高一物理競賽講義

方中物理《競褰輔導》力學部臺

目錄

第一講：力學中的三種力

第二講：共點力作用下物體的平衡

第三講：力矩、定軸轉動物體的平衡條件、重心

第四講：一般物體的平衡、穩(wěn)度

第五講：運動的基本概念、運動的合成與分解

第六講：相對運動與相關速度

第七講：勻變速直線運動

第八講：拋物的運動

第九講：牛頓運動定律（動力學）

第十講：力和直線運動

第十一講：質(zhì)點的圓周運動、剛體的定軸轉動

第十二講：力和曲線運動

第十三講：功和功率

第十四講：動能定理

第十五講：機械能、功能關系

第十六講：動量和沖量

第十七講：動量守恒

《動量守恒》練習題

第十八講：碰撞

《碰撞》專題練習題

第十九講：動量和能量

《動量與能量》專題練習題

第二十講：機械振動

《機械振動》專題練習

第二十一：講機械波

第二十二講：駐波和多普勒效應

第一講:力學中的三種力

【知識要點】

（一）重力

重力大小G=mg,方向豎直向下。一般來說，重力是萬有引力的一個分力，靜止在地

球表面的物體，其萬有引力的另一個分力充當物體隨地球自轉的向心力，但向心力極小。

（二）彈力

1.彈力產(chǎn)生在直接接觸又發(fā)生非永久性形變的物體之間（或發(fā)生非永久性形變的物體一

部分和另一部分之間），兩物體間的彈力的方向和接觸面的法線方向平行，作用點在兩物體

的接觸面上.

2.彈力的方向確定要根據(jù)實際情況而定.

3.彈力的大小一般情況下不能計算，只能根據(jù)平衡法或動力學方法求得.但彈簧彈力

的大小可用.f=kx（k為彈簧勁度系數(shù)，x為彈簧的拉伸或壓縮量）來計算.

在高考中，彈簧彈力的計算往往是一根彈簧，而競賽中經(jīng)常擴展到彈簧組.例如：當勁

度系數(shù)分別為LM,…的若干個彈簧串聯(lián)使用時.等效彈簧的勁度系數(shù)的倒數(shù)為：

!=3+…即彈簧變軟；反之.若以上彈簧并聯(lián)使用時，彈簧的勁度系數(shù)為：k=%+…kn,

k匕kn

即彈簧變硬.*=%+…k”適用于所有并聯(lián)彈簧的原長相等；彈簧原長不相等時，應具體考慮）

長為金的彈簧的勁度系數(shù)為％則剪去一半后，剩余號的彈簧的勁度系數(shù)為2k

（三）摩擦力

1.摩擦力

一個物體在另一物體表面有相對運動或相對運動趨勢時，產(chǎn)生的阻礙物體相對運動或

相對運動趨勢的力叫摩擦力。方向沿接觸面的切線且阻礙物體間相對運動或相對運動趨勢。

2.滑動摩擦力的大小由公式f=|iN計算。

3.靜摩擦力的大小是可變化的，無特定計算式，一般根據(jù)物體運動性質(zhì)和受力情況分

析求解。其大小范圍在0<f<fm之間，式中卻為最大靜摩擦力，其值為fm=%N,這里網(wǎng)為

最大靜摩擦因數(shù)，一般情況下生略大于心在沒有特別指明的情況下可以認為生=必

4.摩擦角

將摩擦力f和接觸面對物體的正壓力N合成一個力F,合力F稱為全反力。在滑動摩

擦情況下定義tgV=n=f/N,則角中為滑動摩擦角；在靜摩擦力達到臨界狀態(tài)時，定義

Wo=^s=fm/N,則稱tpo為靜摩擦角。由于靜摩擦力fo屬于范圍0<

f<fm,故接觸面作用于物體的全反力F'同接觸面法線的夾角

a=tg4%,這就是判斷物體不發(fā)生滑動的條件。換句話說,

只要全反力尸的作用線落在（0,甲°）范圍時，無窮大的力也不能

推動木塊，這種現(xiàn)象稱為自鎖。

本節(jié)主要內(nèi)容是力學中常見三種力的性質(zhì)。在競賽中以彈力和摩擦力尤為重要，且易

出錯。彈力和摩擦力都是被動力，其大小和方向是不確定的，總是隨物體運動性質(zhì)變化而變

化。彈力中特別注意輕繩、輕桿及胡克彈力特點；摩擦力方向總是與物體發(fā)生相對運動或相

對運動趨勢方向相反。另外很重要的一點是關于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物體平衡

條件在競賽中應用很多，充分利用摩擦角及幾何知識的關系是處理有摩擦力存在平衡問題的

一種典型方法。

【典型例題】

【例題1】如圖所示，一質(zhì)量為m的小木塊靜止在滑動摩擦因數(shù)為從=苧的水平面上,

用一個與水平方向成0角度的力F拉著小木塊做勻速直線運動，當0

角為多大時力F最小?

【例題2】如圖所示，有四塊相同的滑塊疊放起來置于水平桌面上，通過細繩和定滑輪

相互聯(lián)接起來.如果所有的接觸面間的摩擦系數(shù)均為出每一滑塊的質(zhì)量均為m,不計滑

輪的摩擦.那么要拉動最上面一塊滑塊至少需要多大的水平拉力?

如果有n塊這樣的滑塊疊放起來，那么要拉動最上面的滑塊，至

少需多大的拉力？

【例題3】如圖所示，一質(zhì)量為m=lkg的小物塊P靜止在傾角為9=30°的斜面上，用平

行于斜面底邊的力F=5N推小物塊，使小物塊恰好在斜面上勻速運動，試求小物塊與斜

面間的滑動摩擦因數(shù)（g取lOm/s?）。

【練習】

1、如圖所示，C是水平地面，A、B是兩個長方形物塊，F(xiàn)是作用在物塊B上沿水平方

向的力，物塊A和B以相同的速度作勻速直線運動，由此可知，A、—

￡nc

B間的滑動摩擦因數(shù)內(nèi)和B、C間滑動摩擦因數(shù)內(nèi)有可能是：（）/……

A、內(nèi)=0,也=0;B、內(nèi)=0,如壬°；

C、內(nèi)r0,%二°；D、內(nèi)不0,也壬°；

2、如圖所示，水平面上固定著帶孔的兩個擋板，一平板穿過擋板的孔

勻速向右運動，槽中間有一木塊置于平板上，質(zhì)量為m,已知木板左、

右兩側面光滑，底面與平板之間摩擦因數(shù)為出當用力F沿槽方向勻速

拉動物體時，拉力F與摩擦力pmg大小關系是(

A、F>p.mgB、F=(_imgC^FVjimgD、無法確定

3、每根橡皮條長均為勁度系數(shù)為Q100N/m,現(xiàn)將三根橡皮條首尾相連成如圖

所示的正三角形，并用同樣大小的對稱力拉它，現(xiàn)欲使橡皮條A

F

所圍成的面積增大一倍，則拉力F應為多大？A

4、兩本書A、B交叉疊放在一起，放在光滑水平桌面上，設每頁書的質(zhì)量為5克，兩本

書均為200頁，紙與紙之間的摩擦因數(shù)為0.3,A固定不動，用水平力把B抽出來，求

水平力F的最小值。

A

5、（90國際奧賽題）（哥倫比亞）一個彈簧墊，如圖所示，由成對的彈簧組成。所有

的彈簧具有相同的勁度系數(shù)10N/m,一個重為100N的重物置于墊上致使該墊的表面位

^

A

置下降了10cm,此彈簧墊共有多少根彈簧?/

w

v

-

\

\/

同的長度）。Aw

Zw

W\

-r

6、（第三屆全國預賽）如圖所示用力F推一放在水平地面上的木箱，質(zhì)量為M,木箱與地面

間摩擦因數(shù)為問：當力F與豎直成夾角多大時，力F再大也無法推動木箱？

第二講:共點力作用下物體的平衡

（-）力的運算法則

1、力的平行四邊形定則：是所有矢量合成與分解所遵循的法則。

2、力的三角形定則：兩個矢量相加將兩個力首尾相連，連接剩余的兩個端點的線段表

示合力的大小，合力的方向由第一個矢量的始端指向第二個矢量的末端（如圖1-1-1所

示）；兩個矢量相減，將這兩個力的始端平移在一起，連接剩余的兩個端點的線段即為

這兩個力的差矢量的大小，差矢量的方向指向根懣矢量（如圖1-1-2所示）。

圖1-1-1圖1-1-2

（二）平行力的合成與分解

同向平行力的合成：兩個平行力FA和FB相距AB,則合力2F的大小為FA+FB,作

用點C滿足F,、XAC=FBXBC的關系。

ACBCA

n

,FB

FA

FA￡FXF

圖1-1-3圖1-1-4

反向平行力的合成：兩個大小不同的反向平行力FA和FB（FA>FB）相距AB,則合

力ZF的大小為F,\—FB同向，作用點C滿足FAXAC=FBXBC的關系。

（三）共點力作用下物體平衡條件：這些力的合力為零，即ZF=O。

（四）三力匯交原理

若一個物體受三個非平行力作用而處于平衡狀態(tài)，則這三個力必為共點力。

（五）受力分析

1、受力分析的地位：物體的受力分析是高中物理中一個至關重要的知識，它貫穿高

中物理的全過程，是學好力學知識的基礎。

2、受力分析的順序：一重二彈三摩擦（四其它），要防多畫、少畫、錯畫。

3、受力分析時常用方法：整體法、隔離法、假設法。

4、受力分析時常用的計算工具：平行四邊形定則、正交分解法、二力平衡、作用

力與反作用力定律。

本節(jié)內(nèi)容重點是充分運用共點力平衡條件及推論分析和計算處于平衡態(tài)下物體受

力問題，競賽中還應掌握如下內(nèi)容和方法：①力的矢量三角形法：物體受三個共點力作

用而平衡時，這三力線相交，構成首尾相連封閉的三角形，問題化為解三角形，從而使

問題得以簡化；②摩擦平衡問題，由臨界狀態(tài)尋求突破口；③競!

賽中物體受力由一維向二維或三維拓展，空間力系平衡問題轉化

為平面力系平衡問題求解。

【例題1】如右圖所示，勻質(zhì)球質(zhì)量為M、半徑為R；勻質(zhì)棒B質(zhì)量為m、長度為

/。求它的重心。

【解】第一種方法是：將它分隔成球和棒兩部分，然后用'R+Z2B1

同向平行力合成的方法找出重心c。C在AB連線上，且Mgmg

(M+m)g

AC-M=BC-m；

第二種方法是：將棒錘看成一個對稱的‘啞鈴”和一個質(zhì)量為-M的球A的合成,

用反向平行力合成的方法找出重心C,C在AB連線上，且

BC-(2M+m)=4C-Mo不難看出兩種方法的結果都是

BC

M+m

［例題2］如圖所示，一輕繩跨過兩個等高的輕定滑輪(不計大小和摩擦)，兩端

分別掛上質(zhì)量為m1=4kg和mz=2kg的物體，如圖，在滑輪間繩上懸掛物體m為了使三

個物體能保持平衡，則m的取值范圍多大？

【例題3】如圖所示，直角斜槽間夾角為90°,對水平面的夾角為0,一橫截面為

正方形的物塊恰能沿此槽勻速下滑。假定兩槽面的材料和表面情況相同，試求物塊與槽

面間的滑動摩擦因數(shù)N多大？

【例題4】如圖所示，三個相同的光滑圓柱體，半徑為r,推放在光滑圓柱面內(nèi),

試求下面兩個圓柱體不致分開時，圓柱面的半徑R應滿足的條件。

【練習】

1、如圖所示，長為L=5m的細繩兩端分別系于豎直地面上相距X=4m的兩桿的頂

端A、B,繩上掛一光滑的輕質(zhì)掛鉤，下端連著一個重為G=12N的重物，平衡時箝電張

A、

力T等于多少牛頓?

2、如圖所示，小圓環(huán)重為G,固定的大環(huán)半徑為R輕彈簧原長為/(/<2R),其勁

度系數(shù)為k,接觸光滑，則小環(huán)靜止時彈簧與豎直方向的夾角。應為多大?

3^如圖所示，一輕桿兩端固結兩個小球A和B,A、B兩球質(zhì)量分別為4m和m,

輕繩長為L,求平衡時OA、OB分別為多長？(不計繩與滑輪間摩擦)

4、如圖所示，n個完全相同的正方體木塊一個緊挨一個排列成一條直線放在水平

地面上，正方體木塊與水平地面的滑動摩擦因數(shù)為出現(xiàn)用一水平力F推第一塊木塊，

使這n塊木塊一起做勻速直線運動，則第k塊木塊對第廣￡生1」,2/三|二忸處歸，

5、如圖所示，物體m在與斜面平行的拉力F作用下，沿斜面勻速上滑，在這過程

中斜面在水平地面上保持靜止。已知物體、斜面的質(zhì)量分別為m、M,斜面傾角為8,

試求：（1）斜面所受地面的支持力；（2）斜面所受地面的摩擦力。

第三講:力矩、定軸轉動物體的平衡條件、重心

【知識要點】

（-）力臂：從轉動軸到力的作用線的垂直距離叫力臂。

（二）力矩：力和力臂的乘積叫力對轉動軸的力矩。記為M=FL,單位“牛?米”。一

般規(guī)定逆時針方向轉動為正方向，順時針方向轉動為負方向。

（三）有固定轉軸物體的平衡條件

作用在物體上各力對轉軸的力矩的代數(shù)和為零或逆時針方向力矩總是與順時針方

向力矩相等。即XM=O,或逆=XM'v

（四）重心：物體所受重力的作用點叫重心。

計算重心位置的方法：

1、同向平行力的合成法：各分力對合力作用點合力矩為零，則合力作用點為重心。

2、割補法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補成形狀規(guī)則的物

體，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。（見上一講）

3、公式法：如圖所示，在平面直角坐標系中，質(zhì)量為n和m?

的A、B兩質(zhì)點坐標分別為A(x,,y,),B(x2,y2)則由兩物體共

同組成的整體的重心坐標為：

_mtxi+m2x2gy+，〃2y2

=Vc=

mx+m2m{+m2

一般情況下，較復雜集合體，可看成由多個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，其重心C位置由如

下公式求得：

Zm；x；Zm；y；Zm；z；

xc=-yc=-zc=——

Lm/Lmzun.

本節(jié)內(nèi)容常用方法有：①巧選轉軸簡化方程：選擇未知量多，又不需求解結果的力

線交點為軸，這些力的力矩為零，式子簡化得多；②復雜的物體系平衡問題有時巧選對

象：選整體分析，常常轉化為力矩平衡問題求解；③無規(guī)則形狀的物體重心位置計算常

用方法是通過割補思想，結合平行力合成與分解的原則處理，或者助物體重心公式計算。

【例題1】如圖所示，c為桿秤秤桿系統(tǒng)的重心，a為桿稱的定盤星，證明：無論

稱桿的粗細如何變化，桿秤的刻度沿桿軸線的方向總是均勻a°cd

分布的?！悒DC/

【例題2】(第十屆全國預賽)半徑為R,質(zhì)量為mi的均勻圓球與一

質(zhì)量為m2的重物分別用細繩AD和ACE懸掛于同一點A,并處于平

衡。如圖所示，已知懸點A到球心。的距離為L,若不考慮繩的質(zhì)

E囪

量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD和豎直方向的夾角仇

【例題3】（第十屆全國決賽）用20塊質(zhì)量均勻分布的相同的光滑積木塊，在光滑

水平面一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊的長度為L,橫截面為/7=與的正方

4

形，求此橋具有的最大跨度（即橋孔底寬），試畫出該郝讓安冊1心》隼臂度與橋孔

jI-[I]I

,「，」H、X

高度的比值。//.'

練習題：1、如圖所示，木棒的一端用一根足夠短的繩子拴住懸掛在天花板上，另一端

擱在滑動摩擦因數(shù)為N的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右勻速拉出木板

時的水平拉力為F”向左勻速拉出時的水平拉力為F2,兩種情況下，木棒與木板鉀

角均保持為9不變，試比較居和F2的大小?

2、（99上海）如圖所示，是一種手控制動器，a是一個轉動著的輪子，b是摩擦制

動片，C是杠桿，O是其固定轉動軸，手在A點施加一作用力

子制動，若使輪子制動需要的力矩是一定的，則下列說法正確

A、輪a逆時針轉動時，所需力F小

B、輪a順時針轉動時，所需力F小

C、無論輪a逆時針還是順時針轉動所需的力F相同

D、無法比較力F的大小

3、（99上海）如圖所示，質(zhì)量不計的桿O|B和02A長度均為L,和。2為光滑

固定轉軸，A處有一凸起物擱在QB中點，B處用繩子系在02A

的中點，此時兩短桿結合成一根長桿，今在。用桿上C點（C

為AB中點）懸掛重為G的物體，則在A處受到的支承力大小

為；B處受繩拉力大小為o

4、（第7屆全國決賽）一薄壁圓柱形燒杯，半徑為r,質(zhì)量為m,重心位于中心線

上，離杯底的距離為H,今將水慢慢注入杯中，問燒杯連同杯內(nèi)的水共同重心最低時水

面離杯底的距離等于多少？（設水的密度為

5、為保證市場的公平交易，我國已有不少地區(qū)禁止在市場中使用桿秤。桿秤確實

容易為不法商販坑騙顧客提供可乘之機。請看下例。

秤附質(zhì)量為1千克，秤桿和秤盤總質(zhì)量為0.5千克，定盤星到提紐的距離為2厘米,

秤盤到提紐的距離為10厘米（圖9）。若有人換了一個質(zhì)量為0.8千克的秤駝，售出2.5

千克的物品，物品的實際質(zhì)量是多少？

6、（俄羅斯奧林匹克試題）如圖所示，三根相同的輕桿用鐵鏈連接并固定在同一水

平線上的A、B兩點，AB間的距離是桿長的2倍，銀鏈C上懸掛一質(zhì)量為m的重物，

問：為使桿CD保持水平，在較鏈D上應施的最小力F為多大？

7、如圖所示，一較鏈由2n個相同的鏈環(huán)組成，每兩個鏈環(huán)間的接觸是光滑的，較

鏈兩端分別在一不光滑的水平鐵絲上滑動，它們的摩擦系數(shù)為小證明：當鎖鏈在鐵絲

上剛好相對靜止時，末個鏈環(huán)與鉛垂線交角為/gTO'O

8、(第六屆預賽)有6個完全相同的剛性長條薄片AR(i=l,2…)，其兩端下方

各有一個小突起，薄片及突起的質(zhì)量均不計，現(xiàn)將此6個薄片架在一只水平的碗口上,

使每個薄片一端的小突起B(yǎng),恰在碗口上，另一端小突起A1位于其下方薄片的正中，由

正上方俯視如圖所示，若將質(zhì)量為m的質(zhì)點放在薄片A?B6上一點，這一市自此薄片中

點的距離等于它與小突起A,的距離，則薄片中點所受的(幽

所施的)壓力。

B2

第四講:一般物體的平衡、穩(wěn)度

【知識要點】

(-)一般物體平衡條件

受任意的平面力系作用下的一般物體平衡的條件是作用于物體的平面力系矢量和

為零，對與力作用平面垂直的任意軸的力矩代數(shù)和為零，即：

￡F=02M=0

若將力向X、y軸投影，得平衡方程的標量形式:

￡R=0SFy=OXM,=O（對任意z軸）

（二）物體平衡種類

（1）穩(wěn)定平衡：當物體受微小擾動稍微偏離平衡位置時，有個力或力矩使它回到

平衡位置這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡。特點：處于穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位置的重心升高。

（2）不穩(wěn)定平衡：當物體受微小擾動稍微偏離平衡時，在力或力矩作用下物體偏

離平衡位置增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡。特點：處于不穩(wěn)定平衡的物體偏離平衡位

置時重心降低。

（3）隨遇平衡：當物體受微小擾動稍微偏平衡位置時，物體所受合外力為零，能

在新的平衡位置繼續(xù)平衡，這樣的平衡叫隨遇平衡。特點：處于隨遇平衡的物體偏離平

衡位置時重心高度不變。

（三）穩(wěn)度：物體穩(wěn)定程度叫穩(wěn)度。一般來說，使一個物體的平衡遭到破壞所需的

能量越多，這個平衡的穩(wěn)度越高；重心越低，底面積越大，物體穩(wěn)度越高。

一般物體平衡問題是競賽中重點和難點，利用XF=O和￡M=0二個條件，列出三個

獨立方程，同時通過巧選轉軸來減少未知量簡化方程是處理這類問題的一般方法。對于

物體平衡種類問題只要求學生能用重心升降法或力矩比較法并結合數(shù)學中微小量的處

理分析出穩(wěn)定的種類即可。這部分問題和處理復雜問題的能力，如競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的討

論性題目便是具體體現(xiàn)，學生應重點掌握。

【例題1】（第二屆全國復賽）如圖所示，勻質(zhì)管子AB長為L,重為G,其A端放

在水平面上，而點c則靠在高力=亨的光滑鉛直支座上，設管子與水平面成傾角0=45°,

試求要使管子處于平衡時，它與水平面之間的摩擦因數(shù)的最小值。

【例題2】(第一屆全國決賽)，如圖所示，有一長為L,重為G。的粗細均勻桿AB,

A端頂在豎直的粗糙的墻壁上，桿端和墻壁間的摩擦因數(shù)為jB端用一強度足夠大且

不可伸長的繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁C點，木桿處于水平，繩和桿夾角為0。

(1)求桿能保持水平時，口e應滿足的條件；

(2)若桿保持平衡狀態(tài)時，在桿上某一范圍內(nèi)，懸掛任意重的重物，都不能破壞

【例題3】如圖所示，三個完全相同的圓柱體疊放在水平桌面上。將C柱體放上去

之前，A、B兩柱體接觸，但無擠壓。假設桌面與柱體之間的動摩擦因數(shù)為內(nèi)，柱體與

柱體之間的動摩擦因數(shù)為日。若系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，出和日必須滿足什么條件？

A

BC

【練習題】1、如圖所示，方桌重100N,前后腳與地面的動摩擦因數(shù)為0.20,桌的寬

與高相等。求：（1）要使方桌勻速前進，則拉力F、地面對前、后腳的支持力和摩擦力各是

多大？（2）若前、后腳與地面間的靜摩擦因數(shù)為0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌子

可使桌子以前腳為軸向前翻倒?

2、如圖所示，重30N的均勻球放在斜面上，球面上C點以繩系住，繩與地面平行,

求繩的拉力，斜面對球的支持力和摩擦力。

3、如圖所示，一光滑半球形容器直徑為a,邊緣恰與一光滑豎直的墻壁相切?，F(xiàn)有

一均勻直棒AB,A端靠在墻上，B端與容器底相接觸，當棒傾

斜至水平面成60°角時，棒恰好平衡，求棒長。

4、（芬蘭奧賽試題）如圖所示，一均勻木板，以傾角e靜止地放在二根水平固定木

棒A和B上，兩棒之間距離為d,棒與木板間靜摩擦因數(shù)為出，當木板剛好不源?動時,

求木板重心離A棒距離。

5、如圖所示，將一根長為2L的硬鉛絲彎成等臂直角形框架，在兩臂的端點各固

定一個質(zhì)量為m的小球，在直角的頂點焊一根長為r的支桿，支桿平分這一頂角，將桿

支在一支座上。試證明：當「=亞心/2時，平衡是隨遇平衡；當r>也上/2時，平衡是

不穩(wěn)平衡；當r<J2〃2時，平衡是穩(wěn)定平衡（不計支桿、鉛絲的質(zhì)量）

LL

6、質(zhì)量為50kg的桿，豎直地立在水平地面上，桿與地面的最小靜摩擦因數(shù)四為0.3,

桿的上端被固定在地面上的繩牽拉住，繩與桿的夾角。為30°,如圖所示。

2

(1)若水平力F作用在桿上，作用點到地面距離h為桿長L的不，要使桿不滑

倒，則力F最大不超過多少？

(2)若作用點移到心=彳處時，情況又如何?

第五講:運動的基本概念、運動的合成與分解

【知識要點】

,,「,x—x

平均速度：V=——n

瞬時速度：v-lim—

A—0bt

,qAv

平均加速度：a=—

Ar

v…工》1.Av

瞬時加速度：。=hm——

AT。Az

【運動的合成與分解】

一個物體同時參與幾個運動時，各個分運動可以看作是獨立進行的，它們互不影響，

物體的實際運動可以看成是這幾個運動迭加而成的，這一原理叫運動的獨立性原理。它

是運動的合成與分解的依據(jù)。在進行運動的分解時，理論上，只要遵從平行四邊形法則，

分解是任意的，而實際中既要注意分速度有無實際意義，又要注意某一分速度能否代表

所要求解的分運動的速度。分運動與分運動、分運動與合運動之間除遵從矢量運動算法

則外，運動的同時性也是聯(lián)系各個方向上的分運動和合運動的橋梁。

【例題1】一物體以大小為巧的初速度豎直上拋，假設它受到大小不變的恒定的空

氣阻力的作用，上升的最大高度為H,到最高點所用時間為t,從拋出到回到拋出點所

用時間為T,回到拋出點速度大小為V2,求下列兩個過程中物體運動的平均速度、平均

速率、平均加速度。（1）在上升過程中。（2）整個運動過程中。

【例題2】高為H的燈柱頂部有一小燈，燈下有一高為h的行人由燈柱所在位置出

發(fā)，沿直線方向在水平面上背離燈柱而去。設某時刻該人的行走需17%,試求此時行

人頭頂在地面的投影的前進速度v。H

OXQx

【例題3】如圖所示，繩AB拉著物體m在水平面上運動，A端以速度v做勻速運

動，問m做什么運動？

【例題4】如圖所示，兩個相同的小球A、B通過輕繩繞過定滑輪帶動C球上升,

某時刻連接C球的兩繩夾角為60°,A、B速度均為

【例題5】如圖所示，一剛性桿兩端各拴一小球A、B,A球在水平地面上，B球靠

在豎直墻上，在兩球發(fā)生滑動過程中，當桿與豎直夾角為。時，A球速魔為v,求此時B

B

球的速度。e

A

班級姓名學號

【練習】1、如圖所示，細繩繞過定滑輪將重物m和小車連在一起，車以恒定速度

v向右運動，當細繩與水平方向間的夾為9時，重物上升的速度是多大？重物上升的速度

和加速度如何變化?

2、甲乙兩船在靜水中劃行速度分別為v甲、v乙，兩船從同一渡口過河，若甲船以最

短時間過河，乙船以最短航程過河，結果兩船在同一地點到岸，求兩船過河時間之比目。

壇

3、如圖所示，一個不透光的球殼內(nèi)有一發(fā)光點，球殼可繞垂直于紙面的水平軸以

角速度3勻速轉動，由于球殼上開一小孔，因而有一細束光線在豎直面內(nèi)轉動，在離轉

軸距離為d處有一豎直墻，當光線與屏幕夾角為0時，屏上光斑速度為多大?

4、如圖所示，滑輪組中的小物體1、2向下的加速度分別為與、a2,求物體3向上運

動的加速度。

5、如圖所示，有一河面寬L=lkm,河水由北向南流動，流速v=2m/s,一人相對于

河水以u=lm/s的速率將船從西岸劃向東岸。

(1)若船頭與正北方向成a=30°角，船到達對岸要用多少時間？到達對岸時，船

在下游何處？

(2)若要使船到達對岸的時間最短，船頭應與岸成多大的角度？最短時間等于多

少？到達對岸時，船在下游何處？

(3)若要使船相對于岸劃行的路程最短，船頭應與岸成多大的角度？到達對岸時，

,北

-L

船在下游何處？要用多少時間？東

0

第六講:相對運動與相關速度

【相對運動】

運動的合成包括位移、速度和加速度的合成。一般情況下把質(zhì)點對地面上靜止的

物體的運動稱為絕對運動，質(zhì)點對運動參照系的運動稱為相對運動，而運動參照系對地

的運動稱為牽連運動，由坐標系的變換公式匕附5=匕謝c+Vc對B

可得到丫絕對=歲相對+V牽連°

位移、加速度也存在類似關系。

運動的合成與分解，一般來說包含兩種類型，一類是質(zhì)點只有絕對運動，如平拋物

體的運動；另一類則是質(zhì)點除了絕對運動外，還有牽連運動，如小船過河的運動。解題

中難度較大的是后一類運動。求解這類運動，關鍵是列出聯(lián)系各速度矢量的關系式，準

確地作出速度矢量圖。

［例題1］如圖所示，兩個邊長相同的正方形線框相互登放，且沿對角線方向，A

有向左的速度V,B有向右的速度2v,求交點P的速度。

【例題2】一人以7m/s的速度向北奔跑時，感覺風從正西北方向吹來，當他轉彎向

東以lm/s的速度行走時，感覺風從正西南方向吹來，求風速。

[例題3]一人站在到離平直公路距離為d=50m的B處，公路上有一汽車以

v^lOm/s的速度行駛，如圖所示。當汽車在與人相距L=200m的A處時，人立即以

V2=3m/s的速率奔跑。為了使人跑到公路上時，能與車相遇。問：（1）人奔跑的方向與

AB連線的夾角8為多少？（2）經(jīng)多長時間人趕上汽車？（3）寤歿條件不變?nèi)吮驹?/p>

處開始勻速奔跑時要與車相遇，最小速度為多少？

B

【練習】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中順流而下。經(jīng)過h

時間后，船員發(fā)現(xiàn)救生圈掉了，立即掉轉船頭去尋找丟失的救生圈。問船掉頭后要多長

時間才能追上救生圈？

2、平面上有兩直線夾角為。(0<90°),若它們各以垂直于自身大小為巧和V2的速

度在該平面上作如圖所示的勻速運動，試求交點相對于紙面的速率和相對于每飛播線的

速率。_________1

FT

3、如圖所示，一輛汽車以速度當在雨中行駛，雨滴落下的速率V2與豎直方向偏前。

角，求車后一捆行李不會被雨淋濕的條件。HL卜

4、如圖所示，AA|和BB|是兩根光滑的細直桿，并排固定于天花板上，繩的一端拴

在B點，另一端拴在套于AA1桿中的珠子D上，另有一珠子C穿過繩及桿BB1以速度

5、有A、B兩艘船在大海中航行，A船航向正東，船速15km/h,B船航向正北，

船速20km/h。A船正午通過某一燈塔，B船下午兩點也通過同一燈塔。問：什么時候A、

B兩船相距最近？最近距離是多少？

6、一個半徑為R的半圓柱體沿體沿水平方向向右做勻加速運動，在半圓柱體上擱

置一豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動（沿圖所示），當半圓柱體的速度為v時，桿與

半圓柱體接觸點P與柱心連線（豎直方向）的夾角為求此時豎直桿的速度和加速度。

7、在寬度為d的街上，有一連串汽車以速度u魚貫駛過，已知汽車的寬度為b,相

鄰兩車間的間距為a。如圖所示，一行人想用盡可能小

的速度沿一直線穿過此街，試求此人過街所需的時間。

8、一架飛機以相對于空氣為v的速率從A向正北方向飛向B,A與B相距為L。假

定空氣相對于地速率為u,且方向偏離南北方向有一角度6,求飛機在A、B間往返一次

所需時間為多少？并就所得結果，對u和。進行討論。

第七講:勻變速直線運動

【知識要點】

速度公式：

v,=v0+at①

1,

位移公式：s=%『+5a廠②

推論公式：v,2=VQ+2as③

平均速度：v=-=④

t2

上述各式，要注意用正、負號表示矢量的方向。一般情況下規(guī)定初速度%方向為正

方向，a、vPs等矢量與正方向相同則為正，與正方向相反則為負。

利用勻變速直線運動規(guī)律求解運動學問題，在熟悉題意的基礎上，首先要分清物體

的運動過程及各過程的運動性質(zhì)，要注意每一個過程加速度必須恒定。找出各過程的共

同點及兩過程轉折點的速度、再根據(jù)已知量和待求量選擇合適的規(guī)律、公式求解，盡管

公式都是現(xiàn)成的，但選擇最簡單的公式卻有很多技巧，解題中要注意一題多解，舉一反

三，以達到熟練運用運動學規(guī)律的目的。

【例題1】一小球自屋檐自由下落，在△t=0.2s內(nèi)通過窗口，窗高h=2m,g=10m/s2,

不計空氣阻力，求窗頂?shù)轿蓍艿木嚯x。

【例題2】一氣球從地面以10m/s的速度勻速豎直上升，4s末一小石塊從氣球上吊

籃的底部自由落下，不計空氣阻力，取g=1Om/s2,求石塊離開氣球后在空氣中運行的平

均速度和平均速率。

【例題3】一物體由靜止開始以加速度引勻加速運動，經(jīng)過一段時間后加速度突然

反向，且大小變?yōu)閍2,經(jīng)過相同時間恰好回到出發(fā)點，速度大小為5m/s,求物體加速

度改變時速度的大小和紅的值

a2

【例題4】一架直升飛機，從地面勻加速飛行到高H的天空，若加速度a與每秒鐘

耗油量的關系式為Y=ka+§(k>0,p>0),求飛機上升到H高空的最小耗油量Q和所對

應的加速度。

【練習】1、一物體做勻加速度直線運動，在某時刻的前t,(s)內(nèi)的位移大小為

st(m),在此時刻的后t2(s)內(nèi)的位移大小為Sz(m),求物體加速度的大小。

2、一皮球自h高處自由落下，落地后立即又豎直跳起，若每次跳起的速度是落地

速度的一半，皮球從開始下落到最后停止運動，行駛的路程和運動的時間各是多少？

（不計空氣阻力，不計與地面碰撞的時間）

3、一固定的直線軌道上A、B兩點相距L,將L分成n等分，令質(zhì)點從A點出發(fā)

由靜止開始以恒定的加速度a向B點運動，當質(zhì)點到達每一等分段時它的加速度增加

試求質(zhì)點到達B點時的速度VB

n

4、如圖所示，在傾角為0的光滑斜面頂端有一質(zhì)點A自靜止開始自由下滑，與此

同時在斜面底部有一質(zhì)點B自靜止開始以加速度a背向斜面在光滑的水平面上向左運

動。設A下滑到斜面底部能沿光滑的小彎曲部分平穩(wěn)地向B追去，為使A不能追上B,

試求a的取值范圍。人

5、地面上一點有物體甲，在甲的正上方距地面H高處有物體乙，在從靜止開始

釋放乙的同時，給甲一個初速度豎直上拋，問（1）為使甲在上升階段與乙相遇，初速

度%為多大？（2）為使甲在下落階段與乙相遇，初速度V。又為多大？

第八講:拋物的運動

【知識要點】

拋物運動——物體在地面附近不大的范圍內(nèi)僅在重力作用下的運動。

平拋運動---物體水平拋出后的運動。

斜拋運動——物體斜向上或斜向下拋出后的運動。

平拋和斜拋運動的物體只受恒定的重力作用，故物體作勻變速曲線運動，其加速度

為重力加速度go

拋體運動的求解必須將運動進行分解，一般情況下是分解為水平方向的勻速運動和

豎直方向的豎直上拋運動，則有：

在水平方向v*=%coS,X=%coS4

1,

在豎直方向Vy=vosin0-gt,Y=VOS1X0

上式中，當9=0°時，物體的運動為平拋運動。

求解拋物運動，還可以采用其它的分解方法，比如將斜拋運動分解為初速度方向的

勻速運動和豎直方向上的自由落體運動。

拋物運動是一般勻變速曲線運動的一個特例，其求解方法也是求解一般勻變速曲線

運動的基本方法。盡管物體速度方向是在不斷變化的，但其速度變化的方向只能在合力

即重力的方向上，因此其速度變化的方向總是豎直向下的。

拋物運動的共同特點是加速度相同，因此，當研究多個拋體的運動規(guī)律時，以自由

落體為參照物，則各物體的運動均為勻速直線運動，這種選擇參照物的方法，能大大簡

化各物體運動學量之間的聯(lián)系，使許多看似復雜的問題簡單、直觀。

［例題1］如圖所示，A、B兩球之間用長L=6m的柔軟細繩相連，將兩繩相隔％=0.8s

先后從同一地點拋出，初速均為v°=4.5m/s,求A球拋出多長時間后，連線被拉直，在

這段時間內(nèi)A球離拋出點的水平距離多大？（g=10m/s2）

A

【例題2】在與水平成0角的斜坡上的A點，以初速度V。水平拋出一物體，物體落在同

一坡上的B點，如圖所示，不計空氣阻力，求：(1)物體的飛行時間及A、B間距離；

(2)拋出后經(jīng)多長時間物體離開斜面的距離最大，最大距離多大？vo：.

【例題3】如圖所示，樹上有一只小猴子，遠處一個獵人持槍瞄準猴子，當獵槍擊發(fā)時

猴子看到槍口的火光后立即落下，不考慮空氣阻力，已知猴子開始離槍口的水平距離為

s,豎直高度為h,試求當子彈初速度滿足什么條件時，子彈總能擊中猴子。

e

【練習】1、飛機以恒定的速度沿水平方向飛行，距地面高度為H。在飛行過程中釋

放一個炸彈，經(jīng)過時間t,飛行員聽到炸彈著地后的爆炸聲。設炸彈著地即刻爆炸，聲

速為N,不計空氣阻力，求飛機的飛行速度V。

2、如圖所示，在離豎直墻壁30m的地面，向墻壁拋出一個皮球，皮球在高10m處剛好

與墻壁垂直碰撞，反彈后落到離墻20m的地面，取g=10m/s2,求皮球斜拋哆哆玻

回地面時的速度。//1

|<-20m—>

-30m--->

3、某同學在平拋運動實驗中，得出如圖所示軌跡，并量出軌跡上a、b兩點到實驗開始

前所畫豎直線的距離aa'=X|,〃/=乂2,以及ab間豎直高度h,求平拋小球的初速度。

X2

4、地面上的水龍頭按如圖所示的方式向上噴水，所有水珠噴出的初速度V。的大小相同,

但噴射角在0°到90°范圍內(nèi)不等。若噴出后水束的最高位置距地面5弋試泠苗更落

地時的圓半徑。\\\//>

5、從高H的一點O先后平拋兩個小球1和2,球1直接恰好越過豎直擋板A落到水平

地面上的B點，球2與地面碰撞一次后，也恰好越過豎直擋板并落在B點，如圖所示。

O?-----V

設球2與地面碰撞遵循的規(guī)律類似反射定律，且反彈速度大小與氣撞前相同A求豎直擋

板的高度h。

6、如圖所示，排球場總長為18m,設球網(wǎng)高2m,運動員站在離網(wǎng)3m的線上（如圖中

4

虛線所示）正對網(wǎng)前跳起將球水平擊出，球飛行中阻力不計，取g=10m/s2。（1）設擊球

點在3m線正上方且高度為2.5m,試問擊球的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不

越界？（2）若擊球點在3m線正上方的高度小于某個值，那么無論水平擊球的速度多大，

球不是觸網(wǎng)就是越界，試求這個高度。

7、在擲鉛球時，鉛球出手時離地面高度為h,若出手時速度為v°,求以何角度擲鉛球時,

鉛球水平射程最遠，最遠射程多少？

第九講:牛頓運動定律（動力學）

【知識要點】

1、牛頓運動定律的內(nèi)容：

牛頓第一定律：內(nèi)容（略）；它反映了物體不受力時的運動狀態(tài)：靜止或勻速直線運動

質(zhì)量是慣性大小的唯一量度。

牛頓第二定律：內(nèi)容（略）；數(shù)學表達式：Fa=ma。

適用范圍：慣性系。

三性：矢量性；瞬時性；獨立性。

牛頓第三定律：內(nèi)容（略）；表達式：F=-F'-適用于慣性系，也適用于非慣性系。

牛頓運動定律只適用于宏觀、低速的機械運動。

2、物體初始條件對物體運動情況的影響

在受力相同的情況下，物體的初始條件不同，物體的運動情況也不同。如拋體運動，

均只受重力作用，但初速度方向不同，運動情況就不同（平拋、斜拋、豎直上拋）；受

力情況只決定物體的加速度。物體的運動情況必須將物體的受力情況和初速度結合一起

加以考慮。

3、聯(lián)接體

聯(lián)接體是指在某一種力的作用下一起運動的兩個或兩個以上的物體。解題中要根據(jù)

它們的運動情況來找出它們的加速度的關系，尋找的方法一般有兩種，一種方法是從相

對運動的角度通過尋找各物體運動的制約條件，從而找出各物體運動的相對加速度間的

關系；另一種方法是通過分析極短時間內(nèi)的位移關系，利用做勻變速運動的物體在相同

時間內(nèi)位移正比于加速度這個結論，找到物體運動的加速度之間的關系。

【解題思路與