高考數(shù)學(xué)習(xí)題及答案 (八)

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)試卷

（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）

1、函數(shù)/（幻=戶的定義域是（）

VX+1

A.x<—1或x》lB.x<—1且x21C.x21D.—IWxWl

2、在四棱柱ABCD—AiBCD中，各棱所在直線與棱AAi所在直線成異面直線的有

（）

A.7條B.6條C.5條D.4條

3、下列命題中，正確的是（）

A.平行于同一平面的兩條直線平行B.與同一平面成等角的兩條直線平行

C.與同一平面成相等二面角的兩個(gè)平面平行D.若平行平面與同一平面相交，

則交線平行

4、下列通項(xiàng)公式表示的數(shù)列為等差數(shù)列的是（）

A.a-nB.a=n2-\C.a=5n+（-I）"D.a=3?-1

nn+\nnn

5、若sina=±ae（0,巴），則COS2a等于（）

52

A.—B.C.1D.—

25255

6、把直線y=—2x沿向量3=（2,1）平行，所得直線方程是（）

A.y=—2x+5B.y=—2x—5C.y=—2x+4D.y=—2x—4

7、已知函數(shù)/（3x）=log2形手，則f⑴值為（）

A、；B>1C>log275D>2

8.已知圓錐的底面半徑為V2,其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為

（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

9.下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=7sin（x-67）單調(diào)遞增的區(qū)間是（)

A.（0,I）B.（三，n）

C.（五，手）D.（亨，2弘）

22

10.已知F1,F2是橢圓C：?+-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上,則|MFj?|MF]

942

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

11.在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），若使目標(biāo)函數(shù)

z=ax+y（a>0）取最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則a的值等于（）

1

A.3B.1

C.6D.3

/(x)=-4---尸'x<-2N'則廣(一1；)

4

12.已知函數(shù)[log16(x+3),x>2,的值等于()

16_5

A.2lB.-2C.4D.-4

二、填空題（共4小題，每小題5分；共計(jì)20分）

1.某校有初中學(xué)生1200人，高中學(xué)生900人，老師120人，現(xiàn)用分層抽樣方法從

所有師生中抽取一個(gè)容量為N的樣本進(jìn)行調(diào)查，如果應(yīng)從高中學(xué)生中抽取60人，那

么N=.

2.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，定義必>(x)=/(x+D-/(x),稱必'(x)為函數(shù)/*)的邊際函數(shù)，某企業(yè)的一

種產(chǎn)品的利潤函數(shù)/幻=-/+30》2+1000(xe[10,25]且xeN*),則它的邊際函數(shù)小甲(x)

=.(注：用多項(xiàng)式表示)

3.已知a，"'分別為aABC的三邊，且3。2+3/-3,2+2"=0,則tanC=.

y=logi(x+2);

4.已知下列四個(gè)函數(shù)：①.2②,=3-2川;③y=l--；④y=3—(x+2)2.其中圖

象不經(jīng)過第一象限的函數(shù)有.(注：把你認(rèn)為符合條件的函數(shù)的序號(hào)都填上)

三、大題：(滿分30分)

1.2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從

2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項(xiàng)目.2016年該

項(xiàng)目的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均為上一

年的基礎(chǔ)上增長50%.記2016年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n

￡N*)年的累計(jì)利潤(注：含第n年，累計(jì)利潤=累計(jì)凈收入-累計(jì)投入，單位：

千萬元)，且當(dāng)f(n)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.

(1)試求f(n)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)預(yù)測，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由.

2

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：號(hào)+y2=l(a>0,aWl)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別

a

是F”F2,直線1：y=kx+m(k,m￡R)與橢圓交于A,B兩點(diǎn).

(1)若M為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，且△MFF2是直角三角形，求a的值；

(2)若k=l,且^OAB是以0為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求a與m滿足的關(guān)系；

(3)若a=2,且心?心=-工，求證：AOAB的面積為定值.

4

3.若存在常數(shù)k(k>0),使得對定義域D內(nèi)的任意xi,X2(xi",都有|f(xi)

-f(x2)|Wk|xi-X2I成

立，則稱函數(shù)f(x)在其定義域D上是“k-利普希茲條件函數(shù)”.

(1)若函數(shù)f(x)=4，(1WXW4)是“k-利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)k

的最小值；

(2)判斷函數(shù)f(x)=log2X是否是“2-利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明，

若不是，請說明理由；

(3)若y=f(x)(xeR)是周期為2的“1-利普希茲條件函數(shù)”，證明：對

任意的實(shí)數(shù)X“X2,都有

If(X1)-f(x2)IWl.

4.點(diǎn)6(2,3),號(hào)(-4,5)和A(-1,2),求過點(diǎn)A且與點(diǎn)片，P2距離相等的直線方程.

5.經(jīng)過點(diǎn)P(2,-l)且與直線3x-2y-6=0平行的直線/的方程.

6.過點(diǎn)P(l,-1)且與直線2x+3y+l=0垂直的直線/的方程.

參考答案：

一、選擇題:

1-5題答案:BDDDB

6To題答案:AABAC

11T2題答案:BD

二、填空題：

1、148；

2、-3/+57X+29(xe[10,251且xeN*)(未標(biāo)定義域扣1分)；

3、-2叵;

4、①，④(多填少填均不給分)

三、大題：

1.2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從

2017年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項(xiàng)目.2016年該

項(xiàng)目的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均為上一

年的基礎(chǔ)上增長50%.記2016年為第1年，f(n)為第1年至此后第n(n

￡N*)年的累計(jì)利潤(注：含第n年，累計(jì)利潤=累計(jì)凈收入-累計(jì)投入，單位：

千萬元)，且當(dāng)f(n)為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.

(1)試求f(n)的表達(dá)式;

(2)根據(jù)預(yù)測，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由.

【解答】解：(1)由題意知，第1年至此后第n(n￡N*)年的累計(jì)投入為8+2

(n-1)=2n+6(千萬元)，

第1年至此后第n(n￡N*)年的累計(jì)凈收入為尹|x2+---+lx

=(y)n-l(千萬元).

1年

...f(n)=(-|-)n-l-(2n+6)=(y)n-2n-7(千萬元).

n+1

(2)方法一:Vf(n+1)-f(n)=[(-1)-2(n+1)-7]-[(3.)n-2n-7]=1

今一］,

...當(dāng)nW3時(shí)，f(n+1)-f(n)<0,故當(dāng)nW4時(shí)，f(n)遞減;

當(dāng)n24時(shí)，f(n+1)-f(n)>0,故當(dāng)n24時(shí)，f(n)遞增.

又f(1)=-竽VO,f(7)=(_1)7_2i-5X1-21=-零VO,f(8)=(1-)8-23

光25-23=2>0.

...該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.

答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利；

方法二：設(shè)f(x)=(半尸-2*-7(x2l),則f'(x)=(■|_)X]n|__2，

令f'(x)=0,W=——i=——y---?——=5,

23In3-ln21.1-0.7

ln2

從而當(dāng)x￡[l,4)時(shí)，f'(x)<0,f(x)遞減；

當(dāng)*￡(4,+8)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,f(x)遞增.

又f(1)=-竽VO,f(7)=(_1)7_2產(chǎn)5X譽(yù)-21=-零VO,f(8)=(_|)8-23

心25-23=2>0.

/.該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利.

答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利.

2

2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：A_+y2=l(a>0,aWl)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別

a

是F”F2,直線1：y=kx+m(k,m￡R)與橢圓交于A,B兩點(diǎn).

(1)若M為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，且△MFF2是直角三角形，求a的值；

(2)若k=l,且AOAB是以0為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求a與m滿足的關(guān)系;

(3)若a=2,且%?G=-工，求證：^OAB的面積為定值.

4

【解答】解：(1)..5為橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，且△MFF2是直角三角形，

.?.△MFF2為等腰直角三角形,

...OF尸0M,

當(dāng)a>l時(shí)，^a2_1=l,解得a=&,

當(dāng)0<aV1時(shí)，J12=a，解得@=返，

vi-a2

(2)當(dāng)k=l時(shí);y=x+m,設(shè)A(Xi,yi),(x2,y2),

由,x22，即(1+a?)x2+2a2mx+a2m2-a2=0,

—2"+y=1

Xi+X2=-Z.2』

1+a2

J

*.yiy2=(Xi+m)(x2+m)=XiX2+ni(Xi+x2)+m=i5-Z2.

???AOAB是以0為直角頂點(diǎn)的直角三角形,

OA,OB=O,

.*.XiX2+yiy2=0,

?a211r&2”2七2:0

1+a21+a2

a2m2-a2+m2-a2=0

Am2(a2+l)=2a2,

(3)證明：當(dāng)a=2時(shí),x2+4y2=4,

設(shè)A(x”y])，(x2,y2),

?koA*koB=-—>

yy

??l--.--2=-_-1

Xjx24

?X1X2二-4yly2,

92

由X+4y=4,整理得，(1+41?)x2+8kmx+4m2-4=0.

y=kx+in

8k

/.Xi+x2=-~-->X]X2=41n2-4,

l+4k2l+4k2

22

yiY2=(kxi+m)(kx2+m)=kXiX2+km(xi+x2)+m

=41112k2-4k2+-8k2m2+m2=m27k2,

l+4k2l+4k2l+4k2

222

4in-4--4ym-4kr

l+4k2l+4k2

2m2-4kJi,

64k丸？_16彌2-16

??AB；=4l+k2,yj(X1+x2)

(1+4k2)2l+4k2

=2I----DW4k2+]F2=4717^-7^

V1+k荷廠

VO至Ij直線y=kx+m的品巨離d=7局=，

SAOAB=1IAB|逅

22l+4k2石京l+4k2

3.若存在常數(shù)k(k>0),使得對定義域D內(nèi)的任意xi,X2(xi",都有存(xi)

-f(x2)IWk|Xi-X2I成

立，則稱函數(shù)f(x)在其定義域D上是“k-利普希茲條件函數(shù)”.

(1)若函數(shù)f(x)=遙，(10W4)是“k-利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)k

的最小值;

(2)判斷函數(shù)f(x)=log2X是否是“2-利普希茲條件函數(shù)”，若是，請證明，

若不是，請說明理由；

(3)若y=f(x)(xeR)是周期為2的“1-利普希茲條件函數(shù)”，證明：對

任意的實(shí)數(shù)Xi,X2,都有

|f(Xi)-f(X2)|Wl.

【解答】解：(1)若函數(shù)f(x)=VL(1WXW4)是“k-利普希茲條件函數(shù)”，

則對于定義域［1,4］上任意兩個(gè)Xi,x2(X1WX2)，均有|f(xi)-f(x2)|Wk|xi

-X2|成立,

不妨設(shè)x〉X2,貝ijk2&立［下=1r恒成立.

町一乂2Vxl+Vx2

?.?1WX2〈XIW4,

4VX12

.?.k的最小值為1.

2

(2)f(x)=log2X的定義域?yàn)?0,+8),

令Xi=L,X2=L,貝！Jf(工)-f(-)=logi-log—=-1-(-2)=1,

24242242

而2|X「X2|=Lf(Xi)-f(x)>2|x-x|,

2212

函數(shù)f(x)=log2x不是“2-利普希茲條件函數(shù)”.

證明：(3)設(shè)f(x)的最大值為M,最小值為m,在一個(gè)周期［0,2］內(nèi)f(a)

=M,f(b)=m,

貝U|f(xi)-f(x2)|WM-m=f(a)-f(b)W|a-b|.

若|a-b|WL顯然有|f(Xi)-f(x2)|W|a-b|Wl.

若不妨設(shè)a>b,則0Vb+2-aVl,

A|f(xj)-f(X2)|WM-m=f(a)-f(b+2)W|a-b-21Vl.

綜上，|f(xi-f(x2)|W1.

4.點(diǎn)6(2,3),6(-4,5)和A(-1,2),求過點(diǎn)A且與點(diǎn)片，尸?距離相等的直線方程?

分析：可以用待定系數(shù)法先設(shè)出直線方程，再求之；也可從幾何意義上考察

這樣的直線具有的特征.

解：(法1)設(shè)所求直線方程為y-2=k(%+1),即Zx-y+左+2=0,由點(diǎn)打、鳥到

直線的距離相等得：

|2Z-3+%+2|」-4女-5+左+2|

收+iylk2+l

化簡得|3左一］=|一3左一3|，貝I有：3左一1=—3左一3或3左一1=3左+3,

即攵=」或方程無解.

3

方程無解表明這樣的女不存在，但過點(diǎn)A,所以直線方程為x=-l,它與R,P2

的距離都是3.

.??所求直線方程為y—2=—；*+1)或%=一1.

(法2)設(shè)所求直線為/,由于/過點(diǎn)A且與片，鳥距離相等，所以/有兩種情況，

如下圖：

⑴當(dāng)6，尸2在/同側(cè)時(shí)，有/〃枕，此時(shí)可求得/的方程為y-2=*=(x+l),

即y-2=-；(x+l);

⑵當(dāng)6，尸2在/異側(cè)時(shí)，/必過匕鳥中點(diǎn)(T，4)，止匕時(shí)/的方程為x=-1.

.??所求直線的方程為y—2=—；(x+l)或x=T.

說明：該題如果用待定系數(shù)法解易漏掉x=-l,即斜率不存在的情況.所以無

論解什么題目，只要圖形容易畫出，就應(yīng)結(jié)合圖形，用代數(shù)法、幾何法配合來解.

5.經(jīng)過點(diǎn)尸(2,-1)且與直線3%-2廣6=0平行的直線/的方程.

分析：已知直線/與直線3x-2y-6=0平行，故/的斜率可求，又/過已知點(diǎn)P,

利用點(diǎn)斜式可得到/的方程.另外由于/與已知直線平行，利用平行直線系方程,