尺規(guī)作圖知識歸納

考點(diǎn)名稱：尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖：是指限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來完成的畫圖。一把沒有刻度的直尺看似不能做什么，畫一個(gè)圓又不知道它的半徑，畫線段又沒有精確的長度。

其實(shí)尺規(guī)作圖的用處很大，比方單用圓規(guī)找出一個(gè)圓的圓心，量度一個(gè)角的角度，等等。

運(yùn)用尺規(guī)作圖可以畫出與某個(gè)角相等的角，十分方便。尺規(guī)作圖的中根本作圖：

作一條線段等于線段；

作一個(gè)角等于角；

作線段的垂直平分線；

作角的角平分線；

過一點(diǎn)作直線的垂線。

還有：

一角、一邊做等腰三角形

兩角、一邊做三角形

一角、兩邊做三角形

依據(jù)公理：

還可以根據(jù)條件作三角形，一般分為三邊作三角形，兩邊及夾角作三角形，兩角及夾邊作三角形等，作圖的依據(jù)是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。注意：

保存全部的作圖痕跡，包括根本作圖的操作程序，只有保存作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理。尺規(guī)作圖方法：

任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種方法：

·通過兩個(gè)點(diǎn)可作一直線。

·圓心和半徑可作一個(gè)圓。

·假設(shè)兩直線相交，可求其交點(diǎn)。

·假設(shè)直線和一圓相交，可求其交點(diǎn)。

·假設(shè)兩圓相交，可求其交點(diǎn)?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解什么是尺規(guī)作圖．2．學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成以下五種根本作圖：(1)畫一條線段等于線段；(2)畫一個(gè)角等于角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過點(diǎn)畫直線的垂線；(5)畫角平分線．3．了解五種根本作圖的理由．4．學(xué)會(huì)使用精練、準(zhǔn)確的作圖語言表達(dá)畫圖過程．5．學(xué)會(huì)利用根本作圖畫三角形等較簡單的圖形．6．通過畫圖認(rèn)識圖形的本質(zhì)，體會(huì)圖形的內(nèi)在美．【根底知識精講】1．尺規(guī)作圖：限定只用直尺和圓規(guī)來完成的畫圖，稱為尺規(guī)作圖．注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比擬廣泛．2．尺規(guī)作圖中的最根本、最常用的作圖稱為根本作圖．3．根本作圖共有五種：(1)畫一條線段等于線段．如圖24-4-1，線段DE．求作：一條線段等于線段．作法：①先畫射線AB．②然后用圓規(guī)在射線AB上截取AC＝MN．線段AC就是所要作的線段．(2)作一個(gè)角等于角．如圖24-4-2，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射線O′A′；②以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D．③以點(diǎn)O′為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交O′A′于C′．④以點(diǎn)C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D′．⑤經(jīng)過點(diǎn)D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線．如圖24-4-3，線段AB．求作：線段AB的垂直平分線．作法：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D．②作直線CD．直線CD就是線段AB的垂直平分線．注意：直線CD與線段AB的交點(diǎn)，就是AB的中點(diǎn)．(4)經(jīng)過一點(diǎn)作直線的垂線．a(chǎn)．經(jīng)過直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線，如圖24-4-4．：直線AB和AB上一點(diǎn)C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C．作法：作平角ACB的平分線CF．直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4．b．經(jīng)過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．如圖24-4-5，：直線AB和AB外一點(diǎn)C．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C．作法：①任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁．②以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．③分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F．④作直線CF．直線CF就是所求的垂線．注意：經(jīng)過直線上的一點(diǎn)，作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決．(5)平分角．如圖24-4-6，∠AOB．求作：射線OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分別截取OD、OE．②分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C．③作射線OC．OC就是所求的射線．注意：以上五種根本作圖是尺規(guī)作圖的根底，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由根本作圖組成的，同學(xué)捫要高度重視，努力把這局部內(nèi)容學(xué)習(xí)好．通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握以下作圖語言：(1)過點(diǎn)×和點(diǎn)×畫射線××，或畫射線××．(2)在射線××上截取××＝××．(3)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫?。?4)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點(diǎn)×．(5)分別以點(diǎn)×，點(diǎn)×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)×．(6)在射線××上依次截取××＝××＝××．(7)在∠×××的外部或內(nèi)部畫∠×××＝∠×××．注意：學(xué)過根本作圖后，在作較復(fù)雜圖時(shí)，屬于根本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過程，只用一句話概括表達(dá)就可以了．如：(1)畫線段××＝××．(2)畫∠×××＝∠×××．(3)畫××平分∠×××，或畫∠×××的角平分線．(4)過點(diǎn)×畫××⊥××，垂足為點(diǎn)×．(5)作線段××的垂直平分線××，等等．但要注意保存全部的作圖痕跡，包括根本作圖的操作程序，不能因?yàn)樽鞣ǖ谋磉_(dá)省略而作圖就不按程序操作，只有保存作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理．【經(jīng)典例題精講】例1兩邊及其夾角，求作三角形．如圖24-4-7，：∠α，線段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b．③連結(jié)BC．如圖24-4-8，△ABC即為所求作的三角形．注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個(gè)步驟：、求作、作法，比擬復(fù)雜的作圖題，在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析．例2如圖24-4-9，底邊a，底邊上的高h(yuǎn)，求作等腰三角形．線段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底邊BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，分別連結(jié)AB和AC，即可作出等腰△ABC來．作法：(1)作線段BC＝a．(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點(diǎn)D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)連結(jié)AB、AC．如圖24-4-10，△ABC即為所求的等腰三角形．例3三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形．如圖24-4-11，線段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)．分析：如圖24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中線AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此這個(gè)Rt△AED可以作出來(△AED為奠基三角形)．當(dāng)Rt△AED作出后，由的關(guān)系可作出點(diǎn)B和點(diǎn)C，于是△ABC即可得到．作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延長ED到B，使．(3)在DE或BE的延長線上取．(4)連結(jié)AB、AC．那么△ABC即為所求作的三角形．注意：因?yàn)槿切沃?，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；假設(shè)m＝h，那么作出的圖形為等腰三角形．例4如圖24-4-13，線段a．求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為1∶2．分析：因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?，“半周長為a〞就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因?yàn)榱庑螌吰叫?，那么同旁?nèi)角互補(bǔ)，由“鄰角之比為1∶2〞可知，菱形較小內(nèi)角為60°，那么菱形較短對角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形．所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形，那么得到的四邊形即為所求的菱形ABCD．作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a．(2)作線段AC，使．(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B，D．(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，那么四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)．注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法〞．例5如圖24-4-15，∠AOB和C、D兩點(diǎn)．求作一點(diǎn)P，使PC＝PD，且使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．分析：要使PC＝PD，那么點(diǎn)P在CD的垂直平分線上，要使點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等，那么P應(yīng)在∠AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點(diǎn)就是垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)了．作法：(1)連結(jié)CD．(2)作線段CD的中垂線l．(3)作∠AOB的角平分線OM，交l于點(diǎn)P，P點(diǎn)為所求．注意：這類定點(diǎn)問題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點(diǎn)即為定點(diǎn)，當(dāng)然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求．【中考考點(diǎn)】例6(2000·安徽省)如圖24-4-16，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，那么可供選擇的地址有()A．一處B．二處C．三處D．四處分析：到直線距離相等的點(diǎn)在相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點(diǎn)．解：分別作相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點(diǎn)共有四個(gè)．答案：D．注意：此題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時(shí)，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點(diǎn)．例7(2002·陜西省)如圖24-4-17，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，工人師傅要把它加工成—個(gè)正方形零件，使C為正方形的—個(gè)頂點(diǎn)，其他三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、BC、AC邊上．(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法，保存作圖痕跡)；(2)工人師傅測得AC＝80cm，BC＝120cm，請幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長．解：(1)作∠ACB的平分線與AB的交點(diǎn)E即為正方形—頂點(diǎn)，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點(diǎn)F、D即為所作正方形另兩個(gè)頂點(diǎn)，如圖24-4-17．(2)設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長為xcm，∵DE∥AC，∴，∴．∴x＝48．答：這個(gè)正方形零件的邊長為48cm．注意：此題是幾何作圖和幾何計(jì)算相結(jié)合題目，要求讀者對根本作圖務(wù)必掌握，同時(shí)對作出圖形的性質(zhì)要清楚．例8(2002·山西省)如圖24-4-18①，有一破殘的輪片(不小于半個(gè)輪)，現(xiàn)要制作一個(gè)與原輪片同樣大小的圓形零件，請你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識，設(shè)計(jì)兩種方案，確定這個(gè)圓形零件的半徑．分析：欲確定這個(gè)圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖②中是這個(gè)零件的半徑，圖③中OB是這個(gè)零件半徑．解：如圖24-4-18②③所示．【常見錯(cuò)誤分析】例9如圖24-4-19，線段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的高AD＝h．并答復(fù)以下問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？錯(cuò)解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直線CD上截取CB＝a．如圖24-4-20，那么△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形全等．誤區(qū)分析：此題錯(cuò)解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部．正解：如圖24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直線CD上截取CB＝a(在點(diǎn)C的兩側(cè))．那么△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出結(jié)論有兩邊及—邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形不一定全等．注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎．【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】學(xué)習(xí)本單元根本作圖，主要是運(yùn)用觀察法，通過具體的操作，了解各種根本作圖的步驟，掌握作圖語言．【規(guī)律總結(jié)】畫復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不到作法，—般是先畫出一個(gè)符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫圖步驟．有時(shí)，也可以根據(jù)條件和根本作圖，先作局部三角形，再以此為根底，根據(jù)有關(guān)條件畫出其余局部，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法．考點(diǎn)一尺規(guī)作圖1．定義：只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖．2．步驟：(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出和求作局部；(2)分析作圖的方法和過程；(3)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法．考點(diǎn)二五種根本作圖1．作一線段等于線段；2．作一個(gè)角等于角；3．作角的平分線；4．過一點(diǎn)作直線的垂線；5．作線段的垂直平分線．考點(diǎn)三根本作圖的應(yīng)用1．利用根本作圖作三角形(1)三邊作三角形；(2)兩邊及其夾角作三角形；(3)兩角及其夾邊作三角形；(4)底邊及底邊上的高作等腰三角形；(5)一直角邊和斜邊作直角三角形．2．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖(1)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內(nèi)切圓．尺規(guī)作圖簡史：“規(guī)〞就是圓規(guī)，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規(guī)〞這個(gè)字.“矩〞就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股.

矩的使用是我國古代的一個(gè)創(chuàng)造，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女媧氏手執(zhí)規(guī)〞之圖形.矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.

《史記》卷二記載大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩〞.趙爽注《周髀算經(jīng)》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高低之勢，……乃勾股之所由生也.〞意即禹治洪水，要先測量地勢的上下，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠(yuǎn)的中國古代.

春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，《墨子》卷七中說“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.〞《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強(qiáng)的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以規(guī)矩，不能成方圓.〞可見，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，規(guī)矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實(shí)用性.

古代希臘人較重視規(guī)、矩在數(shù)學(xué)中訓(xùn)練思維和智力的作