專題訓(xùn)練：方案設(shè)計(jì)

1/10專題訓(xùn)練：方案設(shè)計(jì)1．(2011中考預(yù)測題)如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB＝1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個(gè)正方形的面積之和，下列判斷正確的是()A．當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，S最小B．當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，S最大C．當(dāng)C為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最小D．當(dāng)C為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，S最大2．(2011中考預(yù)測題)一賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團(tuán)20人準(zhǔn)備同時(shí)租用這三種客房共7間，且每個(gè)房間都住滿，租房方案有()A．4種B．3種C．2種D．1種3．如圖所示，AB為⊙O的直徑，DC⊥AB，現(xiàn)有的長方形長、寬分別為AC、CB，若要設(shè)計(jì)一個(gè)正方形，使其面積等于長方形面積，則正方形的邊長應(yīng)為________．4．某乳制品廠，現(xiàn)有鮮牛奶10噸，若直接銷售，每噸可獲利500元；若制成酸奶銷售，每噸可獲利1200元；若制成奶粉銷售，每噸可獲利2000元．本工廠的生產(chǎn)能力是：若制成酸奶，每天可加工鮮牛奶3噸；若制成奶粉，每天可加工鮮牛奶1噸(兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行)．受氣溫條件限制，這批鮮牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完成．為此該廠設(shè)計(jì)了以下兩種可行方案：方案一：4天時(shí)間全部用來生產(chǎn)奶粉，其余直接銷售鮮奶；方案二：將一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．你認(rèn)為哪種方案獲利最多，為什么？5．某校為迎接縣中學(xué)生籃球比賽，計(jì)劃購買A、B兩種籃球共20個(gè)供學(xué)生訓(xùn)練使用．若購買A種籃球6個(gè)，則購買兩種籃球共需費(fèi)用720元；若購買A種籃球12個(gè)，則購買兩種籃球共需費(fèi)用840元．(1)求A、B兩種籃球單價(jià)各多少元？(2)若購買A種籃球不少于8個(gè)，所需費(fèi)用總額不超過800元．請你按要求設(shè)計(jì)出所有供學(xué)校參考的購買方案，并分別計(jì)算出每種方案購買A、B兩種籃球的個(gè)數(shù)及所需費(fèi)用．6．鄭老師想為希望小學(xué)四年級(jí)(3)班的同學(xué)購買學(xué)習(xí)用品，了解到某商店每個(gè)書包價(jià)格比每本詞典多8元，用124元恰好可以買到3個(gè)書包和2本詞典．(1)每個(gè)書包和每本詞典的價(jià)格各是多少元？(2)鄭老師計(jì)劃用1000元為全班40位學(xué)生每人購買一件學(xué)習(xí)用品(一個(gè)書包或一本詞典)后，余下不少于100元且不超過120元的錢購買體育用品．共有哪幾種購買書包和詞典的方案？7．(2011中考預(yù)測題)某乒乓球訓(xùn)練館準(zhǔn)備購買10副某種品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)個(gè)乒乓球，已知A、B兩家超市都有這個(gè)品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)都為20元，每個(gè)乒乓球的標(biāo)價(jià)都為1元，現(xiàn)兩家超市正在促銷，A超市所有商品均打九折(按原價(jià)的90%付費(fèi))銷售，而B超市買1副乒乓球拍送3個(gè)乒乓球，若僅考慮購買球拍和乒乓球的費(fèi)用，請解答下列問題：(1)如果只在某一家超市購買所需球拍和乒乓球，那么去A超市還是B超市更合算？(2)當(dāng)x＝12時(shí)，請?jiān)O(shè)計(jì)最省錢的購買方案．8．(2011中考預(yù)測題)甲、乙兩超市(大型商場)同時(shí)開業(yè)，為了吸引顧客，都舉行有獎(jiǎng)酬賓活動(dòng)：凡購物滿100元，均可得到一次摸獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)．在一個(gè)紙盒里裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，除顏色外其他都相同，摸獎(jiǎng)?wù)咭淮螐闹忻鰞蓚€(gè)球，根據(jù)球的顏色決定送禮金券(在他們超市使用時(shí)，與人民幣等值)的多少(如下表)．甲超市：乙超市：(1)用樹狀圖表示得到一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)時(shí)中禮金券的所有情況；(2)如果只考慮中獎(jiǎng)因素，你將會(huì)選擇去哪個(gè)超市購物？請說明理由．9．為了扶持農(nóng)民發(fā)展農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，國家對購買農(nóng)機(jī)的農(nóng)戶給予農(nóng)機(jī)售價(jià)13%的政府補(bǔ)貼．某市農(nóng)機(jī)公司籌集到資金130萬元，用于一次性購進(jìn)A、B兩種型號(hào)的收割機(jī)共30臺(tái)．根據(jù)市場需求，這些收割機(jī)可以全部銷售，全部銷售后利潤不少于15萬元．其中，收割機(jī)的進(jìn)價(jià)和售價(jià)見下表：設(shè)公司計(jì)劃購進(jìn)A型收割機(jī)x臺(tái)，收割機(jī)全部銷售后公司獲得的利潤為y萬元．(1)試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)市農(nóng)機(jī)公司有哪幾種購進(jìn)收割機(jī)的方案？(3)選擇哪種購進(jìn)收割機(jī)的方案，農(nóng)機(jī)公司獲利最大？最大利潤是多少？此種情況下，購買這30種收割機(jī)的所有農(nóng)戶獲得的政府補(bǔ)貼總額W為多少萬元？10．(2011中考預(yù)測題)如圖，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個(gè)角A、B、C、D處均種有一棵大核桃樹．田村準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴(kuò)大一倍，又想保持核桃樹不動(dòng)，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形的形狀，請問田村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請你設(shè)計(jì)并畫出圖形；若不能，請說明理由(畫圖要保留痕跡，不寫畫法)．11．某廠為新型號(hào)電視機(jī)上市舉辦促銷活動(dòng)，顧客每購買一臺(tái)新型號(hào)電視機(jī)，可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，該廠擬按10%設(shè)大獎(jiǎng)，其余90%設(shè)為小獎(jiǎng)．廠家設(shè)計(jì)的抽獎(jiǎng)方案是：在一個(gè)不透明的盒子中，放入10個(gè)黃球和90個(gè)白球，這些球除顏色外其他都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到黃球的顧客獲得大獎(jiǎng)，摸到白球的顧客獲得小獎(jiǎng)．(1)廠家請教了一位數(shù)學(xué)老師，他設(shè)計(jì)的抽獎(jiǎng)方案是：在一個(gè)不透明的盒子中，放入2個(gè)黃球和3個(gè)白球，這些球除顏色外其他都相同，攪勻后從中任意摸出2個(gè)球，摸到的2個(gè)球都是黃球的顧客獲得大獎(jiǎng)，其余的顧客獲得小獎(jiǎng)，該抽獎(jiǎng)方案符合廠家的設(shè)獎(jiǎng)要求嗎？請說明理由；(2)下圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，請你將轉(zhuǎn)盤分為2個(gè)扇形區(qū)域，分別涂上黃、白兩種顏色，并設(shè)計(jì)抽獎(jiǎng)方案，使其符合廠家的設(shè)獎(jiǎng)要求．(友情提醒：①在轉(zhuǎn)盤上用文字注明顏色和扇形的圓心角的度數(shù)；②結(jié)合轉(zhuǎn)盤簡述獲獎(jiǎng)方式，不需說明理由)12.國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟(jì)”政策后，某環(huán)保節(jié)能設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)品供不應(yīng)求．若該企業(yè)的某種環(huán)保設(shè)備每月的產(chǎn)量保持在一定的范圍，每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價(jià)不低于90萬元．已知這種設(shè)備的月產(chǎn)量x(套)與每套的售價(jià)y1(萬元)之間滿足關(guān)系式y(tǒng)1＝170－2x，月產(chǎn)量x(套)與生產(chǎn)總成本y2(萬元)存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系．(1)直接寫出y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求月產(chǎn)量x的范圍；(3)當(dāng)月產(chǎn)量x(套)為多少時(shí)，這種設(shè)備的利潤W(萬元)最大？最大利潤是多少？13.．某商場購進(jìn)一批單價(jià)為50元的商品，規(guī)定銷售時(shí)單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)，每件的利潤不超過40%，其中銷售量y(件)與所售單價(jià)x(元)的關(guān)系可以近似的看作如圖所表示的一次函數(shù)．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；(2)設(shè)該公司獲得的總利潤(總利潤＝總銷售額－總成本)為W元，求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，所獲利潤最大？最大利潤是多少？14．學(xué)校計(jì)劃用地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓前矩形廣場的地面ABCD，已知矩形廣場地面的長為100米，寬為80米．圖案設(shè)計(jì)如圖所示：廣場的四角為小正方形，陰影部分為四個(gè)矩形，四個(gè)矩形的寬都為小正方形的邊長，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色地面磚．(1)要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，那么矩形廣場四角的小正方形的邊長為多少米？(2)如果鋪白色地面磚的費(fèi)用為每平方米30元，鋪綠色地面磚的費(fèi)用為每平方米20元，當(dāng)廣場四角小正方形的邊長為多少米時(shí)，鋪廣場地面的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？

參考答案1.【解析】設(shè)AC＝x，則BC＝1－x，∴S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)，∴當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，S有最小值，此時(shí)C為AB的中點(diǎn)．【答案】A2.【解析】設(shè)租二人間x間，三人間y間，四人間z間，則2x＋3y＋4z＝20，且x＋y＋z＝7.解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，,z＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝2.))【答案】C3.【解析】連結(jié)AD、BD，因?yàn)锳B為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.易證△ACD∽△DCB，得eq\f(AC,DC)＝eq\f(DC,CB)，即DC2＝AC·CB.故正方形的面積若等于長方形的面積，則邊長為DC.【答案】DC4.解：方案一獲利：4×2000＋(10－4)×500＝11000(元)．方案二中：設(shè)用x天來生產(chǎn)奶粉，則用(4－x)天生產(chǎn)酸奶，根據(jù)題意，得x＋3(4－x)＝10，∴x＝1,4－x＝3，即用1天來生產(chǎn)奶粉，3天生產(chǎn)酸奶，獲利為：1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．∴方案二獲利最多．5.解：(1)設(shè)A種籃球每個(gè)x元，B種籃球每個(gè)y元，依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋14y＝720，,12x＋8y＝840，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝30.))故A種籃球每個(gè)50元，B種籃球每個(gè)30元．(2)設(shè)購買A種籃球m個(gè)，則購買B種籃球(20－m)個(gè)．依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50m＋3020－m≤800，,m≥8.))解得8≤m≤10.∵籃球的個(gè)數(shù)必須為正整數(shù)，∴m只能取8、9、10.可分別設(shè)計(jì)出如下三種方案：方案①：當(dāng)m＝8時(shí)，20－m＝12,50×8＋30×12＝760(元)，即購買A種籃球8個(gè)，B種籃球12個(gè)，費(fèi)用共計(jì)760元；方案②：當(dāng)m＝9時(shí)，20－m＝11,50×9＋30×11＝780(元)，即購買A種籃球9個(gè)，B種籃球11個(gè)，費(fèi)用共計(jì)780元；方案③：當(dāng)m＝10時(shí)，20－m＝10,50×10＋30×10＝800(元)．即購買A種籃球10個(gè)，B種籃球10個(gè)，費(fèi)用共計(jì)800元．6.解：(1)設(shè)每個(gè)書包的價(jià)格為x元，則每本詞典的價(jià)格為(x－8)元，根據(jù)題意，得3x＋2(x－8)＝124.解得x＝28，∴x－8＝20.答：每個(gè)書包的價(jià)格為28元，每本詞典的價(jià)格為20元(2)設(shè)購買書包y個(gè)，則購買詞典(40－y)本，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1000－[28y＋2040－y]≥100，,1000－[28y＋2040－y]≤120.))解得10≤y≤12.5.因?yàn)閥取整數(shù)，所以y的值為10或11或12.所以有三種購買方案，分別是：①書包10個(gè)，詞典30本；②書包11個(gè)，詞典29本；③書包12個(gè)，詞典28本．7.解：(1)去A超市購買所需費(fèi)用yA＝0.9(20×10＋10x)，即yA＝9x＋180.去B超市購買所需費(fèi)用yB＝20×10＋10(x－3)，即yB＝10x＋170.當(dāng)yA<yB時(shí)，即9x＋180<10x＋170，x>10；當(dāng)yA＝y(tǒng)B時(shí)，即9x＋180＝10x＋170，x＝10；當(dāng)yA>yB時(shí)，即9x＋180>10x＋170，x<10.綜上所述：當(dāng)x>10時(shí)，去A超市購買更合算；當(dāng)x＝10時(shí)，去A超市或B超市購買一樣；當(dāng)3≤x<10時(shí)，去B超市購買更合算．(2)當(dāng)x＝12時(shí)，即購買10副球拍應(yīng)配120個(gè)乒乓球．若只去A超市購買的費(fèi)用為：9x＋180＝9×12＋180＝288(元)．若在B超市購買10副球拍，去A超市購買余下的乒乓球的費(fèi)用為：200＋0.9×(12－3)×10＝281(元)．∵281<288，∴最佳方案為：只在B超市購買10副球拍，同時(shí)獲得送30個(gè)乒乓球，然后去A超市按九折購買90個(gè)乒乓球．8.解：(1)畫樹狀圖為：(2)∵去甲超市購物摸一次獎(jiǎng)獲10元禮金券的概率P(甲)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，去乙超市購物摸一次獎(jiǎng)獲10元禮金券的概率P(乙)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).∴我選擇去甲超市購物．9.解：(1)y＝(6－5.3)x＋(4－3.6)(30－x)＝0.3x＋12.(2)依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5.3x＋30－x×3.6≤130，,0.3x＋12≥15.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤12\f(16,17),x≥10))，∴10≤x≤12eq\f(16,17).∵x為整數(shù)，∴x＝10或11或12.即農(nóng)機(jī)公司有三種購進(jìn)收割機(jī)的方案，方案1：購A型收割機(jī)10臺(tái)，購B型收割機(jī)20臺(tái)；方案2：購A型收割機(jī)11臺(tái)，購B型收割機(jī)19臺(tái)；方案3：購A型收割機(jī)12臺(tái)，購B型收割機(jī)18臺(tái)．(3)∵0.3>0，∴一次函數(shù)y隨x的增大而增大．即當(dāng)x＝12時(shí)，y有最大值，y最大＝0.3×12＋12＝15.6.此時(shí)，W＝6×13%×12＋4×13%×18＝18.72(萬元)．10解：能連結(jié)BD、AC，過點(diǎn)A、C分別作BD的平行線，過點(diǎn)B、D分別作AC的平行線，如圖，所得的四邊形為平行四邊形，且面積擴(kuò)大一倍．11.解：(1)該抽獎(jiǎng)方案符合廠家的設(shè)獎(jiǎng)要求．分別用黃1、黃2、白1、白2、白3表示這5個(gè)球．從中任意摸出2個(gè)球，可能出現(xiàn)的結(jié)果分別有：(黃1，黃2)、(黃1，白1)、(黃1，白2)、(黃1，白3)、(黃2，白1)、(黃2，白2)、(黃2，白3)、(白1，白2)、(白1，白3)、(白2，白3)，共有10種，它們出現(xiàn)的可能性相同．所有的結(jié)果中，滿足摸到2個(gè)球都是黃球(記為事件A)的結(jié)果有1種，即(黃1，黃2)，所以PA＝eq\f(1,10)，即顧客獲得大獎(jiǎng)的概率為eq\f(1,10)，獲得小獎(jiǎng)的概率為eq\f(9,10).(2)本題答案不唯一，下列解法僅供參考．如圖，將轉(zhuǎn)盤中圓心角為36°的扇形區(qū)域涂上黃色，其余的區(qū)域涂上白色．顧客每購買一臺(tái)該型號(hào)電視機(jī)，可獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向黃色區(qū)域獲得大獎(jiǎng)，指向白色區(qū)域獲得小12.解(1)y2＝500＋30x(2)依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(500＋30x≤50x,170－2x≥90))，解得25≤x≤40.(3)W＝x·y1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x2＋140x－500＝－2(x－35)2＋1950.∵25<35<40，∴當(dāng)x＝35時(shí)，W最大＝1950.故月產(chǎn)量為35套時(shí)，利潤最大，最大利潤為1950萬元．13.解：(1)設(shè)y＝kx＋b，把(60,400)和(70,300)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60k＋b＝400，,70k＋b＝300，))解得eq\b\lc\{\rc\(\