一獲利：4×2000＋(10－4)×500＝11000(元)．方案二中：設用x天來生產(chǎn)奶粉，則用(4－x)天生產(chǎn)酸奶，根據(jù)題意，得x＋3(4－x)＝10，∴x＝1,4－x＝3，即用1天來生產(chǎn)奶粉，3天生產(chǎn)酸奶，獲利為：1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．∴方案二獲利最多．5.解：(1)設A種籃球每個x元，B種籃球每個y元，依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋14y＝720，,12x＋8y＝840，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝30.))故A種籃球每個50元，B種籃球每個30元．(2)設購買A種籃球m個，則購買B種籃球(20－m)個．依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50m＋3020－m≤800，,m≥8.))解得8≤m≤10.∵籃球的個數(shù)必須為正整數(shù)，∴m只能取8、9、10.可分別設計出如下三種方案：方案①：當m＝8時，20－m＝12,50×8＋30×12＝760(元)，即購買A種籃球8個，B種籃球12個，費用共計760元；方案②：當m＝9時，20－m＝11,50×9＋30×11＝780(元)，即購買A種籃球9個，B種籃球11個，費用共計780元；方案③：當m＝10時，20－m＝10,50×10＋30×10＝800(元)．即購買A種籃球10個，B種籃球10個，費用共計800元．6.解：(1)設每個書包的價格為x元，則每本詞典的價格為(x－8)元，根據(jù)題意，得3x＋2(x－8)＝124.解得x＝28，∴x－8＝20.答：每個書包的價格為28元，每本詞典的價格為20元(2)設購買書包y個，則購買詞典(40－y)本，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1000－[28y＋2040－y]≥100，,1000－[28y＋2040－y]≤120.))解得10≤y≤12.5.因為y取整數(shù)，所以y的值為10或11或12.所以有三種購買方案，分別是：①書包10個，詞典30本；②書包11個，詞典29本；③書包12個，詞典28本．7.解：(1)去A超市購買所需費用yA＝0.9(20×10＋10x)，即yA＝9x＋180.去B超市購買所需費用yB＝20×10＋10(x－3)，即yB＝10x＋170.當yA<yB時，即9x＋180<10x＋170，x>10；當yA＝y(tǒng)B時，即9x＋180＝10x＋170，x＝10；當yA>yB時，即9x＋180>10x＋170，x<10.綜上所述：當x>10時，去A超市購買更合算；當x＝10時，去A超市或B超市購買一樣；當3≤x<10時，去B超市購買更合算．(2)當x＝12時，即購買10副球拍應配120個乒乓球．若只去A超市購買的費用為：9x＋180＝9×12＋180＝288(元)．若在B超市購買10副球拍，去A超市購買余下的乒乓球的費用為：200＋0.9×(12－3)×10＝281(元)．∵281<288，∴最佳方案為：只在B超市購買10副球拍，同時獲得送30個乒乓球，然后去A超市按九折購買90個乒乓球．8.解：(1)畫樹狀圖為：(2)∵去甲超市購物摸一次獎獲10元禮金券的概率P(甲)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，去乙超市購物摸一次獎獲10元禮金券的概率P(乙)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).∴我選擇去甲超市購物．9.解：(1)y＝(6－5.3)x＋(4－3.6)(30－x)＝0.3x＋12.(2)依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5.3x＋30－x×3.6≤130，,0.3x＋12≥15.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤12\f(16,17),x≥10))，∴10≤x≤12eq\f(16,17).∵x為整數(shù)，∴x＝10或11或12.即農(nóng)機公司有三種購進收割機的方案，方案1：購A型收割機10臺，購B型收割機20臺；方案2：購A型收割機11臺，購B型收割機19臺；方案3：購A型收割機12臺，購B型收割機18臺．(3)∵0.3>0，∴一次函數(shù)y隨x的增大而增大．即當x＝12時，y有最大值，y最大＝0.3×12＋12＝15.6.此時，W＝6×13%×12＋4×13%×18＝18.72(萬元)．10解：能連結(jié)BD、AC，過點A、C分別作BD的平行線，過點B、D分別作AC的平行線，如圖，所得的四邊形為平行四邊形，且面積擴大一倍．11.解：(1)該抽獎方案符合廠家的設獎要求．分別用黃1、黃2、白1、白2、白3表示這5個球．從中任意摸出2個球，可能出現(xiàn)的結(jié)果分別有：(黃1，黃2)、(黃1，白1)、(黃1，白2)、(黃1，白3)、(黃2，白1)、(黃2，白2)、(黃2，白3)、(白1，白2)、(白1，白3)、(白2，白3)，共有10種，它們出現(xiàn)的可能性相同．所有的結(jié)果中，滿足摸到2個球都是黃球(記為事件A)的結(jié)果有1種，即(黃1，黃2)，所以PA＝eq\f(1,10)，即顧客獲得大獎的概率為eq\f(1,10)，獲得小獎的概率為eq\f(9,10).(2)本題答案不唯一，下列解法僅供參考．如圖，將轉(zhuǎn)盤中圓心角為36°的扇形區(qū)域涂上黃色，其余的區(qū)域涂上白色．顧客每購買一臺該型號電視機，可獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，任意轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向黃色區(qū)域獲得大獎，指向白色區(qū)域獲得小12.解(1)y2＝500＋30x(2)依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(500＋30x≤50x,170－2x≥90))，解得25≤x≤40.(3)W＝x·y1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x2＋140x－500＝－2(x－35)2＋1950.∵25<35<40，∴當x＝35時，W最大＝1950.故月產(chǎn)量為35套時，利潤最大，最大利潤為1950萬元．13.解：(1)設y＝kx＋b，把(60,400)和(70,300)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60k＋b＝400，,70k＋b＝300，))解得eq\b\lc\{\rc\(\