高中數(shù)學高考沖刺綜合復習練習題

高中數(shù)學高考沖刺綜合復習練習題

平面向量的數(shù)量積

1.a=(2,3),b=(—1,—1),則a?6=()

A.IB.-IC.-5D.5

2.已知向量&=(2,1),b=(—1,A),a?(2a—6)=0,則4=()

A.-12B.-6C.6D.12

3.已知向量a=10,且|6=12,且60,則向量a與6的夾

角為()

A.60°B.120°C.135°D.150°

4.若a=(2,3),b=(—4,7),則a在6方向上的投影為()

A/65r—J13r—

A.千B.q65C.^-D.qi3

oo

5.平面向量a與力的夾角為60°,a=(2,0),\b=1,則a?8=

6.半圓的直徑48=4,。為圓心，。是半圓上不同于/、8的任意一

點，若夕為半徑3的中點，則（為+陽?無的值是（）

A.-2B.-IC.2D.無法確定，與。點位置有關

7.設a,6是非零向量，若函數(shù)f（x）=（xa+6）-（a—耘）的圖象是一

條直線，則必有（）

A.a_L6B.a//bC.a\=Z?D.a\^\b

8.已知兩不共線向量a=(cosa,sina),b=(cosJ3,sin￡),則下

列說法不下爭的是()

A.(a+Z?)_L(a—6)B.a與6的夾角等于a—8

C.a~\-b+a—b\>2D.a與6在a+6方向上的投影相等

9.已知向量a,右均為單位向量，若它們的夾角是60。，則1a—3〃等

于.

10.已知a、b、c都是單位向量，且a+b=c,則的值為

________?

11.△板三頂點坐標為4(1,0),8(0,2),0(0,0),P(x,力是坐標平

面內一點，滿足蘇?為W0,帝?宓》0,則9?碉最小值為

________?

12.(13分)已知|印=隹，|引=3,a與6夾角為45°,求使a+Ab

與Aa+6的夾角為鈍角時，4的取值范圍.

13.(12分)在△18。中，角4B,。對應的邊分別為a,b,c,若

油?充=應?充=2,求c的值.

1.已知向量a,8滿足a，4|a|=l,|引=2,貝”2&—引=()

A.0B.2隹C.4D.8

2.已知a=(l,0),b=[x,1),若a?b=小,則x的值為()

A.A/2B.2A/2C.^3-1D.^3

3已知a|=2,6是單位向量，且a與6夾角為60。，則a?（a—6）等

于（）

A.IB.2-A/3C.3D.4一而

4.已知向量a,6滿足（a+26）,（a—6）=—6,且|a=1,b\=2,

則a與右的夾角為.

能力提升

5.在a中，NC=90°,4C=4,則油?充等于（）

A.-16B.-8C.8D.16

6.已知a=（l,sii?x）,b=（2,sin2x）,其中x￡（0,n）.若|a?，|

—\a\\b\,則tanx的值等于（）

A.IB.-IC.小D.?

乙

7.若兩個非零向量a,b滿足|a+6|=|a—引=2|a|,則向量a+6與

a—6的夾角是（）

JIJI2Ji5n

A.-B.-7rC.f-D.一^

b336

8.若非零向量a,6滿足|a+引=|引，貝>］（|

A.12al>|2a+6|B.12a|<12a+Z>|C.|2->|a+2b|D.\2b\<\a+2b\

9.已知|H|=|6=2,（&+2b）?（&—■）=—2,則&與6的夾角為

10在邊長為1的正三角形4%中，設求-2初，需=3出則初?詼=

筋赤1

11.在△/%中，已知——十——工攻,且加?充=娟花?I充I,貝1]

|祖|屈2

△/仇?的形狀是.

12.（13分）已知直角梯形/靦中，AD//BC,ZADC=9Q°,AD=2,BC

=1,尸是腰加上的動點，求|9+3/|的最小值.

13.（12分）如圖K25—1,梯形力物中，AD//BC,ADA.AB,=1,BC

=2,AB=3,尸是理上的一個動點，當初?蘇!取最小值時，求tanN

DPA的值.

圖K25-1

正弦定理和余弦定理

1.已知銳角△48。的面積為隊內，BC=4,0=3,則角。的大小為

（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

2.在△49C中，若25行加:111康005（8—/）,則△49C的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

3.在△48。中，下列關系式①asin4=6sin/；②a=Z?cosC+ccos8；③

a2+Z?2—c=2abcosC；?b=csinJ+asin^一定成立的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.已知a,b,c分別是△/%的三個內角4,B,。所對的邊，若&=

1,b=小,且8是/與。的等差中項，則sin/=.

5.在中，a=/+l,b=\[3~l,°=而，則C=（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

JT

6.在%中，B=—,三邊長a,b,c成等差數(shù)列，且ac=6,則6

o

的值是（）

A.^2B.^3C.洞.道

7.在銳角回中，角/、B、。的對邊分別為a、b、c,若（才+/一

b2）tanB=\[3ac,則角夕的值為（）

JIJIJTJI

A?yC.TD.y

8.在△力打。中，a,b,。分別是角4B,。所對的邊，若（小6—

c）cosA^acosC,貝（!cos力（）

9.已知△/回三邊長分別為a,b,。且3+//—<?=aS,則C=

10.已知a,b,c分別是'的三個內角4B,。所對的邊，若才一

b'=-\[3bc,sir\C=2\[3sinB,則A=.

11.△/回的三內角4B,。所對邊長分別是a,b,c,設向量卬=（a

+5,sin。，n=（ma+c,sin/?—sinJ）,若必〃〃，則角夕的大小為

12.（13分）設△力8C的內角/、B、。所對的邊分別為a、b、c,已知a

1

1,2cos

94

(1)求的周長；

(2)求cos(A—0的值.

13.(12分)在阿中，角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足

csin4=acosC

(1)求角。的大小；

(2)求/si"—cos月+寧的最大值，并求取得最大值時角46的大

小.

解三角形的應用

1.以觀測者的位置作為原點，東、南、西、北四個方向把平面分成四

個象限，以正北方向線為始邊，按順時針方向旋轉280。到目標方向

線，則目標方向線的位置在觀測者的()

A.北偏東80°B.東偏北80°C.北偏西80°D.西偏北80°

2.從4處望6處的仰角為a、從夕處望/處的俯角為8,則。與￡

的關系為()

A.a〉BB.a=￡C.a+8=90°D.。+￡=120°

3.如圖K28—1,為了測量隧道口48的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，計

算時應當用數(shù)據(jù)()

b

圖K28-1

A.a,a,SB.a,￡,aC.a,b,yD.a,B,b

4.如圖K28—2,已知兩座燈塔/和8與海洋觀察站C的距離都等于

akm,燈塔力在觀察站。的北偏東20°方向上，燈塔8在觀察站。的南

偏東40。方向上，則燈塔/與燈塔耳的距離為()

圖K28-2

5.某人向正東方向走雙m后，向右轉150。，然后朝新的方向走了

3km,結果他離出發(fā)點恰好為小km,則x=()

A.#B.2m或4D.3

6.為測量某塔48的高度，在一幢與塔48相距20m的樓頂處測得塔頂

力的仰角為30°,測得塔基夕的俯角為45°,那么塔力耳的高度是

A.201+mB.2014mC.20(1+A/3)mD

7.一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔月的南偏西75°

距燈塔68海里的〃處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則

這只船的航行速度為（）

A.17乎海里/小時B.34m海里/小時C.但海里/小時D.34班海里

乙乙

/小時

8.飛機從甲地以北偏西15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地

以南偏東75°的方向飛行1400km到達丙地，那么丙地到甲地距離為

（）

A.1400kmB.TOO^kmC.700A/3kmD.1400也km

9.[四川卷]在中，sinMWsin^+sinZ—sinBsinC,則/的取

值范圍是（）

、

‘J："IrJT]（JIJT

A.0,—fe.-,冗C.0,-D.—JI

I6r[6JI3J3，7

10.某艦艇在/處測得遇險漁船在北偏東45。距離為10海里的。處，

此時得知，該漁船正沿南偏東75。方向，以每小時9海里的速度向一

小島靠近，艦艇時速21海里，則艦艇到達漁船的最短時間是

圖K28-3

11.如圖K28—3,海岸線上有相距5海里的兩座燈塔4,B,燈塔8位

于燈塔/的正南方向.海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔4的北偏

西75°方向，與4相距3g海里的〃處；乙船位于燈塔夕的北偏西

60°方向，與夕相距5海里的。處.則甲、乙兩艘輪船之間的距離為

________海里.

12.在△力夕中，。為坐標原點，/（I,cos0},8（sin。，1）,

/1

IT

0,—,則△以8的面積達到最大值時，0=.

JI

13.△/回中，A=~,BC=3,則的周長為（用8表

O

示）.

14.（10分）［惠州三模］如圖K28—4,某河段的兩岸可視為平行,為了

測量該河段的寬度，在河的一邊選取兩點4B,觀察對岸的點C,測

得/。夕=75°,ZCBA=45°,且48=100米.

（1）求sin75°；

（2）求該河段的寬度.

AB

圖K28-4

15.（13分）在△力抗?中，已知角4,B,。的對邊分別是a,b,c,且,

+6?—c2—

（1）求角。的大?。?/p>

2j［力

（2）如果0C4Wk，T77=2cos2--sin^-l,求實數(shù)"的取值范圍.

16.（12分）如圖K28—5,在山腳力測得山頂尸的仰角為a,沿傾斜角

為￡的斜坡向上走a米到8,在8處測得山頂〃的仰角為人試借助

.—asinasiny—8

圖中的輔助線，求證:山商h=

siny—a

圖K28-5

數(shù)列的概念與簡單表示法

1.設數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,且S=2（a「1）,則為=（）

A.8B.4C.2D.1

2.［福州一模］把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這

些數(shù)目的點子可以排成一個正三角形（如圖K29-1所示），則第七個三

角形數(shù)是（）

八

?X\

八八、八'\\/、、?、\\

1361015

圖K29-1

A.27B.28C.29D.30

3.設數(shù)列｛a｝的前〃項和S,=（〃-1）2,則4+&0=（）

A.16B.24C.32D.48

4.已知數(shù)列｛4｝的前4項為1,3,7,15,寫出數(shù)列｛4｝的一個通項公式

能力提升

5.已知數(shù)列、后，小，3,平，…,則?是該數(shù)列的（）

A.第6項B.第7項C.第9項D.第11項

6.已知數(shù)列｛品｝的前〃項和S=//—16〃，第A項滿足6＜為＜9,貝］A=

A.13B.12C.10D.9

7.設數(shù)列｛a〃｝的通項公式為a〃=20—4〃，前〃項和為S,則S中最大

的是（）

A.SB.S或WC.iSsD.&

8.〃個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表：

01234567891011--

根據(jù)規(guī)律，從2011到2013的箭頭方向依次為（）

A.I—B.-fC.t-D.—；

9.設數(shù)列｛4｝滿足：ai=2,a/,+i=l——,記數(shù)列｛&,｝的前〃項之積為

n〃，則n刈2的值為（）

11

A.—~B.—IC.-D.1

212

10.1,…的一個通項公式是________.

325

用3〃一1

11.設數(shù)列｛a｝的前〃項和為S”對于所有〃￡N*,S=」一-——，

乙

且國=54,則ai=.

=

12,數(shù)列｛a｝中，3.n—??,若Sn7,則72—.

13.一同學在電腦中打出如下若干個圓（圖中?表示實心圓，O表示空

心圓）：

若將此若干個圓依次復制得到一系列圓，那么在前2013個圓中，空心

圓的個數(shù)為.

14.（10分設數(shù)列｛a｝中，a=l,點（a〃，a〃+i）（〃=1,2,3,…）均在直

線y=2x+l上.

（1）求&2,&,a的值；

（2）求數(shù)列｛a｝的通項公式.

15.（13分）已知數(shù)列｛劣｝的各項均為正數(shù)，S,為其前〃項和，對于任

意的〃￡N*滿足關系式2s=3a〃-3.

（1）求數(shù)列｛a｝的通項公式；

⑵設數(shù)列｛4｝的通項公式是4=^------------,前〃項和為北，求

log3a??log3an+i

證：對于任意的正整數(shù)〃，總有7X1.

16.（12分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列｛a｝的前〃項和為S”已知2a2=8

+4,數(shù)列｛、/&｝是公差為小件0）的等差數(shù)列，求數(shù)列｛2｝的通項公式

（用〃、（表示）.

等差數(shù)列

1.等差數(shù)列｛2｝的前〃項和為S,若W=4,S=20,則該數(shù)列的公差

為（）

A.7B.6C.3D.2

2.等差數(shù)列｛2｝中，&+@+a=12,那么a+a2H---ck-\-ai=()

A.21B.28C.32D.35

3.已知數(shù)列｛劣｝是等差數(shù)列，若a+&+a9=2冗，貝Ucosla+a)=

4已知｛a｝是等差數(shù)列，S,為其前〃項和，〃￡N*.若a=16,甑=20,

則So的值為.

2112

5,數(shù)列｛品｝滿足a=l,a2=-,且+=—(〃22),則品等于

22⑵⑵_]

A.~V7B.-7C,-"D.-'

〃十1〃十2⑹⑹

6.已知等差數(shù)列｛aj滿足a+近一備=2,則｛a｝的前15項和Si5=

A.10B.15C.30D.60

7.在等差數(shù)列｛a,｝中，首項a=0,公差dWO,若&-=a+/2H--1-

37,貝！]k=()

A.21B.22C.23D.24

8.已知數(shù)列｛品｝中，33=2,&=1,且數(shù)列是等差數(shù)列，則加

⑶十1J

等于()

212

A.—~B.~C.-D.5

9.已知數(shù)列｛4｝滿足a〃+i=a,+l(〃￡N+),且續(xù)+國+a=18,則

log3(a+a+aj的值為()

A.-3B.3C.2D.-2

10.S為等差數(shù)列｛2｝的前〃項和，$=&,&=1,則徐=.

11.已知數(shù)列｛劣｝對于任意夕，q￡N*,有aP-\-aq=ap+q,若a=4，則為6

y

12.已知等差數(shù)列｛&｝中，a2=6,35=15,若4=即，則數(shù)列仿』的前

9項和等于.

13.定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的

和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)

列的公和，已知數(shù)列｛2｝是等和數(shù)列，且a=2,公和為5,那么演的

值為.

14.(10分已知等差數(shù)列｛a｝中,31=1,&=-3.

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛a｝的前4項和5=—35,求4的值.

15.(13分)在數(shù)列｛4｝中，a=4,且對任意大于1的正整數(shù)〃，點

n,在直線y=X—2上.

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

⑵已知數(shù)列｛4｝的前〃項和A+---\-bn=a試比較與4的大

小.

16.(12分)數(shù)列｛a｝滿足a=l,品+i=(〃2+〃一九)區(qū)(〃=1,2,…)

4是常數(shù).

(1)當石2=—1時，求A及a的值；

⑵數(shù)列｛2｝是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不

可能，說明理由.

課時作業(yè)（三十一）［第31講數(shù)列的綜合應用］

1.已知數(shù)列｛2｝的通項公式是2=7若，其中a6均為正常數(shù)，那

bn~r\

么必與an+\的大小關系是.

2.從盛滿10L純酒精的容器里倒出1L,然后用水填滿，再倒出1L混

合溶液，再用水填滿，這樣繼續(xù)下去，一共倒出了5次，這時容器里

還有純酒精L.

3.若數(shù)列x,a,色,y成等差數(shù)列，x,4，Ay成等比數(shù)列，則

O—I—o2

一:b1?7民一的取值范圍是

4.已知數(shù)列｛4｝中，ai=a,a為正實數(shù)，a〃+i=a〃一?'（〃￡“），若

,33>0,則a的取值范圍是.

5.等比數(shù)列｛a｝的前〃項和為S”且4ai,2&,0成等差數(shù)列.若國=

1,貝1S=.

6.某廠在2011年底制訂生產計劃，要使2021年底的總產量在原有基

礎上翻兩番，則年平均增長率為.

7.設數(shù)列W中，若&+i=a+a+2（〃￡N*）,則稱數(shù)列｛a,｝為“凸數(shù)

列”，若4=1,a=-2,則該數(shù)列前6項和為.

8.已知數(shù)列｛2｝是正項等比數(shù)列，也,｝是等差數(shù)列，且呆=為，則一定

有（填序號）.

①33+49＜加+加②續(xù)+4>慶+〃；③&+<39>加+）；④

&+（39〈為+th.

9.公差不為零的等差數(shù)列｛a｝的前〃項和為S.若乃是&與&的等比

中項，&=32,則So等于.

10.設等比數(shù)列的公比為外前〃項和為￡,若S“S,+i,S+2成等差

數(shù)列，則公比°=.

11.通項公式為4=套+〃的數(shù)列｛a｝,若滿足水&〈&<21〈桀，且

a>a〃+i對〃>8恒成立，則實數(shù)H的取值范圍是.

12.已知數(shù)列｛劣｝滿足：國="（勿為正整數(shù)），an+\=

<2,a”為偶數(shù),若a=1,則勿所有可能的取值為.

、3a〃+l,品為奇數(shù).

13.（8分）已知｛2｝是公差為d的等差數(shù)列，它的前〃項和為S”S=

2s+4,4=1+a：

3/i

（1）求公差d的值；

⑵若d=-］求數(shù)列｛4｝中的最大項和最小項的值.

乙

14.某校為擴大教學規(guī)模，從今年起擴大招生，現(xiàn)有學生人數(shù)為6

人，以后學生人數(shù)年增長率為4.9%。.該校今年年初有舊實驗設備a

套，其中需要換掉的舊設備占了一半.學校決定每年以當年年初設備

數(shù)量的10%的增長率增加新設備，同時每年換掉x套的舊設備.

⑴如果10年后該校學生的人均占有設備的比率正好比目前翻一番，

那么每年應更換的舊設備是多少套？

⑵依照⑴的更換速度，共需多少年能更換所有需要更換的舊設備？

下列數(shù)據(jù)供計算時參考：

1.r^21.0049%

.361.04

1.110^21.0049"比

.591.05

1.ln^21.0049公

.851.06

15.數(shù)列｛a｝的首項為1,前〃項和是S”存在常數(shù)4耳使

+6對任意正整數(shù)〃都成立.

⑴若力=0,求證：數(shù)列｛&｝是等比數(shù)列；

⑵設數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，若p〈q,且求p,q的值.

55du

16.(12分已知數(shù)列｛&｝的前〃項和為S,且滿足2s產夕2一2〃，代

N*,其中常數(shù)夕＞2.

(1)證明：數(shù)列｛2+1｝為等比數(shù)列；

⑵若必=3,求數(shù)列W的通項公式；

⑶對于⑵中數(shù)列｛8｝,若數(shù)列出｝滿足4=log2(&+l)(〃WN*),在瓦

與瓦H之間插入21(400個2,得到一個新的數(shù)列｛④｝,試問:是否

存在正整數(shù)加，使得數(shù)列｛的｝的前勿項的和北=2011?如果存在，求出

力的值；如果不存在，說明理由.

等比數(shù)列

1.下列四個結論中，正確的個數(shù)是()

①等比數(shù)列｛品｝的公比g>0且內,則｛品｝是遞增數(shù)列;

②等差數(shù)列不是遞增數(shù)列就是遞減數(shù)列；

③｛2｝是遞增數(shù)列，｛4｝是遞減數(shù)列，則｛a-4｝是遞增數(shù)列；

④EJ是遞增的等差數(shù)列，則｛2a,｝是遞增的等比數(shù)列.

A.IB.2C.3D.4

2.等比數(shù)列｛a｝中，若乃+a=1,桀+&=9,那么國+桀等于（）

A.27B.27或一27

C.81D.81或一81

3.A.1B.^/2C.2D.平

4.各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛&,｝中，8=1,^+a=27-+-,則通項

323s

=

公式3n.

5.設S為等比數(shù)列｛8,｝的前〃項和，已知3S=4-2,35=43—2,則

公比（）

A.3B.4C.5D.6

2

6.在等比數(shù)列｛8,｝中，若&&呆a40=32,則包的值為（）

3[2

A.4B.2

C.-2D.-4

7.已知數(shù)列｛4｝是首項為1的等比數(shù)列，S是數(shù)列｛a｝的前〃項和，

且9&=&,則數(shù)列，工，的前5項和為（）

3〃

15.131.1

AA1或/而或二

8.數(shù)列｛品｝的前〃項和為S”若a=l,a”+i=3S0（〃21）,則為=

（）

A.3X4'B.3X4'+1

C.4'D.4'+l

9.已知公差不為0的等差數(shù)列｛2｝滿足a,a,叢成等比數(shù)列，S為

C-C

｛2｝的前〃項和，則的值為（）

05-03

A.2B.3

1

C.-D.4

10.在△/回中，tan/是以一4為第三項，4為第七項的等差數(shù)列的公

差，tan8是以（為第三項，9為第六項的等比數(shù)列的公比，則tanC=

O

11.設項數(shù)為10的等比數(shù)列的中間兩項與2l+9x+6=0的兩根相

等，則數(shù)列的各項相乘的積為.

12.在等比數(shù)列｛a｝中，a〉0,且&?4...&?桀=16,則㈤+桀的

最小值為.

13.已知a,b,c是遞減的等差數(shù)列，若將其中兩個數(shù)的位置對換，

2I2

得到一個等比數(shù)列，則3q的值為.

14.（10分）設等比數(shù)列｛2｝的前〃項和為Sn.已知32=6,631+a3=30,

求①和S.

15.(13分已知等比數(shù)列｛a｝的公比q=3,前3項和￡=7.

O

(1)求數(shù)列｛2｝的通項公式；

JT

⑵若函數(shù)ax)=4sin(2x+。)(給0,0＜。＜冗)在x=丁處取得最大

0

值，且最大值為43,求函數(shù)A*)的解析式.

16.(12分)已知公差不為0的等差數(shù)列｛a｝的首項a為a(a￡R),且

―,，成等比數(shù)列.

＜31苴24

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

(2)對〃￡N*,試比較…+」?與工的大小.

&32232n31

參考答案

1.C［解析］a-6=2X(―D+3X(―1)=-5.

2.D［解析］a?(2a—力)=2步-a?6=0,即10—(4—2)=0,所以4

—12,故選D.

3.B［解析］由161cos夕=-60=cos夕=—5,故。=

乙

120°.

a?b2X—4+3X7乖

4.A［M^r］VCOS0=,a在6

la?引―74+9?116+49—5

方向上的投影l(fā)alcos。=產勺義呼=卓.

5.B［解析］|a1=2,a?b=/a/?lbI,cos60°=2X1X；=1.

6.A［解析］(咫+附?瓦=2用-死=—2.

7.A［解析］由題意知函數(shù)廣(x)=x，—*入+a*入―牙斤，又因為函

數(shù)廣(x)的圖象是一條直線，所以a-6=0,即所以選A.

8.B［解析］a=(cos。，sina),b=(cosB,sin￡),則|a=b\

a.b

=1,設a,6的夾角是。，則cos9=^----M=COSQCOS￡+

sinasinJ3=cos(a—B),.,?夕與。一8不一定相等.

9.?。劢馕觯荩簗a—3引2=才一6a?右+9下=10—6XCOS60°=7,

la—3引=小.

10.\［解析］6=c—a,兩邊平方，并結合單位向量，得&?。=《.

11.3［解析］?1=(x—1,y),(l,O)=x—IWO,?X,

——1,

?.?帝?彼=(x,y-2)-(0,2)=2(y—2)三0,

.2.

.?.辦?油=(x,y)?(―1,2)=2y—x23.

a?b

12.［解答］由條件知，cos450=lai-lbP'.a?b=3,

設a+幾入與4a+b的夾角為夕，則。為鈍角,

a+b?幾a-Yb

C0S|a+Xb\-|^a+b\<0,

，(a+幾b)(4a+b)〈0.

Xa~+A廳+(1+?ZKO,

/.2A+9A+3(l+A2)<0,/.3A2+lM+3<0,

.—11—^/85—11+^85

*-6O<6-

若。=180°時，a+46與4a+6共線且方向相反,

.二存在A<0,使a+46=4（4a+6）,

AA=1,

/a,6不共線，；

人=k.

k=A=-1,

且4W—1.

6

13.［解答］如圖，取45的中點區(qū)連接應,

則匕=］（方1+宓）.

由屈?尼=物?次,得油?（而+反）=0,

所以m?宓=0,即四_L位

又少為4?的中點，所以。=%,即6=a

在RtA4￡T中，|充|cos/=|左

即6cos4=5，①

乙

都?充=|。|?|充|cos4=%cos/=2.②

2

將②代入①，得：=2,解得c=2.

乙

1.B［解析］:|2a一二『=4/-4a?/>+房=8,

A\2a~b\=2^2.

2.D［解析］依題意得a?6=X="\/5.

3.C［解析］a?(a—b)=4—&-6=4-2XlXcos60°=3.

JI

4.—［解析］設a與6的夾角為。，依題意有(a+28)?(a—6)=才+

O

a?6—26?=—7+2cos。=—6,所以cos。.因為0W。W兀，故

乙

5.D［解析］因為NC=90°,所以充?宓=0,所以。?G(充+

⑦?能=|充1+充?宓=彩=16.

6.A［解析］由a?b\=\a%知a〃6.所以sin2x=2sin7,即

JT

2sinxcosx=2sin'x,而(0,n),所以sinx=cosx,即x=］,故

tanx=1.故選A.

7.C［解析］依題意，由|a+引=|a—引=21a|得a_L6,下=34，cos

,一療1

(a+b,a~b)=.+6—a~b\=~2,所以向量與&一右的夾角

8.C［解析］因為/a+6/=/”所以a?(a+2b)=0,即a_L(a+

26),因此|a|、|a+2引、|2引構成直角三角形的三邊，|2引為斜邊,

所以|2引＞|a+2引.

JI

9.—［解析］設a與8的夾角為。，由(a+26)?(a—Z?)=—2得|a2

O

+a?6—2|引2=4+2X2XCOS，一2X4=-2,

乙1兀

解得cose=5，??e=公~.

乙o

10.-1［解析］由題知，D為BC中點，月為喈三等分點，以所在

的直線為x軸，以49所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，可得

X,用,0,0),彳一o),g,用，故初=卜，_當,強=

16，6/

所以電?詼=—乎x*=—；.

264

‘京疝'

11.等邊三角形［解析］非零向量油與充滿足——十——?友=0,

li^im)

力力?A「I

即N胡C的平分線垂直于a；：.AB=AC,又cos/=--------N4

I羽I充I2

JI

=7，所以△49。為等邊三角形.

O

12.［解答］建立如圖所示的坐標系，設DC=h,則4(2,0),8(1,

/?).設尸(0,0—。),

則為=(2,一力，用=3h~y),.二|e+3您=?25+3力—4y

2曲=5.

【難點突破】

13.［解答］如圖，以/為原點，%為x軸，初為y軸建立平面直角坐

標系劉什,則4(0,0),8(3,0),C(3,2),〃(0,1),設4CPD=a,Z

BPA=B,P?力(0WyW2).

IT

.,.初=(―3,1—y),蘇1=(—3,—y),

(1)35

，物?力=/-p+9=y—-2+—,

l句4

1(1

.?.當y=］時，物?咫取最小值，此時尸3,-

易知I加I=I初，a=B.

3

在△/勿中，tan￡=,=6,

2

2tan￡12

所以tanZZ￥34=—tan(a+￡)=

tan2￡—135,

1.已知銳角△力回的面積為3、/§,BC=4,CA=3,則角。的大小為

（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

2.在△/仇:中，若2sin/sin欣cos（8一心，則△/呢的形狀是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

3.在△48C中，下列關系式①asin夕=6sin/；②a=AosC+ccos氏③

a~~\~If—c=2abcc）sC；④6=csin4+asinC一定成立的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.已知a,b,c分別是△四。的三個內角4,B,。所對的邊,若（3=

1,b=p且8是/與。的等差中項，則sin/=.

5.在%中，a=#+l,b=\（3-l,c=y1iO,則4（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

6.在△/%中，B=~,三邊長a,b,c成等差數(shù)列，且ac=6,則6

o

的值是（）

A.mB.V3C.洞.乘

7.在銳角△/阿中，角4B、C的對邊分別為a、b、c,若（,+。2—

的tanB=/ac,則角8的值為（）

JIJIJTJI

A?談?前??石

8.在△/%中，a,b,。分別是角/,B,。所對的邊，若（電b—

c）cosA=acosC,貝!]cos力=（）

9.已知△/歐三邊長分別為a,b,c且3+方一/=則。=

10.已知a,b,c分別是△/比'的三個內角4B,。所對的邊，若才一

b2=\[3bc,sinC=2\[3sinB,貝!]A=.

11.△/回的三內角4B,。所對邊長分別是a,b,c,設向量卬=（a

+b,sin。，/?=（y5a+c,sin3—sin/）,若勿〃〃，則角夕的大小為

_______?

12.（13分）設△/%的內角/、B、。所對的邊分別為a、b、c,已知a

1

=

=1,b29cosC=1.

(1)求的周長；

(2)求cos(A—6)的值.

13.(12分)在△力回中，角4B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足

csin4=acosC

(1)求角。的大?。?/p>

(\

(2)求45sin/—cos夕十?的最大值，并求取得最大值時角力,歹的大

小.

1.C［解析］注意旋轉的方向是順時針方向，作出相應的圖形，分析

可得正確選項為C.

2.B［解析］如圖所示，從/處望8處和從8處望/處視線均為A8.而

a,￡同為48與水平線所成的角，因此a=B.

3.C［解析］由4與夕不可到達，故不易測量a,￡.

4.B［解析］利用余弦定理解易知N4/=120°.在△羽0中,

(1］

由余弦定理得/月+初一24??atosl20°=2才一2才X—5=

3a2,AB=\［3akm.

5.C［解析］作出圖形，由余弦定理有1+32—2X3XXCOS30°=3,

得?一3:才+6=0,解得x=［5或2m.

6.A［解析］解相關的兩個直角三角形，和△比Z?（如圖），可得

正確選項為A.

7.A［解析］如圖所示，在中,

68X^3廠

:.MN=隹"=34人6,

海里/小時.

JL乙

8.A［解析］如圖所示，△49C中，/ABC=75°-15°=60°,,：AB

=8C=1400,，/C=1400,即丙地到甲地距離為1400km,故應選A.

9.C［解析］根據(jù)正弦定理有4W62+/—A,由余弦定理可知才二萬

+。2—26ccos/,所以If+c—2Z?CCOS24^!JC—be,即有cosA^~,所

乙

（JT1

以角力的取值范圍為|o,yj,選C.

2

10.5小時［解析］如圖，設經過方小時漁船和艦艇同時到達8處，此

O

即為艦艇到達漁船的最短時間.在△/笈中，。=45。+75°=120。，

0=10,CB=9t,AB=211.

由余弦定理（21力2=1。2+（9。2—2?10?92-cosl20°,即36度一9方一

95

10=0,解得力=鼻或一斤（舍）.

OJL乙

11.V13［解析］連接42則力。=5.在△NC9中，AD=3乖,AC=5,Z

DAC=45°,由余弦定理得。=而.

12.-［解析］1—2sin9—《cos0—^（1—cos（1—sin夕）=［

JI

當2。=R即9=7時，面積最大.

乙

'n）ACQ

13.6sin^+—+3［解析］在△加「中，由正弦定理得：丁丁）

I6JsinB,

2

化簡得/C=2msin8,

=彳?）］=向,化簡得AB=2'\［3sin.3-B,

sinJi-B+—2）

-I3/2

所以三角形的周長為：

3+4C+/6=3+2/sin8+2#sin卓一8

JI

7

14.［解答］(l)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+

cos30°sin45°

1

=2X2+2X2—4°

224

(2):/。8=75。，N曲=45°,

，N4/=180°—/CAB—/CBA=60°,

ABBC

由正弦定理得:

sinAACBsinN6W

.J^sin75°

"BC=sin60°J

如圖過點8作物垂直于對岸，垂足為〃,則劭的長就是該河段的寬

度.

BD

在Rt△劭。中，?:/BCD=/CBA=45°,sh\/BCD=~^

DC

A/6+A/2

10°X4

^sin75°。

:.BD=BCshA50.->sin45

sinorOno工乂2,

2

256+2鏡503+■

(米).

33

才+62一d隹

15.［解答］(1)由步+5一/=也助，得

2ab2.

由余弦定理知cos、？'?.?'=石_?

(2)?.,勿=2cos'—sin8—1

乙

1+cos/

=2~T~sin[n-(4+0]—1

=cos/—sin(/+0=cos/—sinA~\~~

I6J

Ji□小1

=cosy4—sin/icos——cos^sin——cos/1—^-sin/4—-cos/4

b622

1A/3JIJIit

=-cos^--r-sinJ=cos^cos——sin^sin-=COST4+—

乙乙ooo

2JIJIJI

VO<J^—,yKJI.

ooo

(吟irn

；?一IWCOSZ+g<5,即為的取值范圍是一1,2?

16.[解答]證明：在△力即中，

ZABP=180°—v+￡,

N河=180°—(a—8)一/ABP

=180°—(。一0一(180°—v+￡)

=y—a.

APAB

在中，根據(jù)正弦定理,得

sin/48PsinZW

AP-------a------,，”=-a--,-s-i-n----Y-—--8-

sin180°—?y+￡siny—a'_siny—a

asinasinV—8

所以山高為h=APsix\a

siny—a

1.A［解析］由S=2(a—1)得a=2；由5=2(22-1)得色=4；由W

=2(a—1)得a=8.故選A.

2.B［解析］觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項比它的前一

項多的點數(shù)正好是本身的序號，所以根據(jù)這個規(guī)律可得第七個三角形

7X1-1-7

數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=----7-----=28,故選B.

乙

3.C［解析］a9+&0=5)—W+So—iSg—Siu-&=9?-7-=32.故選C.

4.2"-1［解析］因為1=2—1,3=4—1=22-1,7=8—1=2,—1,15=

16—1=2"—1,…聯(lián)想到2”,可以歸納出通項公式為a=2〃-1.

5.C［解析］原數(shù)列可寫成或、巾、3近、…，可以看出根號內

的數(shù)是從5開始的奇數(shù)構成的數(shù)列，所以21=5+5—1)X2,所以〃

=9.故選C.

6.B［解析］當〃三2時，2=5—￡-尸2〃一17,當〃=1時，4=—

15,滿足上式，所以通項公式是％=2〃一17.因為6〈為<9,所以6〈2〃一

17<9,即11.5〈水13,又因為4WN*,所以上=12.故選B.

7.B［解析］該數(shù)列是單調遞減數(shù)列，由a=20—4〃>0得〃<5,故

當〃>5時，aXO,所以S或￡最大.故選B.

8.D［解析］觀察4的倍數(shù)0,4,8,…的位置.由于2012是4的倍

數(shù)，故指向2012的箭頭是一,從2012指出的箭頭是(.故選D.

9.D［解析］因為品+2=1——1-—，

2+1a,,-1La”

1

=

a〃+3=1-a”

a〃+2

所以｛2｝是周期為3的周期數(shù)列.又a=2,4=1—4=1—；=

乙乙_L

2

—4,從而n3=11,

所以口2012=(—l)610X2X-=l.故選D.

乙

2122

10.［解析］若把5換成I，同時首項1換成5,規(guī)律就出現(xiàn)

IlIJLLJJL乙

了.

11.2［解析］因為&=￡-W=40丁一13a=27ai=54,所以a=2.

12,63［解析］+］=yjn+1_yl~n,所以S=［〃+l—1,

當S,=7時，有d〃+l—l=7,所以〃=63.

13.448［解析］復制一次得圓總數(shù)為27個，其中空心圓的個數(shù)為6

個，要得到2013個圓，需先復制74次，再復制前15個圓即可，所以

空心圓的個數(shù)為74X6+4=448.

14.［解答］(1)由已知可得a〃+i=2a〃+1,所以4=2d+1=3,桀=24

+1=7,<31=2&+1=15.

(2)因為H〃+i=2a〃+1,所以可設(3〃+1+4=2(品+4)，得<2〃+1=2a+

4,所以4=1,

于是a,+i+l=2(a〃+l),所以數(shù)列3+1｝是等比數(shù)列，首項為2,公

比為2,

所以通項公式為a〃+l=2X2"T,即a=2〃-1.