【數(shù)學(xué)】四川省廣安市2024屆高三一模試題（理）（解析版）

四川省廣安市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）一?選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則.故選：B.2.復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】，則，故選：C.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為2023，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；由以上可知，第次循環(huán)：；當(dāng)時(shí)，一直循環(huán)，所以由，且，解得；因此，第506次循環(huán)：，即，則，輸出.故選：D.4.甲、乙兩個(gè)口袋中均裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩口袋中隨機(jī)取一個(gè)球交換放入另一口袋，則甲口袋的三個(gè)球中恰有兩個(gè)白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知：若甲口袋的三個(gè)球中恰有兩個(gè)白球，則從甲袋中取出的球?yàn)楹谇?，乙袋中取出的球?yàn)楹谇颍驈募状腥〕龅那驗(yàn)榘浊?，乙袋中取出的球?yàn)榘浊?，所以甲口袋的三個(gè)球中恰有兩個(gè)白球的概率為.故選：B.5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，解得，所以.故選：C.6.如圖，正方形的邊長為4，E為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.5【答案】D【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，因?yàn)?，即，解得，即，所?故選：D.7.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則當(dāng)，可得，為最大值，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即充分性成立；若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，解得，不一定成立，即必要性不成立；綜上所述：“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件.故選：A.8.已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，的面積為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，故，則，所以，則，所以，所以，所以的方程為.故選：B.9.甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有五個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，則4個(gè)學(xué)校中至少有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（）A.420 B.460 C.480 D.520【答案】C【解析】求不相同的選擇種數(shù)有兩類辦法：恰有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不同有種方法，4個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地都不相同有種方法，所以不相同的選擇種數(shù)有（種）.故選：C10.若點(diǎn)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，直線為點(diǎn)處的切線，則直線傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)中，，即，設(shè)點(diǎn)，求導(dǎo)得，由，得，即，因此函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率，顯然直線的傾斜角為鈍角，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C11.如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)與平面所成角為，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，不妨設(shè)，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，綜上所述，的最小值是.故選：A.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)．為上一點(diǎn)，且軸，直線與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨令點(diǎn)在第一象限，設(shè)，因?yàn)?，在中，則，即，所以，在中，則，即，所以，在中，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即的離心率為.故選：B.二?填空題13.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________．【答案】11【解析】由約束條件，畫出可行域，如圖：令，化為斜截式方程得，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大.由得，即.所以點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)可得最大值，即最大值為.故答案為：11.14.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：________．①偶函數(shù)；②最大值為2；③最小正周期是．【答案】（答案不唯一）【解析】例如，可知其定義域?yàn)?，則，即為偶函數(shù)；顯然的最大值為2；且的最小正周期為；所以符合題意.故答案為：（答案不唯一）.15.在正四棱臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球與該四棱臺(tái)每個(gè)面都相切（稱為該四棱臺(tái)的內(nèi)切球），若，則該四棱臺(tái)的外接球（四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在球面上）與內(nèi)切球的半徑之比為________．【答案】【解析】根據(jù)題意，該正棱臺(tái)的軸截面，如圖：由題意，由知，由圓的切線長性質(zhì)可知，所以，所以，所以該四棱臺(tái)的內(nèi)切球的半徑為，下面畫出正四棱臺(tái)，連接,，交于點(diǎn),連接,，交于點(diǎn)，如圖，由可得,，，設(shè)外接球的半徑為，，則，由得，解得，于是，則.所以.故答案為：.16.若點(diǎn)為的重心，，則________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椴还簿€且，所以，所以，由正弦定理可得，不妨設(shè)，則.故答案為：.三?解答題（一）必考題17.某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計(jì)并試運(yùn)行了甲、乙兩條生產(chǎn)線．現(xiàn)對(duì)這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取了300件進(jìn)行測(cè)評(píng)，并將測(cè)評(píng)結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：良優(yōu)合計(jì)甲生產(chǎn)線4080120乙生產(chǎn)線80100180合計(jì)120180300（1）通過計(jì)算判斷，是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？（2）現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步分析，在測(cè)評(píng)結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品．若在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求這3件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的件數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中．解：（1），所以有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系.（2）在測(cè)評(píng)結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，則應(yīng)在甲生產(chǎn)線抽取件產(chǎn)品，在乙生產(chǎn)線抽取件產(chǎn)品，由題意可知：，則：，可得的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望.18.已知數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且________．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，若選①：因?yàn)?，則，解得，所以；若選②：因?yàn)椋瑒t，解得，所以.（2）由（1）可得：，所以.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．（1）求；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，，由消去x并整理得，顯然，于是，所以.（2）由（1）知，假定存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立，由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)在x軸上，設(shè)，則直線的斜率互為相反數(shù)，即，即，整理得，即，亦即，而不恒為0，則，所以存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立，點(diǎn)的坐標(biāo)為.20.如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面．（1）求證：；（2）若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：在三棱柱中，由平面，平面，得，在平面內(nèi)過作于，由平面平面，平面平面，得平面，而平面，則有，顯然平面，因此平面，又平面，所以（2）解：過點(diǎn)作，由，得，由（1）知平面，平面，則，即直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，假定在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，令，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，顯然平面的一個(gè)法向量，依題意，，解得，即，所以在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，.21.已知函數(shù)（其中為實(shí)數(shù)）．（1）若，證明：；（2）探究在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．（1）證明：若，，則，令，則，因，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，故存在，使得，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以；（2）解：，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（零點(diǎn)兩邊異號(hào)），因?yàn)?，所以不是函?shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，令，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，所以函數(shù)在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩邊異號(hào)，所以函數(shù)在上有個(gè)極值點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有個(gè)極值點(diǎn).（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（其中），曲線（為參數(shù)，），曲線（t為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線與分別交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．解：（1）因?yàn)榍€（其中），且，所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）由題意可知：曲線（為參數(shù)，）表示過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線，所以曲線的極坐標(biāo)方程為；曲線（t為參數(shù)，），即，表示過坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線，所以曲線的極坐標(biāo)