正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)周期性（人教A版必修4）

yx0y=sinx(x∈R)1.4.2正弦、余弦函數(shù)的周期性世界上有許多事物都呈現(xiàn)“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，如年有四季更替，月有陰晴圓缺.這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上稱為周期性，在函數(shù)領(lǐng)域里，周期性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).今天是星期三.7天后星期幾？14天后、98天后呢？

前面我們還研究了三角函數(shù)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx它們也有類似的特征嗎？問題探究問題1.觀察正弦函數(shù)的圖象，它具有哪些特征？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1y=cosx探究1：觀察正弦函數(shù)的圖象，它具有哪些特征？.y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2π誘導(dǎo)公式其理論依據(jù)是什么？問題探究正弦曲線每相隔

個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn).探究2：設(shè)f(x)=sinx，則可以怎樣表示？

f(x+2kπ)=f(x)我們把f(x)=sinx稱為周期函數(shù),2kπ為這個(gè)函數(shù)的周期

(其中k∈z且k≠0).一、周期函數(shù)的概念

探究3：我們把函數(shù)f(x)=sinx稱為周期函數(shù).那么，如何定義一般的周期函數(shù)呢？周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)

那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個(gè)函數(shù)的周期.探究4：周期函數(shù)的周期是否唯一？正弦函數(shù)y=sinx的周期有哪些？

答：周期函數(shù)的周期不止一個(gè).

±2π，±4π，±6π，…都是正弦函數(shù)的周期，事實(shí)上，任何一個(gè)常數(shù)2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.【最小正周期】

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),則這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.

今后本書中所涉及到的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期.【最小正周期】

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),則這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.今后本書中所涉及到的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期.答：正弦函數(shù)y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π思考5：我們知道±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函數(shù)y=sinx有最小正周期嗎？若有，那么最小正周期T等于多少？

正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期

T=2π．

探究5：就周期性而言，對正弦函數(shù)有什么結(jié)論？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy-1O1xy=cosx對余弦函數(shù)呢？余弦函數(shù)y=cosx是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期T=2π．(1)觀察等式

是否成立？如果成立，能不能說是y=sinx的周期？對于f(x+T)＝f(x)中每一個(gè)x都要成立討論：答：不能.因?yàn)橛懻摚?2)由誘導(dǎo)公式，是否可以說的周期為2π?

針對f(x+T)＝f(x)中自變量x本身所加的常量T才是周期。所以

的周期不是

(3)T(T≠0)是f(x)的周期，kT(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期？

周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，若T是周期，則kT(k∈Z且k≠0)一定也是周期。討論：XX+2πyx024-2y=sinx(x∈R)oyx4π8πxoy6π12πT是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k為非零整數(shù))(3)T(T≠0)是f(x)的周期，kT(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期嗎？討論：(4)是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？

周期函數(shù)必有周期，但不一定有最小正周期。討論：例1求下列函數(shù)的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;

解⑴

∵3cos(x+2π)=3cosX

∴f(x+T)=f(x)由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2π知識應(yīng)用⑵y=sin2x,x∈R;sin(2x+2π)sin2x=解：∵sin2(x+π)=

∴f(x+T)=f(x)由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為π⑶y=2sin(-),x∈R;

∴f(x+T)=f(x)由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為4π解：

由上例知函數(shù)y=3cosx的周期T=2π；函數(shù)y=sin2x的周期T=π；函數(shù)y=2sin(-)的周期T=4π想一想：這些函數(shù)的周期與解析式中的量有關(guān)嗎？若有，有什么樣的關(guān)系？

題號（1）（2）（3）x的系數(shù)12周期T2ππ4π一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

(A＞0，ω＞0)的最小正周期是多少?限時(shí)搶答

(2)函數(shù)的最小正周期為_______

(4)函數(shù)的最小正周期為______一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

(A＞0，ω＞0)的最小正周期是多少?限時(shí)搶答

(2)函數(shù)的最小正周期為_______

(4)函數(shù)的最小正周期為______2(5)函數(shù)的最小正周期為,

則限時(shí)搶答

限時(shí)搶答

（2）函數(shù)的最小正周期為：

限時(shí)搶答

（5）函數(shù)的最小正周期為,則限時(shí)搶答

限時(shí)搶答

（4）函數(shù)的最小正周期為：

例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)=0，試判斷f(x)是否為周期函數(shù)？解：由題意得：f(x＋2)=-f(x)∴f(x+4)=即f(x＋4)=f(x)∴由周期函數(shù)的定義知，f(x)是周期函數(shù).f(x)=-[-f(x)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]=函數(shù)周期求法：1.定義法：2.公式法：3.圖象法:

一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ為常數(shù)，且A≠0,ω≠0）的周期是:1.一個(gè)周期函數(shù)的周期有多少個(gè)?周期函數(shù)的圖象具有什么特征?參考答案：無數(shù)個(gè)，重復(fù)性

練習(xí)2.已知函數(shù),使f(x)的周期在(2/3,4/3)內(nèi),則正整數(shù)k的最小值和最大值分別是多少?解：函數(shù)f(x)的最小正周期為，

故，得，

又k為正整數(shù)，

故k的最小值為15，最大值為28.

練習(xí)1.判斷下列說法是否正確,并簡述理由：(1)時(shí)，,則一定不是函數(shù)y=sinx的周期；正確(2)時(shí)，,則一定是函數(shù)y=sinx的周期．不正確，因?yàn)樵趚=7π/6時(shí)成立,并不能保證對任意的x都有成立,如x=0時(shí)，就不成立.鞏固練習(xí)2.求下列函數(shù)的周期：(1)y=2cos3x；(2)．3．若函數(shù)的最小正周期為，則正數(shù)k=

．4.若彈簧振子對平衡位置的位移x(cm)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：（１）求該函數(shù)的周期；（２）求t＝10.5ｓ時(shí)彈簧振子對平衡位置的位移．⑴周期為4；⑵－8cm.

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),則這個(gè)最小正數(shù)叫做