金融計量學課件

金融計量學初步1.1金融計量學的范疇1.2金融時間序列數(shù)據(jù)1.3金融計量分析中的基本概念

1.1金融計量學的范疇金融計量學的范疇涵蓋微觀和宏觀兩個層面。資產(chǎn)定價模型（CAPM）、行為金融分析中的事件研究方法等屬于微觀金融領(lǐng)域的計量分析，而動態(tài)時間序列模型更多地用在宏觀金融領(lǐng)域。

隨著學科的發(fā)展，金融計量方法的微觀與宏觀分析也不是絕對涇渭分明的，微宏觀分析的結(jié)合也是金融計量分析中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象。從具體內(nèi)容上看，金融計量學涵蓋了宏微觀金融理論檢驗、資本資產(chǎn)定價、金融變量相關(guān)關(guān)系的假設檢驗、經(jīng)濟狀態(tài)對金融市場的影響分析以及金融變量預測等多方面的內(nèi)容。

1.2金融時間序列數(shù)據(jù)廣義地講，將某種金融隨機變量按出現(xiàn)時間的順序排列起來稱為金融時間序列。從現(xiàn)實世界的角度看，金融時間序列就是指在一定時期內(nèi)按時間先后順序排列的金融隨機變量。

圖1.1

上證綜合指數(shù)時間序列數(shù)據(jù)(a)2000年1月-2015年8月數(shù)據(jù)來源：國泰安數(shù)據(jù)庫圖1.1

上證綜合指數(shù)時間序列數(shù)據(jù)(b)2004年7月1日-2015年8月1日（5天/周）數(shù)據(jù)來源：國泰安數(shù)據(jù)庫圖1.2人民幣/美元匯率

2009年11月2日——2015年8月31日數(shù)據(jù)來源：FederalReserveBankofSt.Louis圖1.3

美元/英鎊匯率

1978年4月28日——2015年9月11日數(shù)據(jù)來源：FederalReserveBankofSt.Louis圖1.4

中國CPI通脹率

1995年1月－2015年8月數(shù)據(jù)來源：中國國家統(tǒng)計局、經(jīng)濟景氣月報圖1.5

中國M1增長率（環(huán)比）

2000年1月——2015年7月數(shù)據(jù)來源：中國人民銀行（經(jīng)作者計算）

從這幾幅圖中可以看到，不同的金融時間序列變量展示出各種各樣的變動軌跡，經(jīng)濟學者經(jīng)常把金融時間序列變量的這種隨時間變化的軌跡稱為“動態(tài)路徑”，其中“動態(tài)”一詞的含義實質(zhì)上就是指“隨時間變化”。1.3金融計量分析中的基本概念1.3.1增長率和收益率簡單凈收益率（SimpleNetReturn）:連續(xù)復合收益率（ContinuouslyCompoundedReturn）：對于多期（multi-period）來說,

對于季度頻率數(shù)據(jù)，年度化的增長率計算公式為:

對于月度頻率數(shù)據(jù)，年度化的增長率計算公式是:

1.3.2隨機變量與隨機過程例如：

其中：表示表示隨機變量:

誤差項

就是一個隨機變量，這里假設這一隨機誤差變量服從正態(tài)分布。在更多的情形下，隨機變量

被假設服從獨立一致性分布（independentlyandidenticallydistributed），或者簡記做

i.i.d.。

與隨機變量緊密相關(guān)但又有區(qū)別的一個概念就是隨機過程。當我們希望對一個金融時間序列進行分析時，通常把

看作是一個隨機過程的實現(xiàn)。寬泛地說，

隨機過程就是定義在一定概率空間的一組具有相同特性的隨機變量。

1.3.3隨機分布:

X和Y的聯(lián)合分布可定義為：

其中：

為聯(lián)合分布函數(shù)中的參數(shù)。假定

X與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)，并且嚴格有定義，則有：

與聯(lián)合分布相對的概念是邊際分布。例如，X的邊際分布可以通過將聯(lián)合分布中與X不相關(guān)的賦值設為

來獲得:

當X是一個一維的隨機變量而不是向量形式時，邊際分布的定義就成為下面常見的形式：這一公式在統(tǒng)計學中也稱為X的累積分布函數(shù)，其取值范圍在0與1之間。雖然CDF的概念稍微有些抽象，但是其在金融計量學中有著廣泛的應用，特別是在計算統(tǒng)計量的p-值過程中非常有用。例如，利用F分布的累積分布函數(shù)可以計算F檢驗統(tǒng)計量的p-值。

條件分布，顧名思義，就是隨機變量在給定條件下的分布。例如，給定

的條件，X的條件分布可以定義為：

如果利用前面提到的概率密度函數(shù)的概念，還可以寫成：其中,表示邊際分布函數(shù)，并且滿足1.3.4隨機變量的期望與矩

從統(tǒng)計學角度來說，一個隨機變量X的第n階矩可以定義為：

一些定義:隨機變量的1階矩叫做均值。隨機變量的2階矩叫做方差。隨機變量的3階矩又稱為偏度，它度量了隨機變量分布的非對稱程度。隨機變量的4階矩又稱尾峰度，其衡量隨機變量分布的尖峰程度或平坦程度。

樣本矩:有用的運算規(guī)則:

1.3.5

金融模型與金融計量模型金融模型是依據(jù)一定的金融理論所建立的確定的等式關(guān)系。例如依據(jù)資產(chǎn)定價模型，寫出確定的等式：

其中，rt表示單項資產(chǎn)的預期收益率，rf表示無風險收益率，rm表示組合資產(chǎn)預期收益率，β表示單項資產(chǎn)的風險系數(shù)。在這種等式關(guān)系（金融模型）中不包含隨機擾動因素。金融計量模型是在金融模型的基礎(chǔ)上，增加了隨機擾動因素，用以捕捉其他可能影響金融模型等式左側(cè)變量的因素。雖然這種隨機因素一般是不可觀測的，但是我們總可以對其統(tǒng)計分布特征加以假設或者約束，從而實現(xiàn)對金融計量模型的回歸估計。以剛才提到的資產(chǎn)定價模型為例，其對應的金融計量模型就應該寫成：其中ut是模型中的隨機擾動項。

37

金融計量軟件介紹2.1綜合介紹2.2EViews使用簡介2.3GAUSS使用簡介2.4Stata使用簡介

38EViewsS-PLUSStataPc-GiveSASGaussRATSC++

金融計量軟件介紹

近年來，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，計量軟件的應用越來越廣泛。相應地，計量軟件的數(shù)量也越來越多，例如，常見的計量軟件包括Eviews、PC-GIVE、STATA、WinRATS、SAS、SHAZAM、MATLAB和GAUSS等等。

392.1綜合介紹

2.2Eviews使用簡介

EViews是EconometricsViews的縮寫，其前身是計量軟件TSP。

除了處理金融時間序列數(shù)據(jù)模型，EViews在管理和處理橫截面數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)方面也非常方便，并具有強大的命令功能和豐富的程序處理語句。

1）啟動EViews

4546

2）創(chuàng)建工作文檔

3）創(chuàng)建對象

484）導入數(shù)據(jù)

如果待處理和使用的數(shù)據(jù)存放在Excel工具中，可以使用以下步驟直接進行導入：首先，在主菜單中選擇“PROCS”－>“IMPORT”－>“READTEXTLOTUSEXCEL”；然后選擇存放數(shù)據(jù)的Excel文件；接著按提示內(nèi)容對話框填寫相關(guān)信息，最后點擊“OK”。

如果數(shù)據(jù)量不大，更快捷的一種導入數(shù)據(jù)的方式就是拷貝與粘貼。例如，可以直接拷貝待使用的數(shù)據(jù)，然后粘貼到工作文檔中的相應對象中。如果在工作文檔中尚未建立相應的對象，需要首先利用上文介紹的方法創(chuàng)建對象，然后粘貼數(shù)據(jù)。50

5）繪制圖示

6）回歸分析

在了解了EViews的工作文檔建立和數(shù)據(jù)導入等知識后，就可以進行初步的計量回歸分析了。假定當前工作文檔中含有兩個變量序列，分別示"y"和"x"。如果我們想要使用"y"對"x"回歸，即：

在主菜單中選擇

Quick/EstimateEquation，隨后跳出回歸設立的對話框，在相應的對話框內(nèi)填寫信息，如在“Equationspecification”對話框內(nèi)按順序?qū)懮稀皔cx”，其中c是EViews默認的常數(shù)項，然后在EsimatingSettings/Method選項內(nèi)選擇使用的回歸估計方法。

7）常用的EViews命令log(x)

計算x的自然對數(shù)x(-1)x滯后1期x(-2)x滯后2期

d(x)

計算x的一次差分，即x–x(-1)

scalara=21.3

對a進行賦值scalarb=3^3

對b賦值，讓其等

于3*3*3=27genra=b*b

生成一個序列，

等于b的平方smpl1990:12001:1定義樣本區(qū)間1990Q1-2001Q1558）EViews使用的一個簡單實例

接下來，我們使用一個實際操作的例子，利用1980年至2005年中國居民消費支出與可支配收入數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)為年度頻率。

2.3GAUSS使用簡介

GAUSS計量軟件在處理矩陣與大規(guī)模計算方面十分強大。作為開始，我們先來快速瀏覽一下GAUSS（8.0版）的開始界面（見圖1）。在初始界面中，你可以看到命令（輸入-輸出）窗口。圖中所示，當前的工作路徑是C:\gauss8.0（當你執(zhí)行一個程序或是語句，GAUSS會自動在該目錄下尋找相關(guān)內(nèi)容）。不過，你可以通過點擊圖2所示的“File-ChangeWorkingDirectory”來改變工作路徑。

1）簡介圖1

1）簡介圖2

2）GAUSS命令模式與編輯模式

>>x=rndn(100,2);y=rows(x);printy;x=rndn(100,2);y=rows(x);printy;runC:\gauss8.0\example1.prg;100.00000

3）導入數(shù)據(jù)

假設你的數(shù)據(jù)存儲在excel文檔中，你可以通過“spreadsheetreadm”命令來導入你的數(shù)據(jù)。舉例來說，假設“realactivitydata.xls”保存在原始工作路徑中，然后輸入：file=SpreadsheetReadM("realactivitydata","b3:b189",1);你的excel文件中b3到b189（sheet1中）的數(shù)據(jù)將被導入到GAUSS中。如果你的數(shù)據(jù)是以*.dat形式存儲的，那么你可以非常方便的使用下面的語句來導入數(shù)據(jù)：data=loadd(“C:\gauss8.0\data.dat”);

4）GUASS的程序

一個簡單程序的例子如下：/*ThisprogramiswrittenbyChengsiZhangforthecourseofFinancialEconometrics*/proc(1)=_simpleregression(_data);@(1)#ofarg.returnedbyretp(,)@localx,y;@Init.localvar.:xandy@x=_data[1:rows(_data),2:3];y=_data[1:rows(_data),1:1];beta=ols(){vnam,m,b,stb,vc,stderr,sigma,cx,rsq,resid,dwstat}

=ols(_data,y,x);retp(b);@Comp.OLSestimatesforcoefficients@endp;

現(xiàn)在你可以調(diào)用這個程序：

returns=_simpleregression(data);

5）常用的命令與操作符

命令：Everycommandmustendwithasemicolon“;”ClearScreen:clsResetmemory:newLoadingoflibraries:library’Library-Name’Out-commenting:@...@anexpressioninalineOut-commenting:/*...*/awholeparagraph操作符：Selectsubmatrixfrommatrix:X[startro:endrow,startcolumn:endcolumn]Transpositionoperator:’MatrixOperators:+-*\%Element-by-elementoperators:.+.-.*.\Kroneckerproduct:.*.Concatenatingoperators:~|

6）用GAUSS來創(chuàng)建圖表

2.4STATA使用簡介

Stata是一款常用計量軟件，數(shù)據(jù)管理和統(tǒng)計功能都較為全面，也擁有較為優(yōu)秀的作圖功能。和EViews等軟件類似，Stata同樣適用于時序分析、截面數(shù)據(jù)以及面板數(shù)據(jù)等不同環(huán)境下的計量分析。接下來我們對Stata的數(shù)據(jù)管理、統(tǒng)計、作圖和編程進行介紹。我們介紹的內(nèi)容以Stata13版本為基礎(chǔ)，不過基本內(nèi)容適用于Stata的各不同版本。

1）STATA界面

2）輸入命令

Stata可以像一個計算器一樣工作，使用display命令即可進行運算。（開頭的點號在輸入時請忽略，它只是顯示該行命令是用戶輸入）.display12+1224.display2*ttail(20,2.1).04861759

3）獲得幫助

Stata有非常好的聯(lián)網(wǎng)幫助系統(tǒng)，想獲得關(guān)于某命令的幫助信息就輸入help

command，斜體部分代之為某命令或其簡約式，這時會彈出“查看(viewer)”窗口，展示該命令的相關(guān)內(nèi)容。當然也可以在菜單中選擇help—command，然后鍵入某命令，請讀者試一下helpttail。如果你需要用某個功能的命令，但是不知道其名稱，Stata提供了search功能，用于搜索，格式為search

command，用戶自行在逗號后加上一些選項，具體內(nèi)容可以查閱helpsearch。Stata13及之后版本啟動search之后會自動在Stata網(wǎng)頁資源中搜尋，讀者可以自行嘗試一下searchStudent'st，就會顯示與t分布相關(guān)的所有內(nèi)容。一如t分布，讀者可以自行嘗試找出正態(tài)分布、卡方分布、F分布的概率分布函數(shù)。

4）STATA的數(shù)據(jù)導入

Stata有一些系統(tǒng)自帶的樣本數(shù)據(jù)，我們現(xiàn)在導入其中一個自帶樣本auto.dta數(shù)據(jù)，使用命令sysuseauto（sysuse命令同樣可以后綴一些選項，例如sysuseauto,clear，具體內(nèi)容讀者可以查閱helpsysuse），該數(shù)據(jù)包含了美國1978年的汽車銷售相關(guān)數(shù)據(jù)。我們可以通過sysusedir命令來查看所有Stata自帶數(shù)據(jù)包，如果想了解某個數(shù)據(jù)樣本包含的具體內(nèi)容，可以通過describe命令查看。（正如讀者所見，有d有下劃線，意味著讀者可以通過只輸入一個字母d來代替整個describe命令）

5）描述性統(tǒng)計量

Variable|ObsMeanStd.Dev.MinMax-------------+-----------------------------------------------------------------------------------price|746165.2572949.496329115906rep78|693.405797.989932315讓我們對感興趣的變量進行初步的描述性統(tǒng)計，使用summarize命令：.summarizepricerep78

6）畫散點圖

7）計算得到新變量

generate命令用于生成新的變量，其用法是gennew_var_name=f(var_name)，f()是某個代數(shù)表達式，作用于已有變量，得到一個新的變量。對新變量進行恰當?shù)拿呛苤匾?，能夠幫助使用者記憶該變量的實際含義，例如對原變量取對數(shù)之后形成的新變量我們常常會在原變量名前加log或l來命名。不過有時候這種符合命名方式可能不太易讀，或是帶來一些困擾，有些編程者就偏好用“_”來對分隔變量名，例如例子中的gear_ratio就是這種命名方式，更為清晰易讀。也有人偏好大小寫穿插的“駝峰式”命名方式，例如GearRatio，單個詞的首字母大寫，同樣起到很好的分隔單詞作用，建議用戶選取一種自己偏好的命名方式，并在之后的編程書寫過程中一以貫之。

8）簡單線性回歸

9）回歸之后的一些命令

在估計了回歸模型之后，Stata中有一系列基于估計結(jié)果的衍生命令，其中一個如predict，用于生成擬合值或殘差。具體命令如下：.predictp_price(optionxbassumed;fittedvalues)

10）給數(shù)據(jù)添加擬合直線

11）列出某個觀測值

.listmakepriceifprice>15000,clean

Makeprice

13.Cad.Seville15,906.listpriceweightifmake=="Audi5000",cleanpriceweight

53.96902830

12）工作路徑與保存Stata文件

查看

.cdE:\STATA13更改.cd“D:\STATA13”86

差分方程、滯后運算與

動態(tài)模型3.1一階差分方程3.2動態(tài)乘數(shù)與脈沖響應函數(shù)3.3高階差分方程3.4滯后算子與滯后運算法

3.1一階差分方程

3.1.1差分方程的定義(3.1)

一個差分方程就是指將一個變量的當期值定義為它的前一期和一個當期的隨機擾動因素的函數(shù)。模型（3.1）等式的右側(cè)只有因變量的一次滯后期出現(xiàn)，這樣的差分方程稱為一階差分方程。87圖3.1美國CPI環(huán)比通脹率

1948年1季度-2015年2季度原始數(shù)據(jù)來源：FredData,FederalReserveBankofSt.Louis，經(jīng)作者計算。89一些差分運算常用的表達式:903.1.2一階差分方程的求解(反復迭代法):91

可以觀察到，（1）如果,那么

的取值隨著m的不斷增大而減小，最終減為0，此時稱為收斂序列。（2）如果

，那么

的取值隨著m的不斷增大將不會逐漸減小為0，而是趨近于無窮大。此時稱為非收斂序列。（3）如果，差分方程描繪的變量序列仍然是非收斂序列，但這種特殊情況下的差分方程對應一個專門的名稱，叫做隨機游走過程。圖3.2（a）經(jīng)過以上分析，可以得出結(jié)論：一階差分方程中的一階滯后項的系數(shù)的大小關(guān)鍵性地決定了差分方程的求解結(jié)果。實際上，這個系數(shù)的取值也關(guān)鍵性地決定了時間序列變量的動態(tài)走勢特征。

后面的圖即描繪了一階差分方程中不同系數(shù)的所對應的序列的動態(tài)路徑。

95圖3.2（b）96圖3.2（c）97圖3.2（d）98圖3.2（e）99圖3.2（f）

3.2動態(tài)乘數(shù)與脈沖響應函數(shù)

3.2.1動態(tài)乘數(shù)（dynamicmultiplier）3.2.2脈沖響應函數(shù)（impulseresponsefunction,IRF）3.2.1動態(tài)乘數(shù)

3.2.2脈沖響應函數(shù)

從動態(tài)乘數(shù)的定義可知，對應每一個時期跨度j，有一個對應的動態(tài)乘數(shù)，那么如果將不同時期跨度j的動態(tài)乘數(shù)按j從小到大的順序擺放在一起，形成一個路徑，就成為了脈沖響應函數(shù)。

累積脈沖響應函數(shù)：

累積脈沖響應函數(shù)用來衡量隨機擾動因素出現(xiàn)永久性變化后，即都變化一個單位，對造成的影響和沖擊情況。

從模型可知，如果

條件滿足，在極限情況下，累積脈沖響應函數(shù)就等于。無論是脈沖響應函數(shù)還是累積脈沖響應函數(shù)，其根本特性都由一階滯后項系數(shù)決定。

圖3.3(a)

(a)圖3.3(b)

(b)圖3.3(c)(c)圖3.3(d)

(d)圖3.3(e)

(e)圖3.3(f)

(f)

圖3-3非常清晰地顯示出，不同的

取值，對應的脈沖響應函數(shù)圖表現(xiàn)非常不同。歸納來說：

在

的情況下，如(a)和(b)情形，體現(xiàn)在脈沖響應函數(shù)中的動態(tài)乘數(shù)隨時間跨度j的增加而呈現(xiàn)幾何式遞減并最終趨近于0的趨勢。

當

時，如(e)情形，動態(tài)乘數(shù)的取值正負號交替變化，但是這些動態(tài)乘數(shù)的絕對值是呈現(xiàn)逐漸遞減至0的，這種情形經(jīng)常被形象地稱作“震蕩式衰減”。

這樣，對于

的情況，從脈沖響應函數(shù)圖來看，隨機擾動因素對序列

的沖擊將最終消失，而對應的一階差分方程在這種情況下就是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。

再來考察其它可能的情況：首先，如果

，如(c)，動態(tài)乘數(shù)始終等于1，而不管時間跨度j如何變化。這樣，一個單位的變化將導致序列

永久性地變化一個單位。

其次，對于

的情況，(d)描繪了對應例子的脈沖響應函數(shù)圖，可以看出，動態(tài)乘數(shù)隨時間跨度j的增加呈現(xiàn)幾何式上升趨勢。而當時，動態(tài)乘數(shù)表現(xiàn)出震蕩式不斷上升的變化。可見，在的條件下，對應的一階差分方程為不穩(wěn)定系統(tǒng)。3.3高階差分方程

一階差分方程可以拓展到二階以及更高階的差分方程，為方便起見，把高于一階的差分方程統(tǒng)一稱為高階差分方程。假設差分方程的階數(shù)為p，則p階差分方程的一般表達式可以寫成：

要從高階向一階轉(zhuǎn)化，首先定義幾個常用矩陣：

例如p＝5時，現(xiàn)在，p階差分方程就可以轉(zhuǎn)化為：即，通過反復迭代，可以得到：

對模型進行向前迭代，可以得到：

其中：

表示矩陣F的j次冪。這樣，對比F矩陣與Y矩陣的定義，可以獲得p階差分方程的動態(tài)乘數(shù)，即：

對比F矩陣與Y矩陣的定義，可以獲得p階差分方程的動態(tài)乘數(shù)，即：

其中：

為矩陣

的第1行第1列位置上的元素。一旦動態(tài)乘數(shù)的解析表達式求解出來了，對應的p階差分方程的脈沖響應方程就可以很容易獲得了。

3.4滯后算子與滯后運算法

3.4.1滯后算子定義與性質(zhì)

滯后算子以英文單詞“l(fā)ag”的大寫首字母L表示，基本的運算規(guī)則如下:

根據(jù)這個定義，二階差分方程：

可以寫成：

滯后算子運算還符合標準的“結(jié)合律”與“交換律”等如下運算法則：（1）

（2）對任何常數(shù)A取滯后運算還等于原常數(shù)，即

。

（3）結(jié)合與分配律，即

。（4）交換律，即

。

運用以上介紹的滯后算子運算規(guī)律，可以將二階差分方程寫成：即

這里常被稱為滯后算子多項式。

因此，差分方程也可以寫成：初次學習滯后算子，可以把滯后算子與經(jīng)濟學中常用的期望聯(lián)系起來理解。滯后算子操作符也屬于類似的概念范疇，也就是說，L在這里不僅僅是一個符號，它代表了一種運算過程。一個非常有用的性質(zhì)：

其中，c表示常數(shù)項。利用滯后算子，模型可以寫成：在等式兩邊同除以

，則得到：對于二階差分方程

對于模型：

根據(jù)滯后算子的性質(zhì)，滯后算子對常數(shù)項并不產(chǎn)生影響，所以模型等號右側(cè)的第一項就是

。從而，模型可以寫成：

利用滯后算子，還可以簡化高階差分方程的表達式。例如，對于p階差分方程，利用滯后算子可以寫作：

（3.39）

或者寫出更為簡潔的形式：

其中：

。由此

可知，

。

3.4.2差分方程的穩(wěn)定性

差分方程的穩(wěn)定性是指由差分方程生成的數(shù)據(jù)的收斂性。這里需要介紹與差分方程相關(guān)的特征方程和逆特征方程。對于一般的p階差分方程來說，其特征方程為：

（3.40）

如果差分方程中的系數(shù)均為已知，則可以求出特征方程（3.40）的根，稱為特征根，而這些特征根的大小決定了相應的差分方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？梢宰C明，如果特征方程的所有根（或者根的模）均落在單位圓內(nèi)，那么差分方程系統(tǒng)是穩(wěn)定的。之所以經(jīng)常使用“單位圓”來比照特征根的“大小”，是因為特征根可能是實數(shù)也可能是復數(shù)。圖3.4差分方程的特征根

與單位圓

與特征方程僅有一字之差的逆特征方程，也經(jīng)常被許多教材和相關(guān)文獻使用，所以這里同樣給出逆特征方程的概念。與p階差分方程相對應的逆特征方程表達式為：圖3.5差分方程的

逆特征根與單位圓137

平穩(wěn)金融時間序列：AR模型4.1基本概念4.2一階自回歸模型AR（1）4.3二階自回歸模型AR（2）4.4p階自回歸模型AR（p）4.1基本概念4.1.1隨機過程與數(shù)據(jù)生成過程

隨機過程：

從隨機概率論的概念出發(fā)，隨機過程是一系列或一組隨機變量的集合，用來描繪隨機現(xiàn)象在接連不斷地觀測過程中的實現(xiàn)結(jié)果。對于每一次觀測，得到一個觀測到的隨機變量。

如果使用數(shù)學語言來定義隨機函數(shù)，給定一個時間域T，對于T中每一個參數(shù)t，都有一個取值于確定集合W的隨機變量

，其中s屬于一個特定的樣本區(qū)間。所以對于一個給定的t，

是一個隨機變量。對于一個確定的樣本s，

就是在s上的一組實現(xiàn)值,而集合

就是一個隨機過程。

數(shù)據(jù)生成過程:利用下面的回歸模型來說明，即：

假設模型中所有系數(shù)已知或者是已經(jīng)設立了的，那么給定解釋變量

的一組觀測值，回歸模型就可以生成對應的一組值，則模型就是一個數(shù)據(jù)生成過程。

DGP適用于理論上的問題與真實世界的事例之間的比較。

例如:中國國際股票指數(shù)和隨機游走過程看上去相似嗎？股票的收益率序列符合白噪音過程嗎？圖4.1

數(shù)據(jù)生成過程（右側(cè)坐標）與現(xiàn)實中的金融隨機變量圖4.1

數(shù)據(jù)生成過程（右側(cè)坐標）與現(xiàn)實中的金融隨機變量4.1.2自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)

假定

是一個隨機變量，自協(xié)方差定義的是

與其自身滯后期之間的協(xié)方差，即“自身的協(xié)方差”。常見的協(xié)方差的基本定義是：

其中：

表示期望。從而可以知道，

與其自身滯后j期

之間的協(xié)方差定義為：

對于均值保持不變的隨機過程來說，

時，即為方差：

隨機變量x和y的相關(guān)系數(shù)模型為：

自相關(guān)函數(shù)，即

與

的自相關(guān)函數(shù)定義為：

一般將

相對于滯后期數(shù)j繪制出的圖示稱為自相關(guān)圖。

4.1.3弱平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)的定義弱平穩(wěn)（weaklystationarity）有時也叫協(xié)方差平穩(wěn)（covariance-stationarity）

或二階平穩(wěn)（second-orderstationarity)。弱平穩(wěn)的定義：

對于隨機時間序列

，如果其期望值、方差以及自協(xié)方差均不隨時間t變化而變化，則稱

為弱平穩(wěn)隨機變量，即對于所有時間t，

必須滿足以下條件：(i)為不變的常數(shù)；(ii)為不變的常數(shù)；

(iii)平穩(wěn)還暗示著：對于一個弱平穩(wěn)過程，自相關(guān)函數(shù)并且：

嚴平穩(wěn)的定義：

如果對于任何

，隨機變量的集合只依賴于不同期之間的間隔距離而不依賴于時間t，那么這樣的集合稱為嚴格平穩(wěn)過程或簡稱為嚴平穩(wěn)過程，對應的隨機變量稱為嚴平穩(wěn)隨機變量。4.1.4白噪音過程（whitenoiseprocess）

一個隨機過程如被稱為白噪音過程，則組成該過程的所有隨機序列彼此互相獨立，并且均值為0，方差為恒定不變值。

即對于所有時間t，如果滿足下列條件

(i)(ii)(iii)則是白噪音過程。圖4.3白噪音過程的

自相關(guān)圖對于白噪音過程，總有如下等式成立：

以及

白噪音過程中的觀測值彼此之間互相獨立，白噪音過程不能由其以前的信息來預測，至少從線性角度看是這樣的。

如果一個白噪音過程還滿足正態(tài)分布的條件，即服從正態(tài)分布，這樣的過程稱為高斯白噪音過程。例如：

就是一個典型的樣本為T的白噪音過程。4.2一階自回歸模型:AR（1）

4.2.1AR（1）過程的基本定義和性質(zhì)

AR（1）模型可以寫成：

4.2.2AR（1）過程的均值4.2.3AR（1）過程的方差

平穩(wěn)序列的觀測值表現(xiàn)出一種向其均值水平回復的特征，這種特征在金融時間序列分析中稱“均值回復”，對應的英文名詞是“mean-reverting”。

圖4.4AR（1）模擬生成的序列圖與相關(guān)統(tǒng)計量(a)樣本=30

圖4.4AR（1）模擬生成的序列圖與相關(guān)統(tǒng)計量(b)樣本=1000隨著樣本的增大，樣本均值和方差與理論上的真實值會越來越接近。通過比較圖4.4中不同樣本數(shù)據(jù)對應的樣本均值和方差可以看出，只有30個觀測值的序列均值和方差分別為1.302和0.2342=0.055，與真實值之間有明顯的出入；而對于1000個觀測值的序列，其均值和方差分別是3.262和0.972=0.947，與理論真實值已經(jīng)非常接近了。4.2.4AR（1）過程的自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)

所以，，而對于，其取值越靠近于1，則暗示序列相鄰觀測值之間的相關(guān)性越強。很明顯，平穩(wěn)AR（1）過程的自相關(guān)函數(shù)圖應該是隨著滯后期數(shù)的增加而呈現(xiàn)逐漸衰減的態(tài)勢。

4.2.5一階自回歸系數(shù)的影響下面利用實際例子進一步演示自回歸系數(shù)取值不同對自相關(guān)系數(shù)以及序列動態(tài)走勢的影響。圖4.5AR（1）過程的自相關(guān)函數(shù)圖

圖4.6AR（1）模型的自相關(guān)函數(shù)圖

圖4.7（a)圖4.7（b)圖4.7（c）圖4.7（d）4.3二階自回歸模型:AR（2）

4.3.1AR（2）過程的基本定義和性質(zhì)

4.3.2AR（2）過程的均值4.3.3AR(2)的方差、自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)因此，又因為自相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)可得自相關(guān)函數(shù)在前2期的解析表達式

進而可推導出平穩(wěn)AR（2）模型的方差解析表達式：圖4.8AR(2)模型生成的序列數(shù)據(jù)(a)圖4.8AR(2)模型生成的序列數(shù)據(jù)(b)圖4.8AR(2)模型生成的序列數(shù)據(jù)(c)4.4p階自回歸模型:AR(p)4.4.1AR(p)過程的基本定義和性質(zhì)4.4.2AR(p)過程的均值4.4.3AR（2）過程的方差和自協(xié)方差故有：

（4.77）（1）如果自回歸系數(shù)和白噪音的方差

已知，那么它們可以用來解出AR（p）過程的自協(xié)方差

。這里，維列向量由下面維矩陣的第一個列向量的p個值唯一確定：

其中：表示

維的單位矩陣，F(xiàn)是在第2章中定義的維矩陣，符號

表示“克羅內(nèi)克”乘積。4.4.4AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)

ACF服從于勒-沃克等式（Yule-Walkerequations）

例子:在AR(2)過程里，實例應用AR（2）過程：其特征根方程為：圖4.9圖4.10需要注意，對于AR（2）模型來說，隨著滯后期j的增大，自相關(guān)函數(shù)（絕對值）不一定總是單調(diào)遞減的！這一點與AR（1）模型不同，因為對于平穩(wěn)AR（1）模型來說，自相關(guān)函數(shù)的絕對值一定是單調(diào)遞減的。為了說明這一點，現(xiàn)在考慮另外一個AR（2）模型：

圖4.11圖4.12

作為最后一個示范，圖4.12給出了另外一個AR（2）模型對應的自相關(guān)函數(shù)圖。請讀者思考，這個自相關(guān)函數(shù)圖為什么會出現(xiàn)震蕩式衰減形式？是什么因素決定了這種表現(xiàn)形式？如果給定一個AR（3）模型，如何繪制對應的自相互函數(shù)圖呢？

平穩(wěn)金融時間序列:ARMA模型5.1移動平均過程(MAProcess)5.2自回歸移動平均過程(ARMAProcesses)5.3部分自相關(guān)函數(shù)(PartialAutocorrelations)5.4樣本自相關(guān)與部分自相關(guān)函數(shù)5.5自相關(guān)性檢驗5.6ARMA模型的實證分析及應用5.7實例應用：中國CPI通脹率的AR模型5.1移動平均過程(MAProcess)5.1.1MA(1)模型圖5.1模擬生成的MA(1)序列均值方差自協(xié)方差

自相關(guān)函數(shù)

如果

換成它的倒數(shù)形式

，表達式

是保持不變的。所以，對于

取介于-0.5和0.5之間的實數(shù)，可以產(chǎn)生完全相同的自相關(guān)函數(shù)圖。圖5.2(a)MA（1）過程的

理論自相關(guān)函數(shù)圖圖5.2(b)MA（1）過程的

理論自相關(guān)函數(shù)圖圖5.2(c)MA（1）過程的

理論自相關(guān)函數(shù)圖圖5.2(d)MA（1）過程的

理論自相關(guān)函數(shù)圖可逆性(Invertibility)

對進行整理,不難看出其是一種無窮AR過程,或?qū)懗?即:

以上推導過程說明了一個MA(1)過程的可逆條件，即當

時，MA(1)過程可逆。在這種情況下，

MA(1)過程可以“逆”過來寫成

的形式。5.1.2MA(2)模型圖5.3MA(2)過程模擬

生成的序列5.4MA(2)過程的理論

自相關(guān)函數(shù)圖MA(2)過程的可逆

與MA(1)過程對應的概念類似，MA(2)過程的可逆性是指將MA(2)過程轉(zhuǎn)化寫成

的特性。

MA(2)過程可逆，要求逆特征方程

的根要全部落在單位圓內(nèi)。5.1.3MA（q）模型q

階移動平均過程:

MA(q)過程的可逆條件:

逆特征方程

的所有根都落在單位圓外。5.2自回歸移動平均過程5.2.1ARMA（p,q）過程的基本定義其中：滯后算子多項式滿足和。其中,滯后算子多項式滿足和

。

5.2.2ARMA（p,q）過程的平穩(wěn)性與可逆性

從MA過程的特性知道，MA過程在任何條件下都是平穩(wěn)過程，所以，對于ARMA過程的平穩(wěn)性要求，就完全表現(xiàn)在對AR部分的要求上。平穩(wěn)性

對于任意一個ARMA過程

其平穩(wěn)性要求是，等式的根都要落在單位圓內(nèi)。如果其中一個或多個根落于單位圓上，則此時的ARMA(p,q)過程稱為自回歸單整移動平均過程，記做ARIMA(p,d,q)。

可逆性ARMA（p,q）過程的可逆條件是都要落在單位圓外，與純MA（q）過程的可逆條件完全相同。5.2.3ARMA（p,q）過程的均值、方差和自協(xié)方差

5.2.4ARMA（p,q）過程的自相關(guān)函數(shù)圖5.5ARMA（1，1）的

理論自相關(guān)函數(shù)圖5.2.5AR與MA模型的相互轉(zhuǎn)化如果平穩(wěn)性和可逆性都滿足，那么AR、MA和ARMA之間可以相互轉(zhuǎn)化。

ARMA轉(zhuǎn)化為MAARMA轉(zhuǎn)化為AR

利用滯后算子的特性，可以進一步寫成更為直觀的形式，即：其中：，并且滯后算子。

其中：

，并且滯后算子。

一般來說，將ARMA模型轉(zhuǎn)化成MA模型的目的，是可以清楚地考查以往的隨機沖擊因素當前

的影響效果。所以在實證研究中，MA模型或者MA的表達形式經(jīng)常被用來分析隨機擾動因素對代表特定含義的金融或經(jīng)濟變量的影響情況。典型的例子就是我們在第3章介紹的脈沖相應函數(shù)。

另一方面，將ARMA模型轉(zhuǎn)化成AR模型的形式，經(jīng)?？梢杂脕砜坍嬆承┙鹑跁r間序列變量的動態(tài)路徑。5.3部分自相關(guān)函數(shù)

部分自相關(guān)函數(shù)是指

與

之間，在剔除了這兩期通過中間的

形成的線性依賴關(guān)系后，而存在的相關(guān)性。

對于一個AR(1)模型，因為如果不考慮在

與

之間的“橋梁”和“紐帶”作用，剔除了它的中間影響，那么PACF在第2個滯后期就應該是0。圖5.6AR（1）模型的

理論PACF

在實際中，還有一種估計PACF的方法PACF可以用來區(qū)分AR與MA過程，因為對于一個AR(p)模型，其PACF應該在p個滯后期之后陡然降為0，而對于MA(q)模型來說，由于它可以轉(zhuǎn)化為的形式，所以其對應的PACF應該呈現(xiàn)出逐漸衰減、向0趨近的態(tài)勢。

無論對于ACF還是PACF，如果圖示出現(xiàn)在某一期陡然減小為0（并且之后也為0）的現(xiàn)象，通常可以形象地描述為ACF或PACF“在某期后出現(xiàn)截尾特征”。相反，如果圖示出現(xiàn)逐漸衰減的態(tài)勢，則可以描述為“拖尾特征”。圖5.7AR與MA模型的

PACF比較表5.1

AR與MA模型的ACF與PACF特征比較AR(p)模型MA(q)模型ACF拖尾q期后截尾PACFp期后截尾拖尾5.4樣本自相關(guān)與部分自相關(guān)函數(shù)5.4.1樣本自相關(guān)函數(shù)（SACF）Ljung和Box(1978)Q-統(tǒng)計量

5.4.2樣本部分自相關(guān)函數(shù)(SPACF)

在EViews軟件中，樣本部分自相關(guān)函數(shù)的求解過程通過下面的步驟實現(xiàn)：1)利用樣本數(shù)據(jù)和SACF的模型求出2)利用模型進行循環(huán)計算獲得SPACF在其它各滯后期的值，即5.4.3實例演示2000年1月－2015年8月數(shù)據(jù)來源：國泰安數(shù)據(jù)庫圖5.9上海證券綜合指數(shù)的SACF、SPACF以及Q-統(tǒng)計量圖5.10上海證券綜合指數(shù)的SACF、SPACF以及Q-統(tǒng)計量圖5.10上海證券綜合指數(shù)的SACF、SPACF以及Q-統(tǒng)計量5.5自相關(guān)性檢驗5.5.1Breusch-GodfreyLM序列相關(guān)性檢驗基本思路:將原始回歸模型寫成一般形式:

其中：

表示包括常數(shù)項在內(nèi)的一組解釋變量。

下面，就可以寫出Breusch-GodfreyLM檢驗利用的輔助回歸等式，即：Breusch-GodfreyLM檢驗的原假設是，待檢驗的序列不存在最多至m期的序列相關(guān)性，即：

而備擇假設是：

Breusch-GodfreyLM檢驗的統(tǒng)計量等于有效樣本大小乘以回歸得到的擬合優(yōu)度（goodnessoffit）,即LM檢驗統(tǒng)計量在原假設條件下，Breusch-GodfreyLM檢驗的統(tǒng)計量服從自由度為m的卡方分布()。

荷蘭計量經(jīng)濟學家Kiviet(1986):Breusch-GodfreyLM檢驗過程中，最好使用與原假設合備擇建設相對應的F-統(tǒng)計量，即：其中：

和

分別表示在有約束條件下和無約束條件下回歸等式的殘差平方和，而k表示輔助回歸等式中解釋變量的總共個數(shù)。5.5.2DurbinWatson序列相關(guān)性檢驗

D-W檢驗的統(tǒng)計量定義為：

該檢驗的原假設為待檢驗的序列不存在一階序列相關(guān)性，備擇假設是存在一階自相關(guān)性。注意，該檢驗只局限在對一階序列相關(guān)性的檢驗。若將統(tǒng)計量中的分子項展開，可得：將上式代入到統(tǒng)計量中，同時注意到：那么，可以得到D-W檢驗統(tǒng)計量的另外一個近似表達式，即：

由

的數(shù)量關(guān)系可以得到：若不存在序列相關(guān)性，即

接近于0，那么D-W統(tǒng)計量應該非常接近于2，若序列相關(guān)性非常強，即

接近于1或者-1，則D-W統(tǒng)計量應該非常接近于0或者4。在現(xiàn)實中，通過D-W統(tǒng)計量快速判斷是否存在一階自相關(guān)性的方法之一就是看D-W統(tǒng)計量與2的比較。D-W檢驗存在至少三個方面的弱點：1.D-W檢驗只能檢驗一階自相關(guān)性，不能用來檢驗高于一階的情況。2.D-W檢驗要求原始回歸方程中一定不能含有被解釋變量的滯后項。3.D-W檢驗存在無法判定的檢驗區(qū)域即在某個實數(shù)域內(nèi)，如果檢驗統(tǒng)計量落在了這個域內(nèi)，則D-W檢驗無法判斷是否拒絕原假設。5.6ARMA模型的實證分析與應用5.6.1ARMA模型的滯后期設立

使用ARMA模型分析實際問題，首先需要處理的問題就是模型中的滯后期數(shù)。如何設立一個“最優(yōu)”的滯后期數(shù)？對這個問題的回答，可以歸結(jié)到著名的Box-Jenkins模型選擇原則，基本思想是在確立滯后期時，應該兼顧模型的簡約度和擬合程度。

一般有兩種常見的方法可供選擇滯后期使用。第一種方法稱為“向下檢驗”法?！跋蛳聶z驗”法的基本內(nèi)容是，從一個最大滯后期開始檢驗最后一個滯后項的系數(shù)是否顯著，如果不顯著，則去掉該滯后項，依此類推進行下去直至最后一個滯后項系數(shù)顯著為止。

以AR模型為例，首先可以根據(jù)具體問題設定一個最大的滯后期數(shù)，如

，然后估計AR()模型，即：

“向下檢驗”法首先進行以下檢驗：

若拒絕原假設，則最優(yōu)滯后階數(shù)為

，從而確定AR()為實證估計模型。

相反，如果原假設不能被拒絕，那么開始下一輪估計與檢驗，即估計：

并檢驗：

如果原假設被拒絕，那么“向下檢驗”的步驟到此為止，對應選擇的最優(yōu)滯后期數(shù)為（-1）。

另一個經(jīng)常使用的滯后期數(shù)選擇的方法是所謂的信息準則法，常用的信息準則包括AkaikeInformationCriterion(AIC)和SchwartzInformationCriterion(SIC)，SIC有時也寫成BIC。

假定分析的模型是類似

樣的AR模型,對應的有效樣本大小為

，那么AIC和SIC的定義如下：5.6.2ARMA模型的回歸估計

假設我們估計下面的AR模型：

假設模型不存在序列相關(guān)性，那么可以使用傳統(tǒng)的OLS估計，即用當前期的

作為被解釋變量，對一個常數(shù)項和它本身的p個滯后期進行回歸。

盡管模型可以看作一個傳統(tǒng)的回歸方程，但是，又存在一個特殊的實踐性問題，那就是如何處理初始值。例如，在t=1時，回歸方程應該寫成：圖5-12AR模型回歸估計中滯后造成的觀測值缺失及處理5.7實例應用:中國CPI通脹率的AR模型

例：考查中國的季度CPI通脹率的動態(tài)模型設立與估計。我們使用公布的月度價格指數(shù)（上年同月）的季末月份觀測值（減100）作為研究的季度數(shù)據(jù)，以減少由月度平均數(shù)作為季度數(shù)據(jù)可能帶來的序列相關(guān)性。首先考慮AR還是MA模型比較適合用來捕捉我國通脹率的動態(tài)路徑。圖5.13

中國季度CPI通脹率（％）1995Q1-2015Q2

模型是否可能包含滑動平均（MA）項呢？如果通脹率隨機時序軌跡的真實數(shù)據(jù)生成過程含有MA成份，其部分自相關(guān)函數(shù)應該呈現(xiàn)拖尾態(tài)勢，而ACF會出現(xiàn)截尾現(xiàn)象。從圖中看到，通脹率變量的PACF在一定滯后期數(shù)后陡然切斷到0，而SACF則呈現(xiàn)出拖尾現(xiàn)象，從而表明用AR(p)模型來刻畫我國通脹率的時序特性比較合理。要利用AR模型獲得相對合理可靠的估計，AR模型的滯后期數(shù)應該科學有據(jù)地選取?？梢猿跏荚O定8期，然后根據(jù)AIC標準來確定最優(yōu)滯后期數(shù)（循環(huán)減少期數(shù)直至AIC達到最小值），從而也符合計量中模型確立的“從一般到特殊”的規(guī)則。在實踐中，依據(jù)BIC標準選擇的結(jié)果也完全一致。圖5-14中國CPI通脹率的

PACF與SACF根據(jù)以上分析，基本的模型設定為：其中：

代表通脹率，

是截矩項，

是序列不相關(guān)的隨機擾動誤差項。表5.2中國CPI通脹率

AR(5)模型的估計結(jié)果圖5.15AR(5)模型回歸的

殘差序列圖5.15AR(5)模型回歸的

殘差序列的自相關(guān)圖

預測理論與應用

6.1基本概念與預測初步6.2基于MA模型的預測6.3基于AR模型的預測6.4預測準確性度量指標6.1基本概念與預測初步

6.1.1基本概念

預測集：考慮一個時序變量y，擁有歷史數(shù)據(jù)從1到T。假定沒有任何其他信息，那么對y的未來預測所依據(jù)的信息集可以寫成：這種信息集稱為單變量信息集。

如果還有其他變量x也影響y的未來走勢，那么就形成多變量信息集，即：預測期預測期（forecastinghorizon）是指當期與預測對應的日期之間的時間間隔。預測分析中經(jīng)常使用“向前h-期預測”這樣的表述，其中h就表示預測期。圖6-1預測期為4期的點預測

最優(yōu)預測最優(yōu)預測（optimalforecast）是指在給定信息集下，預測結(jié)果能夠最小化預測損失（假定存在損失函數(shù)）。在一般情況下，可以證明給定信息集下的條件期望就是最優(yōu)預測，即E(yT+h|ΩT)。6.1.2預測初步：基于時間趨勢模型的預測（1）線性時間趨勢模型如果我們考慮變量yt對時間t進行計量回歸，并且考慮帶有常數(shù)項c，那么對應的線性時間趨勢模型就是其中ε表示隨機擾動項，暫時假設為獨立同分布；β是回歸模型的斜率系數(shù)，其正負決定了y是增長趨勢還是減弱趨勢序列，其大小決定了趨勢序列的陡峭程度。另外，在模型中，t的取值完全和時間一一對應。在初始時點t=1，在第二個時點t=2，以此類推。如果樣本為T，那么t的取值就是（1，2，…，T-1，T）。圖6-2基于不同參數(shù)取值的時間趨勢序列基于EViews的程序：基于GAUSS的程序：圖6-3

美國平民勞動力人口與線性時間趨勢模型擬合結(jié)果

圖6-3描繪了美國平民勞動力人口數(shù)量（CivilianLaborForce，以CLF表示）的原始序列，同時報告了以CLF作為因變量的線性時間趨勢模型回歸后（使用OLS回歸）的擬合序列。

從圖6-3中不難看出，CLF似乎可以大致用線性趨勢模型來刻畫其動態(tài)路徑。從擬合結(jié)果來看，在1980年之后的區(qū)間內(nèi)線性趨勢模型對CLF的擬合程度相對之前更高。圖6-4（2）非線性時間趨勢模型

圖6-4描繪的從1995年1月至2015年6月上海證券交易所證券交易總額的月度時間序列，從中我們就看到非常明顯的非線性走勢。二次型時間趨勢模型是非線性趨勢模型中比較簡單和常見的類型之一，其模型可以寫成因為上面的模型中時間趨勢項的最高階是二次方的形式，所以這樣的模型稱為二次型時間趨勢模型。

圖6-5上交所證券交易總額與二次型時間趨勢模型擬合結(jié)果

需要說明的是，單純從擬合效果來判定模型設立形式并不一定是最合適的選擇，因為計量模型設立的另外一個重要原則是簡約（parsimony）。對于非線性時間趨勢模型更是如此。（3）基于時間趨勢模型的預測分析

假定我們現(xiàn)在處于時刻T，我們的預測期是h，那么根據(jù)線性時間趨勢模型，我們可以寫出h期以后序列y的點預測值對應的表達式，即實踐中的預測結(jié)果實際上可以寫成

獲得了點預測值之后，還可以進一步計算其對應的置信區(qū)間。以95%的置信區(qū)間為例，置信區(qū)間上限界為，其中表示回歸模型中擾動項的標準差估計值。

上述過程以線性時間趨勢模型為例，但對于非線性時間趨勢模型，我們?nèi)匀豢梢杂妙愃频倪^程來進行預測。6.2基于MA模型的預測

MA(2)模型可以寫成其中WN表示“服從正態(tài)分布的白噪音”，即“高斯白噪音”（Gaussianwhitenoise）。T+1時刻的點預測值就可以寫成

繼續(xù)對T+2期進行預測

依此類推的話，對于T+2期以上（我們用T+h表示）的點預測值應該都為0，即預測誤差就是指實際值與預測值之間的差，即從T+1時刻開始一直到T+h時刻對應的預測誤差分別可以寫成如下形式：

進一步得到預測誤差對應的方差表達式，即對于如下形式的MA（q）過程

對于h<q的情形，y的點預測值可以寫成如下形式（類似模型（6.9）的形式）：擾動信息

對于h>q的情形，y的點預測值則變成

對于無窮階MA過程其中，從而，6.3基于AR模型的預測AR(1)可以寫成

……

從以上過程我們可以看出，基于AR模型的預測，實質(zhì)上是運用了所謂的“鏈式法則”（ChainRule），一環(huán)一環(huán)地套下去，可以獲得未來任意一期的預測值。將AR（1）寫成MA(∞)的形式，即，對比得出，

可以得到AR(1)模型對應的預測誤差項的方差及其標準差表達式表6-1預測準確度的

常用度量指標6.4預測準確定的度量指標325

非平穩(wěn)金融時間序列模型7.1確定性趨勢模型7.2隨機性趨勢模型7.3去除趨勢的方法7.1確定性趨勢模型

所謂確定性趨勢，是指模型中含有明確的時間t變量，從而使得某一時序變量隨著時間而明確地向上增長。最簡單的線性確定性趨勢模型可以寫成

(7.1)

其中表示均值為0的平穩(wěn)隨機變量。

對(7.1)兩邊同取期望，可得

(7.2)

(7.2)說明，只要系數(shù)不為0，則序列的均值隨時間推移而不斷增大。正因為這個特點，確定性趨勢模型也稱為“均值非平穩(wěn)”過程圖7-1中國真實GDP美國真實GDP美國真實GDP時序數(shù)據(jù)：1947年1季度—2015年2季度7.2隨機性趨勢模型7.2.1隨機趨勢模型的基本定義

考慮AR(1)模型：其中代表方差為的白噪音過程。

將模型寫成：。

如果假設初始觀測值為

，那么通過反復迭代可以得到：

這個表達式可以看成是一種隨機常數(shù)項，由于每個隨機擾動因子對

的條件均值的影響都是永久性的，所以這樣的模型經(jīng)常被稱為隨機趨勢模型。7.2.2隨機游走模型

實際上，模型(7.8)的形式就是一個隨機游走過程。那么隨機游走過程的特點有哪些呢？首先，從基本定義式可以看到，隨機游走過程就是一個常數(shù)項為0并且自回歸系數(shù)為1的AR（1）模型。

進一步考察隨機過程的均值和方差：根據(jù)自協(xié)方差的定義，有：進而，可以獲得自相關(guān)函數(shù)的表達式：圖7-2隨機游走過程與

高持久性AR（1）比較7.2.3帶有截距項的隨機游走模型如果現(xiàn)在假設模型(7.8)中增加了一個常數(shù)項，即(7.16)其它假設均不變。此時的模型稱為帶有截距項的隨機游走過程

RWD的均值、方差:RWD的自協(xié)方差:RWD的自相關(guān)函數(shù):圖7-3帶有截距項的

隨機游走過程RWD的樣本自相關(guān)函數(shù)7.3去除趨勢的方法

在實際應用當中，平穩(wěn)時間序列要比非平穩(wěn)時間序列具有更多吸引人的特性。另外，平穩(wěn)時間序列與非平穩(wěn)時間序列在某些重要特性方面差異明顯。

但是，含有趨勢的時間序列卻永遠也不會回復到一個長期的固定水平。隨機擾動對含有趨勢的時間序列的影響將是長久的，表現(xiàn)出一種長期的記憶性。

如果含有趨勢成分的非平穩(wěn)時間序列參與到計量回歸中，許多經(jīng)典的回歸估計假設條件將不再滿足，所以就必須小心解釋相應的統(tǒng)計檢驗和統(tǒng)計推斷，有的情況下會出現(xiàn)所謂的“偽回歸